Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие, страница 17

2Э Действительно, поскольку величина Лт ~ Я~2)(З при л7, стремящемся к нулю, стремится к конечному пределу, этот предел и мовно принять за укаэанную меру. Ясно, что если повар хность органа дыхания — фрактальная, то удельную поглощательную способность ~8 следует определять как поглощательную способность эа единицу времени не единицы поверхности или объема, а единицы такой промевуточной мерм. Поэтому размерность уб) составляет (6.16) Здесь ~ - фрактальная размерность органа дыхания, так что ~,) монет бить нацелим. Сравнение с приведенными выюе и другими данными биологов показывают, что все становктся на свои мет ста, если считать, что орган дыхания представляет зобов фрак- тальную поверхность, так что, например, для человека и осетровых рыб л) = 2,4, для мизид - маленьких морских животных, .д„) = 2,4 (Э.А.Иуюхина с сотр., 19"1), для краба рктропвнопе- уо 2~ = 2,25 (Г.Г.Николаева с сотр., 1975) и т.д.

Представление о фрактальности органов дыхания согласуется с анатомиче- экими дзнньми. 4. Пример - законы подобия для расплывания бугра грунтовых вод Представим себе пласт, слокенный из пористой среды, например песчаника, и в нем на подстилапщей его горизонтальной не- проницае ой поверхности ( водоупоре ) бугор грунтовых зод (рис. б.б). Под действием силы тякести бугор расплывается - ра- стекается вдоль водоупора. Мы раосмотрим эту задачу в одном из простейиих предполокений, когда бугор симметричен относитеяьно своей оси, причем высота бугра Х 1 к 1) (рис.

6.7) с самого начала убывает по радяусу. Двикение кидкости в пористой среде очень медленное, поэта- му иокно считать давление воды внутри бугра распределенным по гидростатическому закону: рз ~з,9Ф- 7. ) . Здесь плотность грунтовых вод, ,Я вЂ” ускорение свободного падения. Таким образом, "полный напор", т.е. известная в гидравлике величина (6 ~Я т„ внутри бугра постоянна.по высоте бугра и соотазляет З'ьу Ю . В теории фильтрации установлен основной закон фильтрации, закон Дарси. Согласно этому закону, поток кидкости (расход, приходящийся на единицу площади за единицу времени) при фильтрации пропорционален градиенту полного напора, т.е.

в данном случае градиенту .елииины др 4 . Отсюда вытекает, что радиальная компонента фильтрецлонного потока 1) И.Н.Почина, Н.Н.Михаилов, М.В.Филинов, 19ВЗ. 127- постоянна по высоте бугра ( л не зависит от 7, ). Суммарный расход воды через цилиндрическую поверхность Лзд'И~С (рио. 6.7) составляет, согласно закону Дерзи, ~у,и~.~--- ~. Гжг'„~ .~е.„„, й. бейзел „ц и ' б.17 з „Ф -значи н, лип, *р ротика пористой среды, имеющая размерность площади и порядок 10 см , а р — динамическая вязкость грунтовой воды, так что коэффициент пропорциональности з выраиении закона Даран составляет йгl/4 . Далее, обознапим относительный объем, занятый з пласте порами - пористость среды — через пт ; обычно ат имеет порядок 10 .

Существенно, что, входя з поровое про- странство, вода занимает не весь его обьем, а только некоторую относительную чеоть объема пор 0' . В то ие время грунтовые воды вытекают из порового пространства неполностью, часть воды эадеркизается капиллярными силами. Эту часть мы обозначим О все величины Рп , 0' , С)м буден полагать постоянными. Таким образом, дело обстоит по-разному в той части бугра, где вода уходит из части пор (при К ( И , Рис. б.7), и в той части, где вода входит з часть порового пространства ( и л. Ип При им зо величина и' а обращается в нуль; очевидно, что значение зп зависит от времени. Основное,.равнение для высоты бугра выводится, в принципе, так ие, как основное уравнение теплопроводности в главе 4. Имат. но, берется скорость изменения объема воды в элементе объема бугра, лежащем меиду цилиндрами е радиусеми ю и и, ~ч обусловленная различием потоков воды через эти цилиндрическле -1Э- поверхности.

Эта величина приравнивается скорости изменения обьеыа воды эа счет падения водпнасыщенности от гу до Су твм, где вода вытекеет из пласта и высота бугра уменьшается ( ... э,е~о рис. 6.7) и за счет увеличения водонасыщенности от нуля до Су твм,где вода входит в пласт и высота бугра растет ( иэ т, е)б,д э О ) . В результате получаем уравнение для высоты бугра: Здесь обозначено "ФЯ %э~ к ° и (6.

19) эт й-'~ Физичеоки очевидно, что исиомов равенне Х должно непрерывно зависеть от радиуса; непрерывной функцией радиуса долина быть М и величина расхода воды, т.е. производная с ь, (Рь Р ~(ь. з Последнее условие при хь, отличном от нуля, сводится из-за непрерывности высоты бугра ь к требовании непрерывности производной с) Х ; при ~ = О производная Р ь может преи й с терпеэать разрыв, а Р ь тем не ыенее оставаться непрерые- Необходимо дополнить уравнение (6.16) начальные условием. Считается, что в начальный момент вода сосредоточена только в определенной конечной части пласта, водонасыщенность в бугре равна (у и полный объем воды э бугре составляет Ь' . Не уме..ьиая общности, мокно записать начальное распределение высот бугра ау» ~У в виде х~.,о! ° с,,ш о ф Здесь 'с -начальный радиус бугра, ь 1о ) 6 и/меь - безразмерная й)ункция, такая, что я.

~61 равно нулю при 0 5,ш ~, а интеграл /ь Г Гои (6.21) 4 Г(р,'н„1, и, х„, и ). (6.22) Размерности определяемого и определяющих параметров в классе .Н'.Ер 7 записываются в виде равен единице. Итак, в рассматриваемом примере математическая постановка задачи имеется: ищется решение уравнения (6.18), чепрерывноа, с л яй непрерывной производной сг л , удовлетворяющеа начаяьному условие (6.20). Решение Ю зависит от следующих определяющих параметров; независимых переменных т. и ш уравнения (6.18) и параметров Мт , )Г и ~ ~а/с?Ю'мт<з , й , входящих в уравнение (6.18) и начальное условие (6.20), так -130- Здесь Н вЂ” размерность высоты бугра Л.

, которую можно счии. у аур зонтальнык размерев-нигде отдельно среди определяющих парзмет- ров не фигурирует, йнвлиэ размернос тей дает (6.24) Здесь Нас ияторесуют большие времена, когда влияние деталей начального условия — начальной ()ормы бугра - ис- чезает. Естоственно поэтому рассмотреть предельные законы подобия по параметрам „Д и л л . Поскольку радиус Ю можно 1 выбирать как угодно, и, в частности, увеличивать, оставляя Я конечньм прн эозрвстанки ч. , мы начнем с того, что будем считать параметр,П мальм, параметры Л к П - конечны-, ми и предположим сперва в согласии с рецептурой и.

1 полную автоиодельность по параметру Л Заметим прежде всего, что если зто предположение подтвер- дится, то полученное решение будет соответствовать сосредоточенному мгноэенноиу источнику. Итак, ищется решение уравнения (6.10) следующего ада: (6.26) Анализ размерностей дает з предполокении полной автомодельности по параметру ~~ для радиуса цилиндра, на котором Р 4 г обрвщается в нуль: (6.

27) Здесь ч - некоторая величина, которая комет зависеть от /О ~ )т но не от времени, Л Подставляя (6.26) и (6.27) в уравнение (6.18), получаем для Функции Ж обыкновенное уравнение с разрывным коз4фицк- ентом Уравнение (6.28) решается просто: умножим обе части на получаем уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя, имеем (6.29) Постоянные интегрирования мы полокиги в обоик случаях равными нулю по следующим пркч»нзм. Ьо-первых, на оси симметрии, т.о.

при $ = О безра"мерный Фильтрационный поток - 1ЗВ.Х~/„~ у к3й~ и у равен нулю, а безразмерная высота бугра конечна. Далее, нелинейное уравнение (6.18) в отличие от линейного уравнения теплопроводности обладает следующим свойством: если начальное распределение высот бугра отлично от нуля только в конечной области, то и в любой момент и.

высота бугра тоже отлична от нуля только в конечной области, т.е. при и , меньших некоторого 'г ~Я) . В предположении полной автомодельности по параметру .П анализ размерностей дает (6.30) Из непрерывности высоты бугра и фильтрационного потопа при к Ит следует, что при с Шт обращаются в нуль одновременно высота бугра а. ~иг '6 ) и фильтрационный поток, т.е.

ч. Р 1ь ~чт л 6 ) . Отсюда получается, что Л при ф ч равны нулю одновременно ф и ф ~Я~~ Г~с~У з и, следовательно, постоянная во втором соотношении (6.29). строится до конца. Мы предоставляем зто сделать читателю; результирующее выражение функции ф записывается в виде у -Р ГО-М~)/~6 при ~ т к 0 При Нг к н , т.е. нулевой оотаточной водонасыщенности б)' О, предположение о полной автомодельности по малому параметру .П правильно. Соответствующее автомодельное решение типа мгновенного сосредоточенного источника з этом случае - 135- Однако функция ф нв может зависеть от эремени ф непосредственно, поэтому в уравнении (6.31) показатель степени времени б~~эьЯ 8 - т' не может быть отличным от нуля, так что 0/м ~-Я 8 . Отсюда и иэ (6.33) получаем Жм,Я у М~, ,О г Окончательно находим, что функция Ж удовлетворяет уравнению ~~4' ~ ~% ф «Ф ,~~;8 — у + ( т-'-у" Я "у4~ — =Ял (6,361) при бл ( С , т.е.

в силу (6.34), при 1 У- Ялч ) ф ть О / и +,е 4 ~Ф/~4'=-д ~~,ш с'- ~~"; )~~ с- ' и юч, при ГУ" ~уб) Я5-г- 8Ф ~ф~Ю4'( О, т.е. ~ '4о ° Из условия равенства нулю фильтрационного потока на оси симметрии бугра получаем граничное условие для функции ф с)ф,/~'с~ 0 юуи с О. (6.37) Искомое решение ф должно быть непрерывным и обладать непре- 1 \ рывной производной с~ф'~~~4 Заметим, что соответствующим образом выбирая постоянную Я , можно принять, что радиус расширяющегося бугра соответствует ~ м ~ ~ у . При си ~ и величины ф 1 уф ГМ должны обращаться в нуль, поскольку высота бугра.

и фильтрационный поток на краю бугра должны быть непрерывны, а при 4~~ " т функция ф равна нулю тождественно. Следовательно, иэ (6.оо ) получаем, подходя к точке 4'' У от --2 г;с~ р~~(+ — ',е — -о, ~ф Мт а/4 ~4 2 откуда и иэ предщвущего находим два условия для функции ф при ЯГОЙ-О. 4Ф~И4- 'У~Р~~"а ~6.В) При ~.Ъ' Ф, ф ~ О, так что производная а/ф/хФ$ где ° ~~- Ф в точке Г» 4 (6,40) определяется не анализом размерности, в ранением задачи на со- бстэенные значения, вполне аналогично тому, иак это было в при- мере глазы 5.