Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ, страница 108

Лл, а! г»о(г) а»! !а~ Х» 1г» ~ ~л(га ! 2ал~ ~ л ! Ае! ('А) 4ал л ,л»! (»Пел — ~,», !»!») ! Возвращаясь к старым переменным, получим окончательно л ! Ае! ('А) (10) (а» ел — ~ аа»еае» Перейдем к доказательству основной теоремы. Т е о р е м а 2 (Х е р м анде р). Пусть 1'.) = (г еи С": е!е (г) ( О)— ограниченная область голоморфности и в окрестности точки ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1ГЛ.

Н! где н(Ь) — произведение собственных значений сужения формы Леви нс(Га) = л~~и~ д д ~ ыа!ьч (12) на аналитическую касательную плоскость лт — ~ Га,=О к дй ъч дф дги в точке ь. Без ограничения общности считаем Ь = О и что угад !р является единичным вектором внешней нормали к д() в окрестно- сти этой точки. Ось 1тп г„направим по внутренней нормали, чтобы было 1ш г„+ ф(г) = О (! г ~г) при г — О.

Тогда по формуле Тейлора в окрестности 0 область 0 запишется неравенством а д дг ~ гигам+РЕК(г)+о()г)) т=! деф где К(г)= тг д г г,. Не меняя ничего в теореме, можно люа де~ дг~ !е заменить еще г„на г„— !К(г), т.е. предположить, что в последней д'!р формуле К (г) = О, Мы обозначим = а „так что дгРдге !а Х „., а„,г„г, будет эрмитовой и положительно определенной. Вблаизй точки О область Т) описывается неравенством а 1ГН г„) ~~!, аа,г„г, + о () г )'). Р, ч=! Теперь мы фиксируем Л н рассмотрим область ОА = г ~ С": 1ш г„) ~ч)', а,г„г, + Л! г )г ю т Если Л ) — Ле, где Л, — наименьшее из собственных значений матрицы А =(аа,), )А,т= 1, ..., и, то ОА представляет собой эллипсоид, и по (10) ее кернфункция Ка, (г) — — „ а! де! ЕЛА) 4п" (!а! г„— ~~' (а„т+ ЛЬБТ) гаге) + где б„,=1 при )! =т и 0 при )АФТ, 'АА=(а„,+ Лб„,), р, ф = = 1, ..., и — 1.

Фиксируем еще окрестность У точкй 0 и обо- .Ьенд1) функция !р~ Сг и строго плюрисубгармонична. Тогда !ип ! г — 1. )ам Ко (г) = — н (1), (1 1) Е.АЦ $ >7! ИНВАРИАНТНАЯ МЕТРИКА 569' О/ значим 6>=0АП6; по теореме 1 кернфункции Ко и К ° эквивалентны при з- О, Так как .6 строго псевдовыпукла в точке О, ~ ) 2 очке, то ~ аР,Е„Е, ) о ! е !, где о > Π— постоянная.

Выбирая Л: О < Л < о и доста- точно малую окрестность У, мы добьемся того, что 6' ~ 6 л и в силу монотонности кернфункции будем иметь К (з) < К (е). А Согласно сказанному выше область 0А можно заменить 6, и по (13) будем иметь (! ~ (аР~+ ЛЬАТ) Аист )'Н' >3П гп Будем считать, что г-+О по лучу !гпг„=|а !; тогда последнее неравенство примет вид 1пп ~ г !"" Ко (г) ~ (— „де! ('А>„). (14) Теперь мы рассмотрим эллипсоид 6 А, где О <Л< ЛА, .достаточно близкие к О точки 0 принадлежат ему, поэтому при достаточно малой окрестности У точки О область О'= 0 П Ус: с: 6 А.

Пользуясь опять монотонностью кернфункцнн и теоремой 1 (в качестве функции д, фигурирующей в се условиях, можно взять е '"), мы получим вместо (14) (1б) !!ш!г !" и Ко(з)) —;, де!('А А), где опять предполагается, что г-+О по внутренней нормали к дй. Но Л в (!4) и (15) можно брать сколь угодно малым; поэтому, переходя в этих формулах к пределу при Л-АО, мы получим, что существует 11~! 1"" Кт>(з) = 4"„бе!('А).

(1б) Здесь определитель равен произведеии>о п — ! собственных значений формы, которая получается из (12) подстановкой «>„= О, и в силу нашего выбора координатных осей совпадает с сужением (12) на касательную плоскость к дй в точке ь= О. Остается заметить, что рассматриваемый нами предел достигается равномерно по ь, поэтому он существует при любом способе стремления точки г ~ !> к граничной точке ь м гОломОРФ!!! !и Отонгажи!!ня злдйчи 570 1ГЛ. У! ~~! ((ч (а) 1 (~12( зяр ~~~ ((т (л, 3 !ж В. ч и т 11. Группа Г автоморфизмоэ !р области Р ~ С" называется дискретной, если лгножество образов !р(з) фиксированной точки з !ы Р при всевозможных ф !ы Г не имеет в Р предельных точек.

Доказать, что для любой дискретной группы Г автоморфизмоя Р ряд ~(!р'(з, где !р' — якобиан отобрачмг жепия ф, сходится равномерно на любом компакте из О. 12. Пусть à — даскретная группа автоморфизмов области Р !: С" и Р)à — множество классов эквивалентности по отношению: г' з", если существует !р!ы Г такой, что !р(г') = а".

Если область Р ограничена, а множество Р!Г компактно, то Р— область голоморфности. 13. Пусть Р— область в С', состоящая из единичного бикруга ()з( < 1, (ш (< 1) и области ~(х+!Тб гэ)! О < к < 2, ) у)< —, ! в — — ! < — у. До- 2'~ 2~ 3)' казать, что всякий аитоморфизм Р, непрерывный в замыхании бикруга, является тождественным; это утверждение справедливо и для обочочки 1. Пусть Р— область в С" н КчяР.

Тогда любое голоморфное отображение 1: Р -ь К имеет одну н только одну неподвижную точку. 2. Пусть  — открытое множество и С" н Д В-ь См — голоморфное отображение. Если а щ У вЂ” изолированная точка прообразов Ь = ! (а), то т >л, причем т > и в том и только том случае, если су!цествует голоморфиая в точке Ь функция б ~ О такая, что йч)'= — О а окрестности а. 3.

Пусть (7 — открытое множество в С" и Д В-ьС"' — голоморфное отображение. Есчн любая а щ (7 является изолированной точкой множества прообразов !(а) и множество 1((7) открыто в С~, то ш=п. Обратно, если т = и и л!обая точка о !ы У является изолированной среди прообразов 7(а), то множество ) ((7) открыто. 4. Доказать, что любой голоморфизм !' области Р на Р", гомеоморфный и В преобразует границу Шилова 5 области Р в границу Шилова 5' области Р"ч 3, Гели !р, и ф! — голоморфные отображения об!асти Р в себя н !у= ф, ° !р! — автоморфизм Р, то ф, и !рз — тоже аатоморфизмы. 6.

Если последовательность голоморфнзмов ) э1: Р -ь Р сходится на компактных подмножествах области Р, то предетьпое отображение 7 либо д) тоже голоморфизм, либо яырождено н том смысле, что якобиан — = — О в Р. дз 7. Если последовательность автоморфнзмов фт ограниченной области 0 сходится на компактных подмножествах Р к отображению !р и если множество ф (0] ПВ непусто, то ф — автоморфизм Р; отсюда следует, что если ф вырождено, то ф(0) != 30.

8. Пусть Р— ограниченная область в Сл и К вЂ” компакт в О. Тогда многкестно всех автоморфизмов ф области Р таких, что ф(а) щ К, где а — некоторая фиксированная точка Р, является компактом и топологии раниомерной сходимости на компактных подмножествах Р. 9. Пусть 11 )) — произвольная норма в С" такая, что ((Лг~) =) Х(~(г)) для любого л щ С, и 7 — голоморфное отображение единичного (в этой норме) шара а себя, причем ! (О) О. Доказать, что в этом шаре ))! (зЦ~()~я!1.

10. Пусть )' — голоморфное отображение единичного шара В !=' С" в Сж такое, что )(О) =О. Тогда для любого числа р > 1 имеет место следующее обобщение неравенства Шварца: ЗАДАЧИ голомоРфнос и области Р 4Указ )О к л 1] ' «а*апис: воспользоватьси задачей 4 и задачей 14. Область 0 щ С" пазыааетс» жесткой мов, отличных от тождественного. приме,"' если У нее иет автоь4орфиз.

ляется бикруг (] 21 < 1, (ю ] <!), пз которого "нером жесткой области 0 ~- Са „в — 2 ~ < З, ~ш — 2 ~ < ,1 ~ ] казание: воспользоваться зада ей 1Т к гл. У.] 15. Доказатгч что группа автоморфизмов области 0 4- Сз, о ора чаетси нз единичного бикруга выбрасыванием бикруга )~2 - — ~ < 11 1) ш — — ~ < — 2, состоит из двух элементов. 2] 3)' 16. для того чтобы трубчатый конус Т= К Х Е" (у), где К вЂ” конус в Ка (х) с вершиной х = О, был голоморфно эквивалентен ограниченной области, необходимо и достаточно, чтобы К не содержал прямых. 12.

Для того чтобы трубчатая область голоморфности была голоморфно эквивалентной ограниченной области, необходимо и достаточно, чтобы ее основание не содержало прямых. 18, Отображение ) области 0 ~ С" в группу Г преобразований области 0' ~ Слч в себя называется голоморфиым, если для каждой точки а ы 0' голоморфны (по г) отображения (1(х))(а): 0-ь0'. Доказатгч что всякое голоморфное отображение ограниченной области 0 ~: С" в группу ортонормальных преобразований С~ в себя постоянно. [Указанне; воспользоваться 12 тем, что в неравенстве ~] ]Ь(ИУ~ ~ ~У(0) ~ (Ь(2 4(У, где У (О) — объем О, справедливом для всех А4ы йа(0), равенство достигается только в случае 2 Авсоний] 19 (В е з е н т и н и).

Вычислить кернфункции следующих областей: а) О, =~~ 2 ы С: х~ — ~ 24~ хз — хз > О, хт > О]; б) 0 = (г 4ы С: х,хз — хт > О, хзхз — хзт > О, хз > О). (Ответы: Кр (2)=с~ха ~(х~ — (24! ) х2 хз~ Кр (а) = сзхзтх4хз — х„) (ххтз — х;) где ст-константы,) .