Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ, страница 9

Предположим теперь еще, что !"'(га) нО, будем считать !"'Кьб и всюду в (7, а в качестве у возьмем гл адкий путь (т, е. будем считать г'(!) ФО для ! ЕЕ [а, р)); из (6) видно, что и соответствующий путь уа также будет гладким. Тогда углы наклона к действительным осям хорд Лг и Лги при г а будут стремиться соответственно к углам 0 и 0' наклона касательных к у и у* в точках га и Гва, т.

е. при надлежащем выборе значений аргументов существуют !!т агдЛЕ=О, 1!Гп агиЛгь =О". С -"а ~-аа дм Положим агн — = агдЛв — агу Лг, тогда существует Дг !нп агн — = агд !'(г,) = 0" — О. Дм ,,а (8) Таким образом, агд !'(га) геометрически означает угол поворота пути в точке га при отображении ). Из (8) видно, что этот угол не зависит от выбора пути у с началом в точке га, все пути с началом г, поворачиваются на одинаковый угол, т. е. угол между любыми двумя путями у и уГ с началом г, сохраняется при отображении (свойство сохранения углов, см.

рис. 9). ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 1гл. ! 40 Выясним теперь гидродинамический смысл комплексной дифференцируемости и производной. Рассмотрим установившееся плоскопараллельное течение жидкости. Это означает, что векторы скорости !г этого течения не зависят от времени и одинаковы во всех точках каждого перпендикуляра к некоторой плоскости, которую мы примем за плоскость комплексного переменного г=х+гу (рис.

10). Таким образом, наше поле полностью описывается плоским векторным полем !г=у!(х, у)+!у!(х, у). (9) Предположим, что в окрестности (г' некоторой точки го функции У! и У, обладают непрерывными частными производными. Кроме того, будем считать, что в этой окрестности поле (9) потенциально, т.

е. го! $'= — ' — — '= 0')„(10) = д. ду и соленоидально, т. е. й!УУ= — "+ — '"''=О (!!) (равенства (10) и (11) справедливы для всех точек (г'). Рис. !О. Из условия потенциальности (10) следует, что в окрестности У дифференциальная форма У, с!х+ У. г(у является точным дифференциалом некоторой функции ф, которая называется потенциальной функцией поля. Таким образом, в (/ имеем 11 ~ 12 дф дф дх ' ду (! 2) нли, в векторной записи, $г = пгаг)гр. Из условия соленоидальности (11) следует, что и форма — Уаг!х+ У!г!у являстся точным дифференциалом некоторой функции 2р, так что в (у имеем — Уа=— дф (13) у!= дф ду ') Для плоского векторного поля го!У можно считать скаляром, ср.

сноску на стр, 13. Иа линии уровня функции тр имеем с!тр= — Уас(х+ Угду=О, т, е. де Уа — — откуда видно, что эта линия является векторной ли- ггх У! ' ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО нией поля у', т. е. линией тока (траекторией частиц жидкости). Поэтому в[в называется функцией тока. Построим теперь компленсную функцию 1= р+)ф которая называется комплексньсм потенциалом поля. Сравнивая соотношения (12) н (13), мы видим, что в [в' выполняются У СЛОВИ 5! дч дф дав дф (15) дх др ' 2 дУ дх — — + в — = )гв — в'1'„ дав . дф дх дх (16) т. е. производная комплексного потенциала представляет собой вектор, комплексно сопряженный вектору скорости течения.

П р н м е р. Найдев~ комплексный потенциал бесконечно глубокого течения над платкам дном, обтекающего препятствие высотой й, перпендикулярное к дну, Это плоскопараллельное течение описывается течением в верхней полу- плоскости, обтекающим отрезок длины й, который без ограничения общностн можно считать лежащнм на мнамой осн. Течение, таким образом, рассматривается в области Р, граница дР которой состоит нз действительной осн н отрезка [О, гй) мнимой осн (рнс. 11). Эта граннца должна быть линией тока; мы примем ее за линию ф=о н будем считать, что всюду в Р функция ф)0.

Для отыскания комплексного потенциала ф+(ф достаточно, следовательно, найти коаформное отображенне Р на верхнюю полуплоскость (ф>0). Одну нз фуакцнй, реализующих такое отображение, можно получить следующим образом. Отображение г~ =ге переводит Р в плоскость с вырезан. ным лучом нег~)~ — йт, !юг~=О (см, пример в п. 5), Отображение гв=г1+й' сдвигает этот луч в положительную полуось негв)0, 1гпгв=о. Если мы возьмем теперь отображение, обратное к возведению в квадрат: ага а, — 2 ю 1' гз )' [гз[а Они совпадают с условиями комплексной дифференцируемости (6) из и. 6 н, следовательно, показывают, что комплексный потенциал 1 яв,чяется функцией, голоморфной в точке гм В векторном анализе доказывается, что н обратно, любую голоморфную в точке го функцию [=гр+(ф можно рассматривать как комплексный потенциал векторного поля )У=дгад вр, потенциального и соленоидального в окрестности гщ которое можно трактовать как поле скоростей некоторого течения жидкости.

Таким образом, голоморфносгь функции 1 означает, что эту функцию можно трактовать как комплексный потенциал плоскопараллельного установившегося течения жидкости, потенциального и соленоидального. Нетрудно выяснить и гидродинамическнй смысл произволной: имеем Голомопеные Функш!и (гл. г 42 которое однозначно определено условием 0<ага гз<2п, то в качестве образа плоскости гз с вырезанной положительной полуосью мы получим верхнюю Рис. 1!.

полуплоскость. Остается взять композицию рассмотренных отображений )/гз ! Аз (! 7) и мы получим искомое отображение. Уравнение линий тока при этом течении мы получим, отделвя действительные и мнимые части в соотношении (ю+!ф)з=(х+!у)з+йз; для линии ф=фа будем иметь лз У=ф 1/ 1+ х'+ ф,' (18) (соответстзие линий тока изображено на рис. 11), Скорость рассматриваемого течения '! аю ) )з! ! у) ->а (' в бесконечности она равна !. Можно доказать, что общий вид решений рассматриваемой задачи у (г) = о р У+аз, (!9) й 3. Элементарные функции Здесь мы рассмотрим некоторые простейшие классы голо- морфных функций комплексного переменного, 8. Дробно-линейные функции определяются соотношением го = —, аг( — (!с~О, аз+ Ь аз+ а (!) где а, ..., с( — фиксированные комплексные числа, а а — комплексное переменное; условие ас( — ЬсФО накладывается для ') М.

А, Л а ар си т ье в и Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, «Наука», М., 1965. где о >9 — скорость течения в бесконечности. Подробнее о применении ионформных отображений в гидродинамике см., например, кингу М А Лаврентьева и автора '). элемгнтьении Функции того, чтобы исключить случай вырождения в постоянную (при ас( — Ьс=О числитель (1) пропорционален знаменателю). При с=О непременно с(ФО и функция (!) принимает вид а Ь ю= — г+ — =Аг+В Л а' т.

е. обращается в линейную функцию. е Функция (1) определена для всех гФ вЂ” —, оо (еслн счьО; прн с=О она определена для всех конечных г). Мы определим л ее в этих исключительных точках, положив го=со при г= —— С а и ге = — прн г=оо (в случае с=Одостаточно положить ге=оо с при г=оо). Теперь справедлива Т е о р е м а 1.

Дробно-линейная функция (! ) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение С на С. ч Предполагаем, что с-'-О, — упрощения в случае с=О очевидны. Функция (!) определена (однозначно) всюду в С; решая уравнение (!) относительно г: ем — ь (2) мы видим, что каждому ге~ —,оо соответствует определенное г, а в силу принятого выше условия точке ге = — отвечает с г=оо и ге=оо — точка г= — —.

Следовательно, (1) взаимно с однозначно отображает С на С, остается доказать непрерывн ность. Но при гФ вЂ” —, оо непрерывность функции (!) очес видна: непрерывность в этих точках следует из того, что аг+ Ь аг+Ь а 1нп о, 1нп = — ь се+а ' „се+ Н с Мы хотим теперь доказать, что отображение (1) сохраняет а' углы во всех точках С. Для гФ вЂ” —, оо это следчег из того, с что в этих точках существует производная Ем аа — Ьс чьО а ( +а)2 (см. п. 7). Чтобы установить то же свойство для исключительных точек (из которых обе связаны с бесконечностью: одна !Гл. 1 ГОЛОМОРФНЫН ФУНКЦИИ сама бесконечна, а у другой образ бесконечен), надо ввести понятие угла в бесконечной точке. Определение.

Под углом в точке г=оо между двумя путями у, и у. (проходяп(ими через оо и такими, что их сферические изображения имеют касательную в северном полюсе) понимается угол между образами Г, и Гя этих путей при отображении в точке л=О. Лля тех читателей, которые не удовлетворены этим формальным определением, мы сообщим геометрические соображения, приводящие к нему. Прежде всего докажем, что стереаграфическая проекция С-ьх'~)у представляет собой конформное отображение' ).

Рассмотрим в плоскости С гладкий путь у: г=-х(Г)+(р(!), ! щ [и, й), и по формулам (14) п. 1 найдем путь на 5, соответствующий ему при стерео. графической проекции; х (!) р (!) „ ! х (!) (т у . В ! ! ! х (! ) [э з П ! с ! х (Г) !т > ь ! ! ! з (Г) !з [ й! М Путь у*, очевидно, также гладкий, и для квадрата элемента его длины Да из (4) получаем Дхт.! Д(/2 Дпт Дзг ЬДПз+Дгз (1+ ! х Р)" (5) или ! Дх! Дп= (б) где ! Дг ! УДхт+ Дуя — соответствующий элемент длины у (ср.