Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ, страница 8

д( 1 дг' Если же Г' дифференцируема в точке г, в смысле С, т. е. ==О, то эта окружность вырождается в точку — и произв) д( де дг водные по всем направлениям дге совпадают ( о1ш равны — !. д) 1 дг !' Определение 3. Произд водной функции Г в точке ге называется з если этот предел существует. Из сказанного выше можРис. в. но вывести, что дифференци- руемость в смысле С равносильна существованию производной.

Мы, однако, предпочитаем прямое доказательство. Т е о р е м а. Для того чтобы функция (, определенная в окрестности точки ге е= С, имела в этой точке производную, необходи ~а и достаточна дифференцируемость ~ в точке ге в смысле комплексного анализа. < Пусть Г' дифференцируема в точке г, в смысле С; тогда она дифференцируема в смысле Р и = =О в этой точке. Из д( дг формулы (9) имеем аг дз Ц д( где и — О при Лг — О; отсюда видно, что существует г (г ) = —. дг 0 дг' Пусть г" имеет в точке г, производную г'(г,); тогда для достаточно малых Лг имеем где и- О прн Лг- О. Таким образом, ЛГ=~'(г,)Лг+о(Лг), от. куда видно, что ( дифференцируема в точке гр в смысле (чз и ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО что с((=("(ге) с(г, а это и означает дифференцируемость в смысле (: в точке ге» Так как производная ('(г), если она существует, не зависит от направления, то ее можно вычислять, например, в направлении оси х; мы получим )'(г) = — = — + '— д> ди .

до дк дт дл ' (12) >(а] =-)г)..=гз, очевидно, дифференцируема в смысле не во всей илоскостн С. Однако Ж= — равна О лишь ири г=о, иозтому в смысле С оиа диффереицируеме да лишь в точке г=о. Таким образом, функция (>3) дифферснцируема в смысле С в точке а=о, но ие голоморфна в втой точке. Мы будем называть функцию (" голоморфной на открытом множестве ьгс:С, если она голоморфна в каждой точке этого множества (для ~аких множеств, следовательно, понятия голоморфности и комплексной днфференцируемостн совпадают). Будем говорить, что функция >' голоа>орфна на произвольном множестве Мс:О, если ее можно продолжить на некоторое открытое множество Й~М до голоморфной на Й функции. В частности, голоморфность ) в замкнутой области (.

означает возможность ее продолжения до функции, голоморфной в более широкой области тт ~ 6. Определение производной функции комплексного переменного совпадает с таким же определением из действительного анализа, арифметические действия и теоремы о пределах в комплексном анализе такие же, как и в действительном.

Поэтому в комплексный анализ без всяких изменений переносятся элементарные правила дифференцирования (дифференцирование суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции); мы не останавливаемся на их формулировках и доказательствах. В заключение мы должны уточнить сказанное выше о понятии комплексной дифференцируемости. Строго говоря, днфференцируемость в смысле С в одной точке г, еще не влечет за собой тех последствий, которые мы имели в виду, говоря о важности этого понятия, — для этого нужно требовать дифференцнруемости в о к р е с т и о с т и точки г,. Поэтому мы принимаемм следующее О и р е д е л е н и е 4.

Функция ) называется голоморфной (или аналитической) в точке ге~С, если она дифференцируема в смысле С в некоторой окрестности этой точки, П р и и е р. Функция ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ зе )гл. 1 которое можно записать в комплексной форме '): (г гс)+ =(г — 2) д[ д! в дг дг е (2) (производные в (!) и (2) берутся в точке г,).

Это мы будем называть касательнатм к отображению Якобиан отображения ! в рассматриваемой жается через комплексные производные; отображение 1' в точке гз точке выра- (3) (для доказательства про1це всего подставить в правую часть (3) выражения — и = из формул (4) предыдущего пункта). д)' д) Если УФО, то касательное отображение (2) не вырождено.

Эти отображение преобразует параллельные прямые в параллельные, но, вообще говоря, не сохраняет углы, так что квадраты переходят в параллелограммы; окружности оно преобразует в эллипсы. ') Для получения (2) достаточно сложить первое уравнение (1) сп вто! рым, умноженным на й и затем положить х — х, = — [[г — гь) + [2 — ге)), 2 1 у — р,= —. [(г — г,) — (г — гз)!. Заметьте, что зто преобразование в точности 21 повторяет преобразование дифференциала в предыдущем пункте. Наконец, под голоморфностью функции ! в бесконечной точке понимается голоморфность функции ~р(г) =)~ — ) в точ- (1 т ке г=О. Это определение позволяет рассматривать функции, голоморфные на множествах замкнутой плоскости С. Очевидно, сумма и произведение функций, гололюрфных в области Р, также голоморфны в этой области.

Поэтому совокупность всех функций, голоморфных в области Р, образует кольцо, которое мы будем обозначать символом О(Р). 7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация. Начнем с выяснения геометрического смысла комплексной диференцируемости. Если функция ! дифференцируема в смысле в точке ге~С, то в окрестности этой точки отображение ы=((г) можно приблизить с точностью до малых высшего порядка относительно г — г, аффинным отображением ди ди дх (.» хв)+ др (У Ус) (!) по = д (-» хю) + (У Ув) ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Предположим теперь, что функция ! в точке г, диффереицируема в смысле С. Тогда в этой точке ==О, существует д! дг производная !'(го) = — и касательное отображение (2) принид! мает вид (4) в — сов=1 (го) (г — го).

Если !'(го) ФО, то это отображение сводится к растяжению вектоРа г — го в )!'(го) / Раз и к повоРотУ его на Угол ага('(го) (см. правило умножения комплексных чисел в п. 1). Оно сохраняет ориентацию') и обладает еще следующими свойствамн: (а) сохраняет углы, (р) квадраты преобразует в квадраты, (у) окружности преобразует в окружности. Легко видеть, что каждое из свойств (а), (р), (у) влечет за собой остальные два. О и р е д ел е н и е. Дифференцируемое в смысле Рг в точке г, отображение ! называется конформнсям в этой точке, если касательное к !" в точке г, отображение сохраняет ориентацию и обладает одним из свойств (а) — (у).

Отображение ): Р - С конформно в области Р, если оно взаимно однозначно и коиформно в каждой точке ген Р. Мы доказали, что если функция ! дифференцируема в смысле С в точке го и )'(го) ~0, то отображение ! конформно в этой точке. Обратно, пусть отображение ) конформно в точке гж Возьмем два вектора: г — г,=1 и г — г,=1, касательное отображение (2) преобразует их соответственно в векторы — += и д! д! дг дг ( -) — — — В силу конформности отображения ! второй из д! д)т. дг дг них получается из первого поворотом на прямой угол против часовой стрелки, т.

е. Отсюда следует, что в точке г, мы имеем —.. =О, т. е. сущед! дг ствует 1'(го), а так как касательное к конформному отображению не вырождено, то ('(го) ФО. Таким образом, комплексная дифференцируемосгь функции )' в точке г, вместе с условием !" (го) 4=0 геометрически означает конформность отображения !' в этой точке. ') Говорят, что аффинное отображение ! сохраняет ориентацию, если оно преобразует любой треугольник г,гггь вершины которого обходятся про.

тив движения часовой стрелки, в треугольник )(гй)(гз)!(гз) с тем же порядком обхода вершин. ГоломоРФные Функции игл 3 а м е ч а н и е. Если отображение г дифференцируемо в смысле )са в точке г,, а отображение, касательное к нему в этой точке, обладает одним из свойств (а) — (у), но меняет ориентацию на противоположную, то оно называется конформным отображением второго рода или антнконформным в этой точке. Легко видеть, что таким свойством будет обладать отображение в=1(г), сопряженное к отображению, дифференцируемому в смысле С в точке го, если 1'(го) ФО.

Функцию та=1(г), сопряженную к голоморфной в некоторой точке г„функции 1, мы будем называть антиголоморфной ватой точке. Очевидно, условие антиголоморфности функции а в точке го состоит в том, что д дифференцируема в смысле (ча в некоторой окрестности г, и что в этой окрестности выполняется соотношение — = О. ог дг Мы видели, что модуль производной 1'(г,) геометрически означает коэффициент растяжения, а ее аргумент — угол поворота отображения, касательного к 1 в точке г,. Приведем теперь геометрическую иллюстрацию производной в терминах самого отображения 1 (а не касательного к нему), Для этого предположим, что производная 1' существует и непрерывна ') в окрести г.

Рассмотрим непрерывно дифференцируемый путь у: г=г(~), ~ ен [а, р), с началом в точке го (см, и. 3) такой, что г(г) ~ У для всех ген[а, Ц Отображение 1 переводит его в путь у": и= =1[г(г)), с~[со, р), также непрерывно дифференцируемый, ибо по правилу дифференцирования сложных функций тв'(т) = 1'[г (у)[ г'(у) (б) существует н непрерывна для всех У~[а, й). Обозначим бг= =г(т) — го и бтп=[[г(1)) — 1(го); так как существует производная 1'(г,), то существует н )) ("[ =[1(;)[. (аа! о Но так как пути у и ув спрямляемы, то [бг~ и [вен~ при т'- а представляют собой бесконечно малые, эквивалентные соответственно длинам Лз и Лз* дуг у и у*, которые отвечают отрезку [а, г). Поэтому последнее соотношение можтю переписать в виде [1 (~,) [= ((~ — "*. (7) ома да ') Как мы увидим в дальнейшем, наши требования не независимы: иа существования р в некоторой окрестности точки го следует ее непрерывность в этой окрестности.

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 39 Таким образом, )1"'(га) ! геометрически означает коэффициент растяжения длин в точке га при отображении !'. Как видно из (7), этот коэффициент не зависит от выбора пути с началом в точке г,. Иными словами, все пути с началом г, растягиваются в этой точке одинаково, т. е. бесконечно малая окружность с центром в га переходит в кривую, отличающуюся от окружности с центром в Гва=)(гс) на малые высших порядков (круговое свойство, см. рис. 9), бг! Рис. 9.