Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие, страница 18

Эта ээдача достаточно просто решается численно; результаты ее решения представлены на рис. 6.9 и 6.9. йы полу- чили, что азтонодельнсе решение определяет представление распре- делений высоты бугра гри больших временах с точностью до одного ь, сла — постоянной Л . Интеграхьного закона сохранения непрерывна. Однако функция ф долина еще удовлетворить условии (6.37): х~ф ~О,)/~ф в» О .

Вообще говоря, при пронзаю льном )9 решение уравнения второго пооцуа не моиет удовлетворять трем укаэанным выев граничнах условиям. Сущеотвуют, од- Ф ( 6 нкя ) при которых удовлетворяштся все три граничных условия. люь Ъ Следовательно, показатель отепени ~9 в законе расширения буг- ра нив бнло проведено, и его Результаты о доотаточной точностью подтвердили, что равенне быстро выходит на раосмотренный выме автомодельимй режим (рис. 6.

1О, 6.11), отвечвыций предположэ- нию о неполной автомодельноотг. Получеавй предельный закон подобия оказалоя инфориативив. Дейотвительно, ьмэото численного интегрирования до больных времен можно благодаря этому закону ограничиться численным интегрированием до начала автомодельной отвдии, определить из чиоленного счета поотоянную 23 , поолв чего раочет растекания бугра иожно очитать завериенн~а. Однако при )гутэ ХЛ , т.е. 4у~~ Ф О,этот закон подобия уие не отвечает, как в главе 4, оосредоточенному на оси мгновенному иоточнику конечной массы. Стремя к нулю начальный радиуо бугра 'Ся.

, ны должим для сохранения неизменного предельного режима (т.е. постоянной 8 ) увеличивать в согласии с (4.33) начальную масоу жидкости в бу- гре и притом так, чтобы произведение ,й б- ч))6 оставалось постоянным, (6.41) )(ак видно, оитуация в задаче о растекании бугра грунтовых вод своеобразна. При остаточной водонэсыщенности б) , равной нулю, т.е. )г(м Хл Х , показатель )6 равен 1/4,и имеет песта полная азтомодельнооть предельного режима: он отвечает сосредоточенному мгновенному иоточнику.

При отличкой от нуля оотзточиой водоквсищениости с) в б),у(,~уг вмеет место иеполкэл с- с автомодельность предельного режима. маелы а данной вадаче нет: чзать мазом воды задврживаетоя в меотак, откуда вода уходит. Поэтому единственный опоооб определения поотоякной Я - "оклейка" полученного представления о чиолеааэю ранением неавтомодельной задачи раотекания бугра, отвечзкэ(им данной начальной форме бугра. Такое численное Реие- »14?- м Ъ . о ~ Ь 3 4 о ~ % с~ о ~ч й 'о Ч о~ ъ о о о о - 153 и+Ди Ку а; у+а6~ и'.у. ~ и Ааф ас ~е ~ Рис. ~.~ ~ис. ~~ 3.5 а~9~ ' ко $~ Ж с4В.4 -го -аз о ою ы к~ Рве. 6.5 а э "~ ~~ /~ас (к) а' ~,аУ5' ао~ ~~о ~о ~г, Раа. $.56 Э - 160- Подпиош к рисункам Рис.

1. Маятник совершает малые колебания. Опыт показывает, что период малик колебаний не зависит от максимального угла отклонения маятника. Рис. 2. Шар движется в газе с большой скоростью (схема). Рис. 3. Нейлоновый шар движется в атмосферном воздухе при числе Маха 7,6. Видна отошедшая ударная волна впереди шара. (Ив "Альбома движений жидкости" М.

Вэн Дайка, 1982 ), Рис. 4. Зависимость безразмерного сопротивления вара С (й/шдЛ от определяющего безразмерного параметра - чйсла Маха Л 17/с (Г.Г.Черный, 1969 ). При больших значениях Ф л л величина лл стремится к постоянной. Рис. 5. Окружность со вписанными правильными многоугольниками. При стремлении числа сторон многсу"ольника к бесконеч- ности и длины стороны к нулю периметры многоугольников стре- мятся к конечному пределу. Рис. 6. Фрактальная кривая - триада Коха. (а)-исходный треугольник, (б)-элементарная операция, (в) - ломаная линия, аппроксимирующая фрактальную кривую при некотором большом чис- ле сторон. Периметр ломаной линии при увеяичении числа сторон и уменьшении длины стороны стремится к бесконечности по сте- пенному закону.

Рис. 2.1. Зависимость от числа Рейнольдса безразмерного перепада давления на единицу длины трубы при движении живности в трубе. Данные различных опытов (вне области перехода от ла- минарного режима течения к турбулентному) ложатси на единую -161- зависимость. Словный характер зависимости показывает изменение реиима течения с изменением числа Рейнольдса, которое является единственным параметром, определяющим глобальную структуру потока. Измерения выполнены при течении воды и воздуха в тру- ' бах различных диаметров, Рис.

2.2. Схема опытов Э.Бозе, Д.Раузрта и М.Бозе (1%В- 1911). Измерялось время т заполнения сосуда объемом Я и перепад давления на концах трубки хР при стационарном про- текании через трубку различных кндкостей. Рис. 2.3. Результаты опытов Э.Бозе, Д.Рауэрта и М.Бозе в исходном виде: О вода, ° хлороформ, + бромоформ, кь ртуть ( Р в кгс/см~, 'Г в с). Кривые для различных иидко- стек различны. Рис. 2.4. Результаты опытов Э.Бозе, Д.Рауэрта и М.Бозе в тоы виде, кзк они были представлены Т. фон Карманом ( 19П ), использовавшим анализ размерностей.

Все опытные точки легли на единую кривую. Рис. 2.5. Фотография огненного шара через 15 мс пооле наземного ядерного вврыва демонстрирует сферическую симметрию явления и резкую границу возмущенной области (Дк.И.Тейлор, 1950). Рис. 2.6. Опытные точки, определенные Дк.И.Тейлором по кинофильму ди.Мака, в координатах ~~~, Гб/Ж~~ к г легли на единул прямую линию с наклонон, равным единице.

Обработка кинофильма Дк.Мака дала Ди,И.Тейлору воэмоинссть опреде- лить энергию взрыва. Рис. 2.7. При вдавливании штампа в блок плавяенного кварца в блоке образуется коническая т, ещина (Дк.Ди.Бенбоу, 1960). Рис. 2.8. Обработка опытных данных по распространению ко- нической трещины в блоке иэ плавленного кварца подтверждает (Дж.Дж.Бенбоу, 1960) закон (2.

19), полученный из анализа раз- мерностей. Нружквми показаны опытные точки, сплошная линия соответствует закону (в.ю). Рис. 2.9. Доказательство теоремы ПиФагора при помощи вна- лиза размерностей. Рис. 3. 1. Зависимость от числа Рейнольдса безразмерного сопротивления сферы. Данные различных опытов ложатся на единую кривую. Сложный характер кривой показывает изменение режима обтекания сферы с изменением числа Рейнольдса, которое являет- ся единственным параметром, определяющим глобальную структуру потока. Рис. 3.2.

Равномерное подогревание снизу жидкости в сосу- де, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 10 : 4 : 1,создает при переходе числа Релея через критическое значение течение в форме вращающихся валиков, параллельных одной иэ сторон. (Нз "Альбом. движений жидкости", М. Вэн Давка, 1982 ). Рис. 4.1, На некотором удалении эт рисунка всякий узнает в нем Мону Лизу Леонардо.' Ьблиэи оказывается, что этс - ОбО расположенных определенным образом одноцветных квадратов (из статьи Ьеов В Ывквов, Вслевьвтэо Лметхоав, ноябрь 1973 ). Рис. 4,2. Зависииасть давления в воздухе от радиуса при движении воздуха после атомного взрыва в разные моменты времени. Распределения давления по радиусу в разные моменты времечи подобны.

Рис. 4.3. Зта же зависимость в приведенных (автомодельных) переменных в/кл Я),,6/ФС ~Е2 представляется еди.ной кривой ( х.,т - радиус фронта, Ф - (веление на фронте). Ф - 163— Рис. 4.4. К выводу уравнения теплопроводности. Рис. 4.5. Распределения температуры, полученные числен- ным расчетом распределения тепла от первоначально нагретого до теыпературы Ю узкого участка стержня, расположенного 0 блике к левому краю стержня. Видно, что на первом промежуточ- ном этапе оба края стержня не влияют на распределение темпера- туры и стержень можно считать бесконечным. Затем наступает вто- рой промежуточный этап, когда левый край стержня оказывает влияние, а правый еще нет и стержень можно считать полубесконечньм. Рис.

4.6. Распределения температуры на первой автомодельной промежуточной стадии в приведенных координатах представляются единой кривой. Рис. 4.7. Распределения температуры на первой автомодельной стадии в разные моменты времени подобны. Рис. 4.8. Распределения температуры на второй автомодельной промежуточной сталин в приведенных координатах представля- ются единой кривой. Рис. 5. 1. Задача обтекания клина равномерным потоком иде- альной жидкости. (а) исходная постановка задачи, (б) первона- чальная схематизация - заостренный бесконечный клин, (в) заос- тренный клин конечного размера. Рис. 5.2, К выводу уравнения неразрывности. Рис, 6.1.

Поток с поперечным сдвигом. Рис, 6.2. универсальный логарифмический закон на первый взгляд подтверждается данными измерений распределений скорости в гладких трубах, турбулентных пограничных слоях, на гладких пластинах и т.д. (ГЛликтинг, 1965). ( 1) гге = 4,1,10 ; 3. (2) 7гш = 2,3.104; (3) Хш = 1,1, 105; (4) Ре = Л,О.105; (5) ЯЬ = 1,1 10 ( (6) Жа = 2,0*10; (7) ХЪ = 3,2 10 (все - опыты И.Никурвдзе (1932) в трубах); (8) Опыты Райхаррта в трубах.

Рис. 6.3. Те ие опыты И.Никурадзе ( 1932) подтверкдают степенной закон распределения скорости по всему сечению трубы. У - средняя скорость на оси трубы (Г,Шлихтинг, 1965). Рис. 6.4. Зависимости Ъ ( Рч„» ) (1) и КГРс~» ) (2), определенные по данн»э» измерений распределения скорости в гладких трубах, и зависимость (3) обычного' числа РейнольдоаЯ(в основанного на средней по сечению скорости от глобального числа Рейнольдса ~ЪЛ» Рис. 6.5. Зависимости скорости потребления кислорода от веса тела морских иивотных. (а) Мизиды ( ,а — миэиды иэ мо- ря, ° - мизиды иэ садков, х - мизидм из 'лаборатории, З.А.

Шушкина, В.И.Куэьмичева, Л.А.Остапенко, 1971). Скорость потребления кислорода и вес тела иявотных даны в удобных для биологов энергетических единицах. (б) Крабы ритропанопеус (Г.Г.Николаева, 1975). Ркс. 6.6. Расплывание бугра грунтовых вод (схема). Рис. 6.7. К выводу уравнения расплывания бугра грунтовых вод. Рис.