Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 12

Рагбси1аг!у ппрог(ап( аге ип!Гопп раг6(юпв оГ йе !п(суча! !О, 2л) х, = 2лГ(/!(Г, Г( = О, ..., !(à — 1 (о «ЫсЬ яе по(и гезгпсг оиг аяепгюп. рог висЬ рагшюпз, (Ье (г!аопоше(- пс !п(егро!а6оп ргоЫеп( сап Ье (гапвГоппе($ !п(о йе ргоЫеп( оГ Г(п(1!па а ржаве ро!уполз(а! (2.3.1.2) Р(х) = ГГо + Вг е'" + " + Вм ( е'" «(!(Ь соп(р1ех соеГОс(епгв ГГГ висЬ 1Ьа( р(х„) =Ге, Гг = О, ..., Х вЂ” 1.

1п(!ее(à — и(из — зе(зз(м Езе!(и -и!цм е(м — а!зз ап(Г йеге1оге ез(из е(м — л!(из В(П ЙХз = — — —, 21 а!из + (М вЂ” Ыыз (2.3.1.3) соз Ьхз =— 2 Ма(апа (Ьезе виЬв61и6опз ш ехргевзюпз (2.3.1.1) Гог Ч'(х) ап(1 йеп соПесг!па 1Ье ро(иегв оГ еггп рго(!осев а рЬазе ро1упош!а1 р(х), (2.3.1.2), «пй ' 1Г згп и ап(Г соз и Лазе го Ье Ьо(Ь еза!саге(! Гог гве загпе агзипгеп( и, Гаеп а пгау Ье а((зап(азеопз (о ега!па(с г = гап(и/2! ап(Г го ехргезз з!п и апг( соз и !п (еппз ог г: 2( з з!п и= — —, соз и=- —. 1+ г'' 1+ (1 ТЬ!з ргосег(пге !з ппгпепсапу згайе Гог О < и < и/4, ап(Г ГЛе ргояегп сап а!пауз Ье иапз- Гоппе(( зо (Ьа( (Ье агуипеп( Га!Ь (пго гаа( хапае. оГ, гевресбуе1у, !(Г = 2М + 1 ог Г(Г = 2М виррог( ро!п(в (х,,Г;), Г( = О, ..., К вЂ” 1. 1п(егро!а(юп Ъу висЬ ехргевзюпв гв вш(аЫе !ог (Га(а (иЬ!сЬ аге рог!о6!с оГ 1(по«гп рог!о(Г.

1п(Гее($, йе ехргезяопв Ч'(х) ш (2.3.1.1) гергевеп( регюоЧс Гипс6опв оГ х (и!й йе рог!о(Г 2л.' СопядегаЫе сопсергиа1 ап(Г а!аеЪга1с яшр1!6сабопв аге асЬ!еуе(Г Ьу из!па согпр!ех пшпЬегв ап(Г !пуп!(!па Гзе Мо!«ге'в !опии!а 74 2 спсегроСасьпп еоеСТсссепгв Р,, / = О, ..., !ь! — 1 смйсЬ аге ге1агегс Со йе соеГйссепгв Аь, Вь оГ Ч'(х) аз 1о1!оогв: (2.3.1.4) (а) Ц' !м' Сз осЫ, ГЬеп Х = 2М + 1 аа! Ао Ро= Рг=ч(А~ — сВ;) Рм-,= Ф(А + !Вз), 7'= 1, ..., М; ,4о = 2Ро, .4ь = Рь + Рм-ь, Вь = с(Рь — Рм-ь), Ь = 1, "., М.

(Ь) (1' !ь! гв еоел, йеп Х = 2М алг( Ро = — Р,= Ф(А„— !В;) Рм-;=1(Аз+ сВ') .у= 1 " М 1 Ао Ам. 2 4о= 2Ро А»= Рь+ Рм-л Вь=!(Рь — Рм-ь) Ь = 1, ..., М вЂ” 1, Ам = 2Рм. ТЬе сг!аопогпесг!и ехргеззюп Ч'(х) апс! Ьв соггевропйпа рЬаве ро!упопиа! р(х) аагее Гог а1! виррогс агаигпепсз х„= 2пИ~Х оГ ап ег!шйзсапс рагйЧоп о! йе спСегма1 10, 2п1: !» = Ч'(х„) = р(х„), !г = О, 1, ..., М вЂ” 1.

Ноьмеоег, Ч'(х) = р(х) пеег! пос Ьо1г! ас шсеппейасе роси!в х + х„. ТЬе сьмо ииегро!асюп ргоЫегпз аге еошма!епс оп1у 1пвосаг аз а зо!исюп со опе ргоЫегп чу!1 ргодисе а зо!иОоп со йе ойег сча йе соеСТсссепс ге!алоиз (2.3.1.4). ТЬе рЬазе ро!упопиа!в р(х) сп (2.3.1.2) аге ягиесигаПу япср(ег сЬап сЬе сг!аопотесг!с ехргевяопв Ч'(х) ш (2.3.1.1). 13роп аЪЪгео!ассов оь, — ега го:= е'*', ь апс! ыпсе оьг ~ гоь !ог 7' ~ lг, О < /, !г < 1м' — 1, Ь Ьесотез с1еаг СЬаС ьме аге 1асег! ичсЬ 1ивс а зсапг!агг! ро1упопиа! ипегро1асюп ргоЫепс !п йзаи!ве: йпг) СЬе (еогпр!ех) а!аеЪга!е ро!упопиа! Р осг!евсее 1евв йап !С! ъчСЬ Р(оьь) = !ю lс = О, ..., Х вЂ” 1.

ТЬе ипщиепевз оуро!упопиа! !псегро1ассоп итипедсасе1у а!оез йе !о1!оичпВ 75 2.3 Тпвооотегпе 1олетро!аиоо (2З.1.5) ТЬеогепв тот апУ зиРРотг Ротзз (хл, Гл), Ге = О, ..., М вЂ” 1, ло1Й Гл сотр!ех атГ хл = 2лlе/ЬГ, гЬете ехигз а ипиГие ржаве ро1употГа1 р(х) = ро + ГГле'"+ "'+ ГГм — ле1 Р(хл) =.Гл Гог Ге = О, 1, ..., !лà — 1. ТЬе соеГГгс1епгз 181 оГ ГЬе Гпгегро1аГ!па рЬаве ро1упопиа! сап Ье ехргевзед Гп с!озегГ Гопп. То Низ епг(, лие поге 1ЬаЬ Гог О < 7', й < Ж вЂ” 1 (2.3.1.6) со( = та,' апгГ олл ' = го(. Моте иироггап11у, Ьолчечег, лое Ьаче Гог О </, Ь < М вЂ” 1 (гЗ.1.7) ~М Гот1= Й, расой гог л !з а гоог оГГЬе ро!упопиа1 М-1 го~ — 1= (т — 1) ,'~ тл, л=о 1гогп лмЬ!сЬ еиЬег олг „= 1, апг! ГЬегеГогеу = Ь, ог м-л ,'~" оллгто '= ,'Г ол! '= ',> ол," „= О.

1пггодиспщ ГЬе И-чес1огв ~л1 (1 л л )т Ь лзе зее 1Ьаг ГЬе зигпз !п (2.3.1.7) аге 1Ье соплр1ех зса(аг ргог$исзз оГ 1Ье чесгогз лоо' апг( ло'л'. и — л -л 1ат О1 ( О> 1л1) л-о (2.3.1.8) (2з.1.9) тьеогепь тье рьазе ро1употга! Р(х) = ~~ м1 „' Дг ем" заг1фез Р(хл) =Ал, lе = О, 1, ..., 111 — 1, ТЬ!з дейп!1!оп оГ гЬе вса!аг ргог!исг оГ глмо согпр1ех чесгогз 1в згапг!вгй; Ь ппР1!ез гЬаг (ло, ло) = ,'~~и=о' ~гол~в > О 1ог еасЬ согпР1ех чесГог ло.

ТЬиз 1Ье чесзогз ло1л1 аге зееп го Гопп ап огГЬо опа! Ьаз!в оГ 1Ье сотар!ех врасе См. !лГоге гЬаГ 1Ье чесзогв аге оГ 1еп8ГЬ (ло1 ', ло1л1] = ~ ЬГ !пзгеай оГ 1еп81Ь 1, Ьолиечег. ргогп гЬе огГЬоаопа1!гу оГГЬе чесзогз илл' Го!!олив: 76 2 гпгегро)апоп (ог Уз сотр!ек ат! х„= 2л!г!Ру, (!'ат! оп!у г~' 1 л-г ! и-г Р! = — ,'> У„'иго ' = — 2 );е 1~! г=о !г г=о у = О, 1, ..., ж — 1. Риооп %11Ь 1Ье месгог по!акоп Г= (Д,у"„...,~„,)г, М-! — Х а *'= — И~")=д[Р. "'+.. +Р«- '" " "'1=Р,. и !г! г=о Рог рЬаве ро!упоппа!в ц(х) о1 дедгее аг шов! з, з < !г! — 1 рчеп, Ь 1в 1и депега1 пог ровз1Ые го шансе а11 гези!иа(з 4 — Ч(кз), !г = О, ..., !г' — 1, чапьЬ; ав гЬеу гоои1д 1ог йе шгегро!айпи рЬаве ро!упопиа1.

1и гЬ1з сопгехс, йе з-веупепгв Р.(х) = Ро+ Рге'"+" + Р.е*'* о1йе 1пгегро!аг1ид ро!упопиа! р(х) Ьаче ап 1пгегевг(пд Ьевг-арргохииаОои ргорегву: ц(х) = уо + у, е'*+ " + у,е"". ТЬе РЬазе Ро1упот!а! Р,(х) !з ил!дие!у г!егегтглег! Ьу йгв т!л!тит ргореггу. Раооп ЪУе шггос!исе гЬе месгогв Р. = (Р.(хо) " Р.(».— ))' Ч = (д(хо) " Ч(х.— ))' апд иве гЬе вса1аг ргог!исг (2.3.1.8) го и пге д(д) = у- ч, Х- 4. Ву ТЬеогеги (2.3.1.9), Р! — — (1!!Г!)[7", го"') 1ог у' = О, ..., !г! — 1. гогу' < з, 1 — У- Р., ~'Ч = — ~Х- Е Рь~'"', лсо = Р, — Р, = О, апд [Х вЂ” Р„Р, — д) = ~ [~' — р„(Р! — у!)и и') = О.

г=о (2.3.1.10) ТЬеогеги. ТЬе з-зедтепг р,(х), О < з < !г1, оТгЬе тгегро!аг!пд РЬазе ро!употга! Р(х) т!л!тьгез йе зит м-г 5(д) = 2 (ӄ— д(хз)(~ г=о [логе йаг К(р) = 0) оу йе зциагег! аЬзо!иге оа!иез о7 гЬе гези!иа!з обжег аП РЬазе Ро!улит!аЬ 78 2 1пглгро!аиоп 2.3.2 Рая Гтоипег Тгапв1оппв ТЬе шсегро1а6оп оГ ес(и!йвсапс ьиррогс ро(пгв (х„,7л), х„= 2и(с!Х, !с = О, ..., !сà — 1, Ьу а рЬаве ро!упопиа1 р(х) = ,'>",":„' рь е'* 1еас(в со ехргеввюпь оГ 1Ье Гопп [ТЬеогегп (2.3.1.9)1 и — 1 (2.3.2.1) ГГ7 = — ,'> Я,е ~'"'"'", / = О, ..., !лà — 1. !л(л р ТЬе еча!иа6оп оГ висЬ ехргевяопв В оГ рпше ипрогсапсе !и гоипег апа1ув!в.

ТЬе ехргевяопв оссиг а!ьо ав йвсгесе арргохипа6опв Гог !ЛГ ес1и!Йвсапс аг8ишепсв в — со 1Ье роипег сталь)опи Н(в), ~ Я)е — 2~пас Гг вЫсЬ регчас(ев шапу агеав оГарр!!ес1 тайешаг!св. Ночтечег, йе пшпепса! еча! иасюп оГ ехргевьюпв (2.3.2.1) Лас( 1оп8 арреагес1 со гес!и(ге оп йе огс(ег оГ !лГ' пш!сср!!са6опь, рисбп8 И оис оГ геасЬ Гог ечеп ЬщЬ-вреес! е!ее!гоше сосприсегв Гог 1Ьоье!аг8е ча!иев оГ 1лГ песеввагу Гог а виГИссепс!у ассигасе йвсгесе гергевепсасюп оГ йе аЬоче !псе8га!в, ТЬе йвсочегу [Соо!еу апс1 Ти(сеу (1965)) оГ а гпейос1 Гог гарЫ!у еча!иас!п8 (оп йе огс(ег оГ !сГ 1о8 слГ ши!6рИса6опь) аИ ехргеввюпв (2.3.2.1) Гог 1аг8е врес!а! ча!иев оГ !чГ Ьзв йеге(оге орепес1 ир чавс печч агеав оГ аррИсасюпв. ТЫв шеСЬод апс( Ив чапабопв аге саИес! 7аьг Гоиг!ет ггапз~отои.

Рог а с(есаИес( сгеасспепс ьее Вг!8Ьаш (1974) апс! В1оогпйеЫ (1976). ТЬеге агс сччо гпаш арргоасЬев, йе ог!8!па! Соо!еу — Ти(сеу осегЬос( апс( опе с(евсг!Ъес( Ъу Сепг!ешап апс! БапсГе (1966), сопипоп1 у саИес( йе Каис(еТи(сеу осегЬосГ. Вой арргоасЬев ге!у оп ап !псе8ег Гас!от!хас!оп оГ !сГ апс( с!есошрове йе ргоЫеш ассогйп81у шсо виЬргоЫегпв оГ!оччег с(е8гее. ТЬеве с!есошров!6опв аге 1Леп сагпес( оис гесигв(че(у.

ТЫв ччог(св Ъевс счЬеп !сГ = 2", п ) О !пге8ег. %е геяпсС оиг ргевепсабоп Со й!в шов! ипроПапс апс( пювг всга!8ЬСГогсчагсГ саве, а!СЬоиВЬ апа1о8оив СесЬпп1иев гЫИ с1еаг!у ччог)с Гог йе шаге 8епега1 саве !СГ = !СГс !сГл ... !ЛГ„, Х !пге8ег. ТЬе Соо!еу-Ти!сеу арргоасЬ !в Ьевс ипс(егвсоос( !п сегшв оГйе шсегро1а6оп ргоЫегп с(евспЬес! ш йе ргечюив вес6оп (2.3.1).

Биррове 1СГ = 2М апсГ сопяс(ег СЬе Ссчо !псегро1а6п8 рЬаве ро!упопиа!в с!(х) апс1 г(х) чч!СЬ я(х~л) =Лл, г(хил) =Лл. с, ТЬе рЬаве ро!упопиа1 с7(х) 1пгегро!агев аИ виррогс рошсв оГ ечеп иЫех, ччЬегеав йе рЬаве ро!упопна! г(х) = г(х — 2п/!сГ) = т(х — и(М) (псегро1асев аИ 1Ьове оГ осЫ иЫех. 8!псе [+1, Гс ечеп, ! — 1, !с осЫ, 80 2 гпсегро!аиоп Неге и гв висЬ 1Ьа1 й1 = 2". О1в11п8и1вЬ1п8 Ъе1игееп ечеп апс1 осЫ ча1иев о11 апс1 сошЬшшК оррояге 1еппв 81чев 1 и-г 1 м-г 1 м-г Рва — —,г Уа а — 2. (.1а+Аем)4-г — ~'„.1а л — г гч а=о гч а=о гг а=а 1 и-г 1 м-г 1 м-г Р. ° = — „, Е А!с"""=щ Е ((А-А.

))!'- = — Х Ф'- г'г а=о гч а=о гч а=о 1ог й = О ..., М вЂ” 1 апс1 М:= гч/2, япсе в„' = в„„в"„' = — 1. Неге Ха =А+А м 1с = О, ..., М вЂ” 1. .Г а = (Га — А.м)» 1п оп1ег 1о Ьега1е 1Ь1в ргосевв Гог ги = и, и — 1, ..., О, иге 1ег М:= 2 гс:= 2" апс1 1псгос1исе 1Ье пога11оп 1'с„', г = О, ..., гс — 1, 1с = О, ..., 2М вЂ” 1, сч11Ь Г"соа' = Га, Iс = О, ..., М вЂ” 1. Л5, " апс1 1сг"„г1 геРгевепг 1Ье с1иап1111ев 1'а апс1 1"а, геврес11че!у, игЬ1сЬ игеге шсгос1исес1 аЪоче.

1п 8епега! иге Ьаче, илгЬ М=2" г апс1 ге=2" 1 гм-г (2324) Ца.„г= — ~ 1)а1И» г, О ~ 1 1 О 2М 1 а=о чг11Ь 1Ье с1иап1111евД",' ва11в1у1п8 1Ье гесигяопв: иг=и,..., г = О, ..., (2.3.2.5) ц О, ..., ( 1с=О,..., Ркоок Биррове (2.3.2.4) 1в соггесг Гог вогпе М':=М,с2= 2 г гс':=2гс = 2" "". Рог 1= 2й апс1 11че!у, сче йпс1 Ьу сошЪ|шп8 оррояге геппв гс — 1, М вЂ” 1. ги ( и апс1 1ег 1= 26+ 1, геврес- 1 м-г 1 ам-г Р ',=Рв ..= — „, ,'г (Х!,аг+Х!,а1,мй~= — ~: Х!,а "в"' гч а=о а=о 1 м-г (3ав ... = Ргв,. = -- Х (Х!, 11 — 1'„,'.

) е» гч а=о м-г 2М' — 1 — Х (ХП -.1П.м)44'- = — „, Х Хйв,'а1 ".' „ гч а=о а=о тчЬеге г = О, ..., гс — 1, 1 = О, ..., 2М вЂ” 1. Хоа' А ТЬе гесигяоп (2.3.2.5) гурейев 1Ье Яапс$е-Ти1сеу шегЬос1. 11 гв 1п111а1ес$ Ьу рис 11п8 81 2.3 Тпзопопае1пс гпсегро!ааоп апг1 Гепшпагев 1ч!ГЬ 1о> Кегпгшп8 го 1Ье Соо1еу-Тп$геу шегЬог! Гог а пюге г!етайег1 а18опГЬпис Гоппи!абоп, тче аге Гасег! чч!й йе ргоЫеп1 оГ аггап!рп8 йе с1иап61!ев ф' ш ап аггау: р(к]:=ф~', к = О, ..., Х вЂ” 1. Ашоп8 вшгаЫе пгарз к = к(гп, г, ]), йе ГоПотч!п8 !з йе пювГ вгга!8ЫГопчап1: к=2"г+7', т=О,...,п, г=0,...,2" "— 1, 7=0,...,2" — 1.

П Ьав йе агГчапга8е, гЬаг 1Ье Ппа! тези!гз аге аигошабсаПу ш йе соггесг оп1ег. Но1чечег, ггчо аггауз р'1 ], р1 ] аге песеввагу го ассопппогГате 1Ье 1ей- апгГ 68Ы-Ьаий вЫев оГ йе гесигяоп (2.3.2.3). %е сап ша!ге до 1ч!й оп!у опе аггау р1 ] П 1че ехесШе йе ггапвГоппа6опв "!и р!асс," 1Ьаг !з, 1Г тче 1ег еасЬ ра!г оГ г!иап66ев Г!с,", (У,")г,г осетру йе вагпе роязюпв !и р( ] ав йе ра1г оГг!иапГ!Г!ев ф> ", )ф,,'1., Ггош гчЫсЬ 1Ье Гоппег аге сошрпгег1. 1п ГЬгв сазе, Ьотчечег, йе епГпев ш йе аггау р( ] аге Ьеш8 реппШед, апг1 йе шара 1чЫсЬ азз!8и йе роя6опв ш р( ] ав а Гипсгюп оГ йе !пге8егз т, г, ] Ьесогпе пюге сошрПсагег1.

1.ег т = т(т, г, 1) Ье а пгар алгЬ йе аЬоче шеп6опес! гер!асешепГ ргорег11ев, паше!у Ят] = Г!111 1ч!1Ь га = 1, ..., л, (2.3.2.6) * ' * ' ° г=О, 2" "— 1 т(е, г, ] + 2 ') = т(т — 1, г + 2", ]) ~ 2=0,...,2" ' — 1, (2.3.2.7) т(п, О, /) = 7', 1' = О, ..., Аà — 1. ТЬе 1азг сопе66оп пгеапз йаС йе Ппа! гевп11 Г! тчП! Ъе Гоипг1 ш роя6оп) ш йе аггау Я ]: фг = ры. ТЬе сопгП6опв (2.3.2.6) апг! (2.3.2.7) г!ейпе йе гпар т гесшяче!у. 11 ге1пашв го гГегепп!пе П ехрПс!Г!у.