Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ, страница 3

Вот простой пример: функция Т(х) = —, одинаково хороша (бескоиечно дифференцпруема) 1 во всех точках числовой оси, а ее ряд Тейлора 1 1+ х' = 1 — хз+ х4 перестает сходиться при 1х)~~1. Причину этого нельзя понять, оставаясь в действительной области: ведь точки х=.+1, разделяющие множества сходимости и расходимости ряда, ничем не примечательны для нашей функции. Но выход в комплексную область сразу разъясняет явление: на окружности 1х~ =1 лежат точки х= ~-й в которых функция 1 обращается в бесконечность, из-за них ряд и перестает сходиться.

Переход к рассмотрению функций комплексного переменного необходим в целом ряде вопросов. Он столь же естествен, как переход от поля действительных чисел к алгебраически замкнутому полю комплексных чисел. И удивительно — для функций от комплексных чисел, тех самых, которые по знаменитой теореме Фробениуса дают единственно возможное расширение поля действительных чисел с сохранением алгебраических свойств, удается построить и анализ, столь же полный и стройный, как анализ функций действительного аргумента.

Переход к комплексному анализу дает возможность глубже изучить элементарные функции и установить интересные связи между ними. Так тригонометрические функции оказываются простыми комбинациями показательных, например, созх= — (е" +е " ) 2 ПРедисловив Вскрываются такие неожиданные и замечательные соотношения между действительными и «мнимыми» величинами; как скажем (~/-Т) =е з (й=б,.+- 1, ...), В действительном анализе стройная теория развивается лишь для однозначных функций, а многозначные часто доставляют много неприятностей. В комплексном анализе удается выяснить природу многозначности и построить безупречную теорию многозначных функций.

Комплексный анализ дает эффективные методы вычисления интегралов и получения асимптотических оценок, способы исследования решений дифференциальных уравнений и т. д.— перечень задач, которые решаются средствами комплексного анализа, можно продолжать довольно долго. К этому надо добавить, что функции комплексного переменного описывают плоские векторные поля, причем в комплексном анализе особо выделяются функции, которым соответствуют поля, наиболее интересные для приложений — одновременно потенциальные и соленоидальные.

Поэтому комплексный анализ находит многочисленные применения в самых разных областях. Одной нз отличительных и привлекательных черт комплексного анализа является его подлинная комплексность. В нем сочетаются аналитические и геометрические, вполне классические и самые новые методы. Наряду с очень конкретными и прикладными в нем решаются весьма общие и абстрактные задачи. В комплексном анализе встречаются и разные разделы математики, и разные прикладные науки. Его понятия служат основной моделью, источником и отправным пунктом многих исследований в функциональном анализе, алгебре, топологии, алгебраической и дифференциальной геометрии, уравнениях с частными производными и других разделах математики. Начальные идеи комплексного анализа возникли во второй половине 18-го века, и связаны они прежде всего с именем Леонарда Эйлера.

Основной массив теории был создан в 19-м веке„ главным образом трудами Огюстена Коши, Бернарда Римана и Карла Вейерштрасса. В наши дни более классическая часть комплексного анализа — теория функций о д н о г о комплекс- предисловие ного переменного — приобрела уже вполне совершенный вид. Однако и здесь постоянно возникают нерешенные проблемы как в связи с новыми постановками математических задач, так н в связи с приложениями. В более молодой части — теории функций н е с к о л ь к и х комплексных переменных — имеется егце довольно много белых пятен. Но эта область, особенно богатая связями со многими разделами современной математики, все больше и больше привлекает к себе внимание.

По-видимому, наступило время, когда изучающие комплексный анализ должны знакомиться с основами теории функций не только одного, но и нескольких комплексных переменных. Эти две части, однако, наряду с общими (сравнительно элементарными) свойствами имеют рнд свойств, принципиально отличающих их друг от друга. Поэтому, по крайней мере на сегодняшнем уровне развития науки, их лучше изучать последовательно, а не параллельно.

В Московском университете эта цель достигается введением наряду с обязательным курсом так называемого основного спецкурса, который должны прослушать студенты, специализирующиеся в области теории функций. В литературе имеется много превосходных курсов теории функций одного комплексного переменного, в последние десятилетия появился и ряд руководств по теория функций нескольких комплексных переменных. Однако единого изложения двух частей комплексного анализа еще нет, и эта книга является первым опытом такого изложения Она возникла нз лекций читанных автором в Московском университете, причем первая часть относится к обязательному курсу, а вторая — к основному спецкурсу.

Книга задумана так, что многие ведущие идеи второй части сначала появляются в первой части, где они иллюстрируются на более простом материале функций одного переменного '). Каждая глава сопровождается некоторым количеством задач. Среди них нет упражнений, призванных закрепить навыки В Несколько слов по поводу названия книги. Литер отдает себе отчет в том, что термин «комплексный анализ» у иас не принят. Однако в принятой терминологии книга должна была бы носить длинное и неблагозвучное название «Введение в теорию функций одного и нескольких комплексных переменных». )о пРедислОВие использования методов комплексного анализа, поэтому их набор нисколько не заменяет задачника. Имеются задачи двух видов — сравнительно нетрудные, иллюстрирующие изложенный в книге материал, и задачи, в которых формулируются не вошедшие в книгу теоремы; последние иногда снабжаются литературными указаниями.

Резкого разграничения между этими двумя видами задач умышленно не делается. Идею написать эту книгу мне подал А. О. Гельфонд, которому, однако, не довелось увидеть ее готовой. А. А. Гончар просмотрел рукопись и сделал много конкретных замечаний. Ряд полезных советов дали мне В. С.

Владимиров, Б. Я. Левин и А. И. Маркушевич, В. А. Зорич помог в подборе задач. Этим моим коллегам я весьма признателен. Особенно многим я обязан редактору книги Е. М. Чирке, который внимательно прочитал рукопись и помог устранить ряд недочетов. Ему принадлежит также изложение п. 39 второй части и подбор большинства задач, глдвд ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ Начнем с описания комплексных чисел и действий иад ними.

Мы предполагаем, что читатель знает их, и поэтому наше описание будет кратким, с упором на особенности, нужные для дальнейшего изложения. й 1. Комплексная плоскость 1. Комплексные числа. Рассмотрим множество С упорядоченных пар действительных чисел г= (х, у) или, что то же самое, точек декартовой плоскости хОу или (свободных) плоских векторов. Два вектора аз= (хь у~) и ге=(х,, уз) считаются равными (г,=гз) в том и толысо том случае, если хз — — х н у,=у,; векторы г=(х, у) и Т=(х, — у), которые изображаются точками, симметричными относительно оси х, назовем сопрлженнызти. Вектор (х, О) отождествим с действительным числом х; совокупность всех действительных чисел (ось х) обозначим через (ч'. Для действительных чисел и только для них Е=г.

На множестве С введем совокупность алгебраических операций, преврашаюсцнх С в поле. Сложение и умножение на действительное число (скаляр) Х введем так же, как в векторном исчислении. После этого мы сможем представить каждый элемент г~ С в так называемой декартовой форме; г=х 1+у (=х+(у, (1) где через ! = (1, О) и (= (О, !) обозначены единичные векторы (орты) соответственно осей х и у (обозначение первого орта опускается).

Умножение в векторном исчислении вводят двумя способами: паре векторов гз=х,+щ и ге=ха+(уз ставят в соответствие с к а л я р н о е произведение по формуле (гь гз) =хзха+у1уз, (2). а также в е к т о р н о е произведение по формуле (гь гз)=хзуз — хаут ), (3) ') Н общем сллучзе векторное произведение двух векторов является вектором, перпендикулярным к плоскости перемножаемых веиторов. Однако в случае плоского вектора поля, который только и рассматривается здесь, все векторные произведения коллинеарны и поэтому вполне описываются скадаром (3).

!гл. т ГоломоРФные Функции Но, как хорошо известно, ни одно из этих умножений не удовлетворяет аксиомам поля. Поэтому мы введем в С иное умножение. Именно, положим по определению 1 ° !'=Р= †! и назовем произведением г,г, вектор, который получается, если перемножить х,+1у, и х2+1у2 как двучлены по обычным законам алгебры и положить Р= — 1. Иными словами, по определению положим (4) Х1х2 х1х2 у1у2+1(х1у2+х2у!) (соотношение Р= — 1 получается отсюда как частный случай). Очевидно, что это произведение выражается через скалярное и векторное по формуле Х1Х2= (го Х2) +1!21, г2), где 21 — -х1 — 1у1 — вектор, сопряженный Х1.

Мы предполагаем известным, что введение описанных операций сложения и умножения преврашает множество С в поле, которое называется полем комплексных чисел; его элементы— векторы г=х+1у — называются комплексными числами. Таким образом, комплексное число г= (х, у) представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел х и у, которые (в дань исторической традиции) соответственно называются действительной и мнимой частью числа г и обозначаются символами х=йе х, у.=1гп х. (6) Числа г=(О,у), действительная часть которых равна О (в дань той же традици!1), называются мнимыми.

Введенная выше декартова форма (1) записи комплексного числа удобна для выполнения операции сложения (и обратной к ней операции вычитания). Однако, как ввдно из (4), умножение (и деление) выполняется в этой форме довольно громоздко. Для последних операций (а также для возведения в степень и извлечения корня) удобнее полярная форма комплексного числа: х=г(соз 1р+1 з)п 1р), которая получается из (2) переходом к полярным координатам (в такой форме можно представить любое комплексное число х ФО). Полярные координаты комплексного числа х=х+1у— полярный радиус т = 11 х'+ у' и полярный угол 1р, т. е. угол между положительным направлением оси х и вектором х, соответственно называются его модулем и аргументом и обозначаются символами г=1х), !р=Агях; (8) комплвксндя плоскость модуль определяется однозначно, а аргумент — с точностью до слагаемого, представляющего собой целое кратное 2п.