Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ, страница 4

Для простоты письма введем сокращенное обозначение: соз р+(з!п ср=етт (мы пользуемся здесь тем, что действие возведения числа в мнимую степень не определена') и поэтому принятый символ вакантен), тогда полярная форма (7) примет компактный вид: я = гесс'. (!О) Пользуясь элементарными формулами тригонометрии и определением умножения (4), мы получим соотношение г,е'чм,есп = г,г,е' м 'е ), (11) (19) ') В и. 12 мы введем это действие в докажем, что формула (9), в которой справа стоит мнимая стеяень числа е (основання нвтурадьныд логарифмов), действвтельно имеет место.

которое показывает естественность принятого сокращенного обозначения (9). Соотношение (!1) гласит, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Так же просто выражается в полярной форме и операция деления комплексных чисел: г,есть — = — 'еще ео гасом ге (если, конечно, ге ~ О). В некоторых вопросах удобно компактифициров ать множество комплексных чисел О. Это делается добавлением к нему идеального элемента, который называется бесконечной точкой в=со. В отличие от конечных точек (г чьоо) бесконечная точка не участвует в алгебраических действиях, Компакти фицированную плоскость комплексных чисел (т. е.

плоскость С. пополненную бесконечной точкой) мы будем называть замкнутой плоскостью и обозначать символом О. Когда нужно подчеркнуть различие, будем называть С открытой плоскостью. Описанную компактификацию можно сделать наглядной, если вместо изображения комплексных чисел точками плоско. сти воспользоваться их с ф е р и ч е с к и м изображением. Для этого выберем в трехмерном евклидовом пространстве прямо. угольну1о декартову систему координат $, Ч, Ь, оси е и т) которой соответственно совпадают с осями х и у, и рассмотрим в этом пространстве сферу вы+ г+ тья (13) 1гл. т 1б ГоломОРФпые Фкнкции Ут гну) Рлс.

1. диаметра 1, касаюшуюся плоскости (х, у) в начале координат (рис. 1). Каждой точке г(х, у)ев С поставим в соответствие точку Я(б, и, ~) пересечения с 5 луча, соединяюшего «северный полюс» У(0, О, 1) сферы с точкой г. Такое соответствие г- Я называется стереосрафинеской проекцией. Подставляя уравнение луча Уг (я=1х, П=1у, ь=! — !) в (!3), мы найдем, что в точке пересечения луча со сферой 1(!+1г!') =1, и получим урав- б пения стереографической проекции Ф х у Ч= 1+!«р ' !+!«р ' !' !', ~~ 'л1Т,, ) Из последнего уравнения находим, что 1 ! 1+!г!' =! — ~, и тогда из первых двух получаем формулы для обратного отображения: хб х= ь, у= .

(15) ч Из (14) и (!5) видно, что стерео- графическая проекция г — 2 устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками С и 5' У (очевидно, что точке У не соответствует ни одной точки г). Условимся считать, что У соответствует бесконеч. ной точке г= ао, и тем самым установим взаимно однозначное соответствие С и 5; обычно мы будем отолсдесгелягь С со сферой 5.

которая называется сферой комплексных чисел нли сферой Римана. Открытую плоскость С можно отождествлять с 5',У вЂ” сферой с выколотой точкой У (северным полюсом). В соответствии с двумя описанными способамп геометрического изображения комплексных чисел мы введем на множестве С две метрики.

Первая из ннх — обычная евклидова метрика, в которой под расстоянием между двумя точками г,= =к~+!у~ и г;=х»+)уз из С понимается (1б) Во второй — сферической метрике — под расстоянием между г~ и г, понимается евклидова расстояние (в пространстве $, т1, Д между их сферическими изображениями. После несложных выкладок с использованием формул (14) мы найдем сферическое расстояние между двумя точками г,, г~е:— С: !х.— гь! (!7) !7 комплакснля плоскость Эту формулу можно распространить и на множество С, положив ') р(г, )= (18) У)+1 Р Очевидно, для любых г!, гз ен С имеем р(гь гз) (!. Легко проверить, что введение каждой из этих двух метрик превращает множество С в метрическое пространство, т.

е. что при этом удовлетворяются обычные аксиомы расстояния'). В частности, аксиома треугольника для метрики (16) равносильна известному неравенству (19) )г,+гз) «4)гт!+ !г,!. В заключение отметим, что на ограниченных множествах МсС, принадлежащих фиксированному кругу (',г~4 те), А' < оо, евклидова и сферическая метрики эквивалентны. В самом деле, если М с(!г!««Ц, то, как видно из (17), для любых точек г!, гз ~ М справедливо двойное неравенство ( р(г„гз) <) г, — г, ) (подробнее об этом см.

в следующем пункте). Поэтому сферическая метрика обычно применяется при рассмотрении неограниченных множеств. Как правило, мы будем рассматривать на множестве С евклидову метрику, а на С вЂ” сферическую. 2. Топология комплексной плоскости. Мы ввели на множествах С и С метрики, превращающие эти множества в метрические пространства. Теперь мы введем на рассматриваемых множествах топологии, соответствующие метрикам. Это делается указанием системы окрестностей.

Пусть е)0 — произвольное число; под е-окрестностью Ум=У(го, е) точки го ~ С (в евклидовой метрике будем понимать круг радиуса е с центром в этой точке, т. е. совокупность точек г~ С, удовлетворяю!цих неравенству ~г — го! <е. Г1од е-окрестностью точки гоен С будем понимать совокупность точек г е= С, для которых р(г, го) (е.

') Формула (!8) получается из ()7), если положить в ией з|=з, разделить числитель и зиамеиатель иа зз и устремить зз к оз. ') См Г Е. Ш и л о в, Математический анализ, Физматгиз, М., )96), стр. 25. 2 а. В Шабат ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 1гл. ! 18 Формула (18) из п. ! показывает, что неравенство р(г, оо) <в /1 равносильно неравенству ) г ( > 17 †, — 1; следовательно, е-окрестности бесконечной точки на плоскости соответствует внешность круга с центром в начале координат (пополненная точкой л= со), Мы назовем множество ьз из С (или С) открытым, если для любой его точки ге найдется окрестность (),, принадлежащая ха' этому множеству.

Легко проверить, что такое введение понятия открытости превращает С и С в типологические пространства, т. е. что при этом выполняются обычные аксиомы '). В некоторых вопросах удобно пользоваться так называемыми проколотыми окрестностями, под которыми иа С и С соответственно понимаются множества точек г, удовлетворяющих неравенствам О<,'а — го!<в, 0<р(г, ге)<в. В этом пункте мы рассмотрим основные топологические понятия, которыми будем постоянно пользоваться в дальнейшем. О п р е д е л е н и е 1. Точка гз ~ С (соответствен но С) называется предельной точкой множестви Мс:С (соотв. С), если в любой проколотой окрестности га в смысле топологии С (соотв. С) найдется по крайней мере одна точка из М.

Множество М называется замкнутых, если оно содержит все свои предельные точки. Множество, получающееся присоединением к М всех его предельных точек, называется зимыканием М и обозначается символом М. П р и м е р. Множество М всех целых чисел (О, ~1, ш2, .. ) в С не имеет предельных точек (и, следовательно, замннуто). В С оно имеет одну предельную точку з оо, не принадлежащую М (М не является замкнутым в С). В С любое бесконечное множество имеет по крайней мере одну предельную точку (принцип компактности).

Этот принцип, выражающий полноту сферы комплексных чисел, можно вывести из аксиомы полноты действительных чисел; мы опускаем зто доказательство. В С принцип компактности не имеет места (это видно из приведенного выше примера). Он верен, однако, для бесконечных о г р а и и ч е н н ы х множеств, т.

е. множеств, лежащих в каком-либо круге ()г(<)т), )т< оо. Такие множества мы будем называть компактными. ') См. ниже п. 32, а подробнее П. С. А л е к с а и д р о в, Комбинаторная топология, Гостехиздат, М., !947. 19 коыплексндя плоскость Из неравенств (20) п, ! следует, очевидно, что точка зз4= оо является предельной точкой множества М в топологии С тогда и только тогда, когда она является предельной точкой М в топологии С. Иными словами, при определении конечных предельных точек мы можем с равным успехом пользоваться как евклидовой, так и сферической метрикой. Именно в этом смысле надо понимать утверждение об эквивалентности этих метрнк в конце п.