Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ, страница 7

6. о = 2хуа (яшам), соответству1ошу1о прямой у= уо,— это парабола уа. Лучу (х = ха, 0 < у < са) соответствует дуга параболы и=к — уо 2 2 и=— 4уза и=22-у, а 2 ау (уьнр)') (рис. 6), 3 а м е ч а н и е. й(ы рассматривали отображение (4) в верхней полу- плоскости (хотя оно определено всюду в О) потому, что оно однолистно в этой области. Во всей плоскости или в любой области В, которая содержит хотя бы одну пару точек гз и — зз (зчФО), оереходкщих в одну точку ша — — ха, отобРажение (4) неоднолистно и описанные геометРические пРед- 2 ставления не столь наглядны.

') Через Р+ обозначается совокупность положительных чисел. (полагаем 2 — — х+10 и ш= и+ по н в соотношении ш =аз разделяем действительныс ч мнимые частя). Положив в (6) у=уз, получим криву~о ФХНКННР! КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Иногда пользуются другим способом геометрического представления функции: в пространстве (х, у, р) рисуют поверхность р= !1" (г) 1, которая называется поверхностью Гиодйьгя или рельефо,я функции 7. На этой поверхности иногда изображают множества уровня Лги 7'=сонэ(. В простых случаях эти множества представляют собой линии, и, имея достаточно густую нх сетку, можно составить представление о распределении значений Рас.

7. функции 1 в полярных координатах. На рис. 7 изображена по- 1 верхность модуля для функции и =- —. 1-Р г' Перейдем теперь к основному для анализа понятию предела функции. О предел ен не 2. Пусть функция 1 определена в проколотой окрестности точки аен С; говорят, что число Аен С является ее пределом при г, стремящемся к а, Впг7(г) = А, (7) а -> а если для любой окрестности йл точки А найдется такая проколотая окрестность У'„что для всех г~(/', значения 7(г) принадлежат сгл.

Иначе, для любого а>0 найдется 6>0 такое, что из неравенства 0<р(г, а) <6 (8) следует неравенство р(1(г), А) <е. ('9) Если а, А чь оо, то (8) и (9) можно заменить неравенствами 0<)г — а~<6 и !1(г) — А)<в. Если а со, Ачьоо, то их можно !Гл, г ГоломоРФныв Функции зо переписать в виде б(!г!<со, !!(г) — А(<е; читатель без труда распишет эти неравенства н в оставшихся случаях аФоо, А=оо и а=А=оо. Для АФоо мы положим !'=и+!о, А=Аз+!А, н легко убедимся в том, что равенство (7) равносильно двум действительным равенствам 1цп и (г) '= А„!пп о (г) = Аз. (10) гжа Если предположить еще, что АФО, и выбрать надлежащим образом значения агд!' '), то (7) можно переписать в полярных координатах: !пп~~(г)1=(А1, 1цп агд~(г) = ага.А. (!О') г-Эа гэг Так как принятое определение предела функции читается в точности так, как такое же определение в действительном анализе, и алгебраические действия над комплексными функциями проводятся по тем же законам, как над действительными, то в комплексный анализ автоматически переносятся элементарные теоремы о пределах функции в точке (о пределе суммы и др.) — мы не останавливаемся на их формулировках и доказательствах.

В некоторых случаях мы будем говорить о пределах функций по множествам. Пусть дано множество М, имеющее а своей предельной точкой, и функция 1, множество определения которой содержит М. Мы будем говорить, что ! стремится к А при г, стремящемся к а по множеству М, и писать Игп !' (г) = А, гжа г и если для любого в>0 найдется б>0, такое, что для всех г ен М, для которых 0(р(г, а) <Ь, справедливо неравенство р(((г), А) (е. Определение 3. Пусть функция 7 определена в некоторой окрестности точки аен С; будем называть ее непрерывной в точке а, если существует Игп !(г) =!(а); (! 2) гма если г(а)Фсо, будем говорить о непрерывности в смысле С; если !(а) =со — о непрерывности в смысле С (или обобщенн о й непрерывности).

') Здесь и далее символом атя и обозначается одно из множества Асям значений комплексного числа яч тот же символ применяется и для обозначения функции аги !(г), г зи М. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО З1 По соображениям, о которых мы только что говорили, в комплексный анализ автоматически переносятся элементарные теоремы о функциях, непрерывных в точке (непрерывность суммы и др.),— непрерывность здесь надо понимать в смысле С.

Можно говорить также о непрерывности в точке а по множеству М, если а является предельной точкой М и предел в левой части (12) понимается как предел по множеству. Функция, непрерывная в каждой точке множества М (по М), называется непрерывной на М. В частности, если 1 непрерывна в каждой точке области В, она называется непрерь!вной в об,!асти (в этом случае оиа непрерывна в каждой точке 1л в смысле определения 3, ибо каждая точка г входит в В вместе с некоторой окрестностью).

Отметим свойства функций, непрерывных (в смысле С) на з а м к н у т ы х (в смысле С) множествах К ~ С. 1. Любая функция г, непрерывная на множестве К, ограничена (т. е. существует постоянная А такая, что '!1(г) 1 (А для всех г ~ К). 2. Любая функция 1, непрерывная на множестве К, достигает на К своей верхней и нижней грани (т. е. существуют точки гь гхеиК такие, что 11(г)1 (11'(г!) ~, 1!(г)1 .Р 11(гз) ! длЯ всех геиК. 3. Любая функция г, непрерывная на множестве К, равномерно непрерывна (т. е.

для любого е)0 существует б>0 такое, что ~! (г!) ! (гз) ~ (е, коль скоро г!, гзх=К и р(г!, гз) (б). Эти свойства доказываются точно так же, как в действительном анализе, и поэтому на доказательствах мы не останавливаемся. 6. Дифференцируемость. Пусть функция Г=и+(о определена и конечна в некоторой окрестности точки г,=хо+!у,~С. Оп редел ение !. Будем говорить, что ! дифференцируема в точке г, в смь!Сле действительного анализа (короче, в смысле И'), если функции и и о дифференцируемы как функции (х, у) в точке (х,, у,): дифференциалом 1 в точке г, называется выражение 4=йи+ ! ав.

(1) Если записать йи и йо через частные производные (последние существуют в точке г,), то (1) можно переписать в виде сЧ = — йх+ — йу, д( д) дх ду д( ди . до д) ди . до где — = — + ! — и — = — + ! — — производные от комплексдх дх дх ду ду ду ной функции по действительным переменным, Нам удобно !гл. ! ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 32 переписать формулу для дифференциала еще в одном виде. Рассмотрим переменные г=х+!у и г=х — !у; их дифференциалами будут йг=йх+1с(у и Ж=йх — !с(у.

Отсюда мы находим йх = — (йг+ йг), йу = —. (с(г — йг) 1 ! 2 2! и, подставляя это в (2), после перегруппировки членов получаем й)'= — йг+ = йг, д( д) дг ' де (3) где введены обозначения 4 Замечание. Представление диффереициала й) в виде (3) единственно; если 4=Айг+ВйЕ, го А= — и В==. Всад!' д) дг дз ' мом деле, подставляя йг=йх+!йу и сЕ=йх — ! йу, мы полу- чим, что сц"=(А+В)йх+!(А — В)йу. Отсюда, как и в действи- тельном анализе, найдем А+В = —, !(А — В) = —; решая эту д!! .

д) дх ' дд 1!д) .д!! ! (д!' систему, получим требуемое: А = — ( — — ! — ), В = — ( — + 2 ! дх даь)' 2 ! дх +!д ). Мы вводим основное для всей книги О п р е дел е н и е 2. Функция ( называется дифференцируе- мой в точке г~ в смь!еле комплексного анализа (короче, в смы- сле С), если она днфференцируема в г, в смысле Й' и ее диф- ференциал пропорционален йг, т. е. в точке гч (5) Читателю, незнакомому с комплексным анализом, трудно оценить сразу важность этого определения — она выяснится по- степенно, по мере ознакомления с предметом.

Сейчас мы ука- жем только, что в отличие от всех предыдущих понятий, кото- рые представляют собой простой перенос соответствующих по- нятий действительного анализа, дифференцируемость в смысле !О не сводится к дифференцируемости в смысле Й'. Имен- но, дифференцируемость в смысле С требует не только днф- ференцируемости в смысле !Кз, но и выполнения условия (5), которое мы будем называть условием (комплексной) диффе- ренцируемосги, зз Функции комплексного пеееменного $2) Формулы (4) позволяют переписать это условие в виде двух скалярных равенств: (6) 1 (г) = х + 2(у в смысле С нигде не дифференцируема! В самом деле, для нее ди дб — = 1, — = 2, и первое из условий (6) нигде не выполняется.

дх ' ду Перейдем теперь к рассмотрению производной функции комплексного переменного. Если 1 дифференцируема в точке г, в смысле Рх, то ее приращение Л1=1(г) — 1(га) в этой точке можно представить в виде Л1= —,Лг+ д, Лг+ о(Лг), д( д) где Лг = г — гб, Лг = г — гб, а о(Лг) обозначает малую высшего порядка относительно Лг (т. е. величину., отношение которой к Лг стремится к 0 при Лг 0).

Полагая Лг=,Лг~е'е, получаем Лх= ',Лг~е ' и из (8) находим — = — + — есме + т) (Лг) Ц д( д7 Ах дх дх (9) где т)(Лг)= стремится к нулю при Лг- О, о (ах) Отсюда видно, что для существования предела отношения — при Лг-аО нужно потребовать, чтобы при стремлении Лг ь( ах к нулю величина О=агдЛг стремилась к некоторому пределу О (рис. 8). Предел а при таком стремлении Лг к 0 называется а( производной по направлению О функции )' в точке га. Из формулы (9) видно, что эта производная по направлению — = — +=е Мб.

(10) дхб дх дх 3 В. В. Шабат ди ди ди ди дх ду ' ду дх ' В таком виде условие впервые появилось в работах )К. Д аламбера и Л. Эйлера и позднее (в более четкой форме) — уО. Коши иБ.Римана. Ббльшая ограничительность условия комплексной дифференцируемости очевидна: в то время как примеры функций непрерывных, но нигде не дифференцируемых в смысле действительного анализа, строятся с некоторым трудом (примеры Вейерштрасса или Пеано), нигде не дифференцируемыми в смысле комплексного анализа оказываются самые «простые» функции.

Например, функция ГоломоРФныя Функции 34 [гл. г Таким образом, если в точке ге величина =ФО, то произд( де водные по направлению в этой точке зависят от направления. Именно, геометрическим местом (годографом) производных по направлению — в данной точке является окружность с центд( дге ром д н ради)сом ~ д ~ (см. рпс. 8).