Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие, страница 15

Действмтельно, тзм бмли трн параметра ьЯФлзь) ппс /~тк ) ~, Ю/~Р1), первые дэа яз которых отреынлнсь к бесконечности, а третий - к нулю, прячем существо- (б.27) где число аргументов функция ф снова на одын меньше, чем у ф ° , а Сс - постоянная, и это приблнкенное представление тем более точно, чвм больше (меньше). величина аргумента,П Подставим представление ф (5.27) в общее безразмерное представление решения (5.2б), полагая, что аргумент лл достаточно мал (велнк).

Получаем соотношение .П-.~ „ФЯ,,.~У„, ). которое, очевидно, мошно переписать л таком анде; (Ь,28) (6.29) Эдесь безразмерная комбинация .П СХ Д °,„~, ~, „,к„„э (б.ЗО) эь Л с2 .".. а "а «-» у Ф л так ке хак и параметр Л представляет собой степенную ксмби- нацию определяемого я определяющих параметров, но о двумя су- вал конечный, отличный от нуля предел решения. По существует и другая возмокность, Конечного, отличного от нуля предела функции ф ыокет не существовать, но при малых (больших) значениях аргумента Я функция ф представляется "степенной аснмптотикой", т.е, прибликенньвю эыракеннсм 112 явственными отличиями. Первое из них состоит в том, что структура параметра л'.7 не моиет быть получена из анализа размерзь ностей, поскольку значение Сй' нам заранее неизвестно.

Далее, параметр а иэ Л и, следовательно, из окончательного реэугьтата не исчез. Он зоввл в окончательный результат, но нв изолированно, а в степенной комбинации с остальными определяш- Шими параметрами. Однако умеем ли мы найти безразмерный параметр Л„» или ывт,- дел. все ие второстепенное. Существенно то,что получашце- еся окончательное соотношение (5.29) не отличается от соотношеф ния (5.26), которое получилось з случае полной автомодельности: число аргументов у функции ф на один меньше, чем у ф 1 и ю * р ~ импвмьчк ру .)у . л ивзт ттп лзз ~ '" е жж "'" "М ичьчииег "' Азш ье .

Юные." мпваьиич я й. 5 ю~. И дело обстояло в задаче обтекания клина. Тем бнл параметр 2~/с стремившийся к бесконечности, причем предел решения при стремлении зтого ~араметра к бесконечности был равен нули. Однако при больших .Ег/с. имело' место степенное асимптотическое представление функции ф Ф-~ — ") ФФ, ), так что решение для потенциала в безразмерной форма првдстав- лилось э энде д - — -фр«) У (5.31) Параметр 5 из анализа размерностей нв определялся, и, кроме того, в зыраиение для .П воиел размер клина .6, портнваий взтомодельностысходной задачи обтекании конечного кли- на.

Тем не менее, реаение для потенциала токе оказалось азтомо- дельным. Заметим, что ситуация при неполной азтомодвльностн моиет быть несколько более слокной. Именно, пусть к нулю (бесконечности) стремятся не один, а два определяющих параметра /У в-Ф Л„' ',„,, причем Функция яу) к конечному, неравному . нулю пределу не стремится (а мояет быть, и нв стремится вообще ни к какому пределу), но токе имеет степенную всимитотику Тогда, подставляя (5.32) в общее безразмерное представление 'ре- иения' (5.25), получаем (5.33) д ©е-Ф у ~-и /» хе- ° -у» к„~д ку С$' Таким образом> уке не один, а два параметра Х~в,.Ул нельзя определить из анализа размерностей, в автомодегьность теи не менее имеет место.

С такой ситуацией иы встретимоя в следующей глазе. Ясно, что могут быть н насколько более слоя- ные ситуации подобного типа, когда к нулю нли бесконечности стремятся три илн болев парзметроз; мы объединяем их под общин ГЛАВА У1. Ш%йИКА АНАЛИЗА РАЗИЕРНОСТЕЯ В предыдущих главах были рассмотрены основы анализа размерностей, теории подобия и теории автоыодельных явлений, а такие, многочисленные иллюстративные примеры. В настоящей главе будет ивлоиена вытекающая из представленного выие рецептура прииене- ния анализа размерностей и на нескольких показательных приыерах продемонстрировано применение этой рецептуры.

Зти примеры обладают повыюенной,сравнительно с примерами глав 1-Ш,слоиностью. 1. Рецептура применения анализа размерностей Ии интересуеыся карактеристккой а, некоторого явления (таких характеристик моиет быть несколько). Поступаем следующяы образок. "Рлжхлжююилюя Юь >.- .я; ' лвлнкьиы ж вини ' " "" -'чь Если задача имеет явную иатеыатическую формулировку, то за определяющие параметры берутся независимые переменные задачи, постоянные параметры, входящие в уравнения, грвничнью, началь- ные и т.п. условия. Если явная математическая формулировка в задаче неизвестна, выбор определяющих параметров осуществляется на основе качественной модели явления, которую кахдый исследователь строит, опираясь на свой опыт, интуицию и анализ предиествующих исследований.

П. Выбираен подходящий класс систем единиц изыерения и тсьв"э..яя, лэ а и ° .эт „~ - 115- в этом классе. Выбираем систему определяющих пареыетроэ с неэависеаан размерностями. В качестве определяющих параметров о незаакснмыми размерностямк предпочтительно выбирать параметры, существенность которых для рассматриваемого явления наиболее твердо устаковлена.

" Плюют -'чхакжа лю~. " 'кькин."-- раметров с эавксимьми размерностями зырэкаем в виде пюснььеде- й йр' "" и ° Р~ ~ ° к%~от'"' Ф Ю - итаж= Р * ьтччн - 6- .О лнн ае- " ° ~ юк жи мкеэю" ' " Р~ж ~ добкя 1У. Производим оценку юе~~еанных значений оппеделляююкх парытроз подобия. Среды нкх выделяем больюне к малю параметры подобия.

В ряде случаев на этой стадии окаэываетоя удобным пе- реходкть к новым параметрам подобия - произведениям степеней параметров подобия, полученных на предыдущем маге: зто иногда облегчает подобные оценки. "Банно ' хт'бз 'Рю" '""" ' ".юа$ глюке'тхэ я б ( ) ' х ~к Аб .3 у,бр, *,*б р .мерных определяющих параметров н соответствующих размерных определяющкх параметров. Проводим сопостазленне полученных предюлыап законов подобия с имеющкмнся экспериментальными матерка,кемк к/илн численнымк расчетами.

Есин обнаруккваются расхокде- ккя, то~ У1. ~~~лкруеы предельные законы подобну, основанные на нэ "в ' вв»а» -,.м»»нвмэ В»»ж '~» " рэметрам поуобня. Это означает, что предполагается степенное представление функции фут „Я,а ) по малым (больюм) параметрам подобия. Снова проводин сопоставление полученюх вэкоков подобия с имепщимися экспериментальными материаламм, численными рвсчетамн н т.д. Коли снова абнаруливэюгся отклонения, то делается вывод об отсутствии автонодельности по иопытмваеыым мэл»в» (больинм) параметрам подобия, Такни обрээон: »».

»»»»»» Рассмотрин применение этой рецептуры на нескольких пока- вавельных примерах. 2. Пример - законы подобия для распределения скорости в пристеночной области сдвигового турбулентного потока Сдвигами называется турбулентный поток, средние характеристики которого не зависят ни от времени, ни от координаты Х , отсчитываемой в направлении средней окоростк, 'ыи от поперечной поор)п»наты у .

Таким обрмом, средняя скорость и все другие средние характеристики сдвмгового потока зависят только от одной иоордннаты у, , отсчитываемой поперек потока от ограничивапщей поток стенки (рис. 6.1). Такое течение реализуется в канале нли в трубе вдали от вкода, прн обтекании пластинки вдали от ее передней кромки, в прнэемном олое втмоп(вры н т.д. йблнэн ограничнваищей поток твердой стенки моино считать среднее напряиение трения постоянным, т.е. но зависящим от поперечной координаты у . Область сдвнгового потока, в которой »» ~ »~ °, ° пл»»»э»»» — 117- Характеристики двниения з некоторой точке пристеночной области сдвигоэого турбулентного потока определяютсн, таким образом, напряиениеи трения и' , по условию постоянным, харак- теристиквми инакости: ее плотностью ль и кинеыатической зяэкост ч ы , расстоянием ~ рассматриваемой точки потока от ограничивающей поток стенки, а такие некоторьм знеиним рьзиероы потока .Л : диаметроы трубы, глубиной канала и т.д.

В качестве определяеиой характеристини примем градиент средней скорости и з денной точке с' ге ; позднее станет ясно, почему мы не выбрали самое скорость. Инеем, текин обра- е(и~ ~Ух зу, ~ л ь'э~(ь)- (6.1) Подходящим в данном случае является класс<нотам единиц изиерения .Ь И л . Ь этом классе размерности определя- кщих параметров имеют вид Очевидно, что размерности первых трех определяющих парзыет ров Т , ф и Ч, неэввисины. Размерности определяемого параметра 3 и и двух последних определяющих параметров вы- 4 раиеются через размерности первых трех определяющих пареыетроз следующим образам: ж -~ -в м/а ~~и3 Ю Еф й1, ~~3 1~3,1~1 Ж Гф Е41. (6.3) Таким образом, бевразмернак 4орма исследуемой завиеимостя получается в виде Л а:)мlВ' ~ ФЩ,П~), (б.4) Д /~~~~ ~г, и л/г; И.' -к~е Введем по традиции обозначение гл Г ф величина тв , имеющая размерность скорости, называетоя динамической окоооотью.