Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 11

11 илП Ъе Ье!рГи1 |о р!о1 йе вес!иепсе оГ с1е8гее |урез (И, ») чгЫсЬ аге епсоип1егес! ш а рагПси1аг гесигяоп ав райв ш а сГ!а8гаш: %е илП с!!в1!п8и!вЬ !и|о Гс!пс!в о! а18опйшв. ТЬе Пгв1 Гс!псГ |в апа1о8оив 1о Хеилоп'в ше1Ьос$ оГ ш1егро!аПоп: А 1аЫеаи оГ с!иап66ев апа1о8оив |о 65 2.2 Ьпогро!апоп Ьу Вааооа! Енооаоов Соп6пп1па 1и гЬгв 1авЬюп, «1е агггуе а! !Ье 1оПоачпд ехргеввюп 1ог Ф" "(х): Р" (Х) Х вЂ” Хо "' '"'=е() =~"ад! '() Х вЂ” Хо =уо + Х вЂ” Х 1 1Р(хо, х,) + — —,—. --„— —,— Х вЂ” Хо Х вЂ” Х, 1Р(хо, х,) + Х вЂ” Х1 41(хо, Х1, Х1) + гР(хо Х! Х1 Х3) + Х вЂ” Х1„ + — - — —— гР(хо, ..., х1„) Ф" "(х) гв !Ьпв гергевепгед Ъу а солг1аие11 угас!!он: Ф ' (Х) = !о + Х вЂ” Хо/(Р(ХР, Х1) + Х вЂ” Х1/(Р(ХР, Х1, Х1) + Х вЂ” Х1/ф(ХР, Х1, Х1, Хв) + ' '' -'-*-Л.- "!*.

* — ° .1 1! 1в геай!у вееп гЬа! гЬе раув(а1 (гасГгопв о1 !Ь1в соп!1ппег( !гас!юп аге погЬ1па Ьп! гЬе гагюпа1 ехргеввюпв Ф" "(х) апг( Ф"""(х), !1 = О, 1, ..., и — 1, гуЬгсЬ ва!1в(у (2.2.1.1) апд угЬ1сЬ аге 1пйсаге1$ Ьа гЬе йаагагп (2.2.2.1): Фо,о( ) (. Ф' о(х) = !о + х — хо/1Р(хо, х,), Ф' '(х) = Д + х — хо/гР(хо, х,) + х — х1~91(хо, х„х1), Ехлми.в 1Р(хо, х;) 1Р(хо, Х1, хп) О1(хо, Х1, х1, х!) Х; — ! — 3 Ф' '(х) = О + х/ — ! + х — !/ — 1(2 + х — 2/Р2 2= (4х — 9х)/( — 2х + 7). 66 2 ! ОГегРОЫюп Весапве 1Ье птчегве г!!ГГегепсев 1ас1г вупппесгу, ГЬе во-са1!ед гес!ргоса! Нфегелсев р(х;, х;~ „ ..., Х,~,) аге ойеп ргеГеггег$.

ТЬеу аге гГейпегГ Ьу 1Ье гесигв!опв р(х,):=Го х; — х;.,1 р(хл х;~,):= (2.2.2.4) Г. Л+г х; — х;~, р(х;, х~п ..., х~,) =— р(х;, ..., Х,.~,,) — р(х;~п ..., х, „„) + р(х;~„..., х;~,,). гог а ргооГ 1Ьав ГЬе гес!ргоса1 йГГегепсев аге !п<$еег! вупипе1пса1, вес М!!пе — ТЬогпрвоп (1951). ТЬе гейргоса1 ййегепсев аге с!ове!у ге1агегГ!о гЬе ипегве йГГегепсев. (2.2.25) ТЬеогепь гог р = 1, 2, ... [!егг!лд р(хО, „х 2) = 0)от р = 11, гр(ХО,Х,, ...,Х„) = р(ХО,.,., Х,) — р(ХО, ...,Хг 2). Ркоок ТЬе ргоров!1!оп 1в соггесг 1ог р = 1. Аввпгп!па Ь ггие Гог р, вге сопс!псе 1гогп хр — х ~, р(х„..., х,) — ~р(х„..., х, „х,,) ГЬа1 хр — хр„ Р(ХО, ..., Хг) — Р(ХО, ..., Хг и ХО.~.1) Ву (2.2.2.4), хр~, — х р(Х,„, ХО, ..., Хг) —,О(ХО, ., Х„,) = —, р(ХО, ..., Х,) — р(х„„. и ХО, ..., Хг) %псе 1Ье р(...) аге вупппегпс, гр(ХО, Х„..., Х,~,) = р(ХО, ..., Х„~,) — р(ХО, ..., Хг,), еЬепсе (2.2.2.5) Ьав Ьееп ев1аЫ!ОЬегГ Гог р + 1.

б8 2 ! пгегро!»!гоп (2.2.3.1) ТЬеогегп. ага»!!пд гч!гб Ра о(х) Г. !2а о( .) гбе )оПою!пд геепгв!опв по!й: (а) ТгапягЕоп (р — 1, ч) — (!г, ч): Р, "'(») =а,д, '!'Р„".,'''(х) — а,„»,,о» г!'Р, "''(х), д», ( ),,»-г, д» вЂ” г, (,) а 1» — !, у» — !.»( ) (Ь) Тгапяггоп (Ег, ч — 1) — (гг, ч); р»,»(») — а». — гр», — г(») а», -гр», -г( ) К'(х)= »Р»' 'й" '(х) — ....»Р,":,' 'К' '(х) Ркооп %е вЬо!ч оп1у (а), гЬе ргооГ оГ (Ь) Ье!п8 апа!одопа Биррове гЬе гаг!опа! ехргевяопв Ф» " апд Ф,",," шее! йе шгегро!а!гоп гециггегпепгв Т", "(х!, Г,) = О !ог ! = в, ..., в + ф + ч — 1, (2.2.3.2) Т,"„''(х<, Г!)= О Гог !'= в+ 1, ..., в+ гг+ а 1Г гче дейпе Р," '(х), Д," '(х) Ъу (а), йеп йе де8гее оГ Р» ' с!еаг!у доев по! ехсеед р.

ТЬе ро1упопиа! ехргевяоп Гог Д» ' сопгашв Гоппа!!у а гепп гчггЬ .»»", »чЬове соеГГ!с!епг, Ьочгечег, чап1вЬев. ТЬе ро!упопиа! Д» ' гв йегеГоге о!дед!ее а! шов! к ггпа11у, Т» »(х, у) = а,д~ — "Т,"„-,"(х, у) — а„»„,ци, !' 'Т» "(х, у). г гош Иив апд (2.2.3.2), Т»»(.»;, Г;) = О Еог !' = в, ..., в + !г + и 13пдег йе 8епега! Ьуройеяв гЬаг по сошЬ1паггоп (и, ч, в) Ьав шассевяЫе ро!пгв, йе аЬоче геви1! вЬогчв гЬаг (а) шг1еед дейпев гЬе пшпегасог апд депопипагог оЕ Ф» '.

П 13пГоггипаге!у, гЬе гесигяопв (2.2.3.1) вг!1! сопгаш йе соеЕЕгсгепгв р»" ц» ''. ТЬе Гогпш!ав аге йегеГоге пог уе! вш!аЫе Гог гЬе са!си!а!гоп оГ Ф," "(х) Гог а ргевспЬед ча1ие оЕ гс Ногчечег, чче сап е!пшпаге йеве соеЕОс1епгв оп йе Ъаыв оЕ ГЬе Го!Ео»»1п8 йеогеш. (2.2.3.3) ТЬепгегп. (.) -!.'(,),.-!. -г,, (»-."г!) (х- » " -!) в!гб Е~! - Р»- !.'- г,1»- !,1 » ! ' » ! ' ! (.» — х» » ! ) ... (.» .»» '; » » — ! ) (Ь). Ф»" » ! ' (х) — Ф» » ! ( ) Усг ~» — ! „( ) , -. ! ,.

— ! ( ) гч'г" "г = Р*» ! я*+! 69 2.2 !п~егро!апов ьу каиопа! кчпспопь Ркоок ТЬе пигпегагог ро!упопна1 оГ ГЬе гаг!опа! ехргеьа4оп "(хя,"„'' '(х) —,",,'' г(х)д," "(х) !а аг гпоаг оГ декгее !г — 1+ ч апд Ьав и + ч — 1 г(!йегепг гегоь х,, !=я+1,я+2,...,ю+Гг+ч — 1 Ьу г(еГгп!г!оп оГ Ф," " апгГ Ф,",," '. !г пшаг ГЬегеГоге Ъе оГ ГЬе Гопп lг, . (х — .х„,) ... (х — х„„„„.,) чч!!Ь Гг, = — р,",,' " 'ц," ТЬ!в ргочеь (а). (Ь) га вЬоччп апа!окопа(у. (2.2.3.4) ТЬеогепз. Р'ог Гг > 1, ч > 1, (а). ф," "(х) = Ф,",,"(х) + ф,",,'"(х) — ф," '"(х) (Ь).

Ф," '(х) = Ф,",", '(х) + Ркооп Ву ТЬеогегп (2.2.3.1а), %е почч авьигпе ГЬаг р,",," ' ~ О, апг( пш11!р!у пигпегагог апг! г(еполипагог оГ !Ье аЬоче Ггасг!оп Ъу — р,"," '(х — х,.„,)(х — х„г) ... (х — х„„„ ф,,'"(х)Д," '"(х)Д,",," '(х) Та(г!пк ТЬеогегп (2.2.3.3) !пго ассоипк чче агггче аг а,ф,",,'"(х)[ ), — а„„,„ф," '"(х)[ .[ ь - ...,.[ ь (2.2.3.5) ччЬеге ), = Ф," '"(х) — Ф,",,'" '(х), [ ~г = Ф,",'"(х) — Ф,",'" '(х).

(а) Го!!очи Ьу а багга!кЬГГогчгагг$ ггапаГоггпаг!оп. (Ь) га г!ег!чег( апа!окопа!у. П ТЬе Гогпш!ая гп ТЬеогегп (2.2.3.4) сап почч Ье иьегГ го са!си1аге 1Ье ча!иез оГ гаг!опа1 ехргеаа!опт Гог ргеьсг!Ьег( х аиссеье4че!у„айегпаге1у !псгеаа!па 71 2.2 Сасегоо|аиоп Ьу Каиоаа! Гоаес!оаа ТЬе Гопии!ав (2.2.3.4) согиЬ!пе зч!|Ь (2.2.3.7) со у!еы йе а18опйи| т|, =Го т,:=О, т...— т! ! а (2.2.3.8) т|,:= т! ..

+ Гог 1 < lс < Ь ! = О, 1,.... Ьсосе йас |Ь|в гесигвюп Гогпш!а гС!ГГегв Ггоп| йе сопезропгс!п8 ро(упоииа! Гоппи1а (2.1.2.5) оп1у Ьу |Ье ехргеззюп |п Ьгасссесв (...), |чЫсЬ аввшиез йе ча!ие 1 |п йе ро1упопиа1 саве. 1Г чае сс!вр!ау йе ча1иез Т„!п йе саЫеаи Ье!очг, 1есс|п8 | соипс йе азсепсс!п8 |С!а8опа!в апгс Гг СЬе со!шппв, йеп еасЬ ~пв|апсе оГ СЬе гесигяоп !опии!а (2.2.3.8) |псегге!асез йе Гоиг согпегз оГ а гЬоп|Ьив: (|г,ч)= (О,О) (0,1) (1,1) (1,2)... Хо = Тоо 1! = Тго о= т, 7!! Тгг Тг! — —.~ 7|з 7зг о=т, Хг = 7го о= т, Хз = Тзо 11 опе |в ииегевсе|! !и йе габопа1 Гипс|!оп Ьве1Г, !.е. Ьв соеГОс!епсз, йеп йе тесЬоссз оГ Бесс!оп 2.2.2, |пчо1соп8 шчегве ог гес!ргоса! сссГГегепсев, аге зшсаЫе.

Ночгечег, |Г опе гсеягев йе ча1ие оГ йе |псегро!а6п8 !ипс6оп Гог 1изс опе яп81е аг8шпепс, йеп а18ог!|Ьшв оГ йе Ьсеч|Пе суре Ьаве|! оп |Ье Гоппи!ав оГ ТЬеогеп| (2.2.3.4) апсс (2.2.3.8) аге со Ье ргеГеггед. ТЬе !опии!а (2.2.3.8) Гз рагбси!аг1у ивеуи! ш йе сопсехс оГ ехсгаро!а6оп гиесЬодв (вес Бесс!сиз 3.4, 3.5, 7.2.3, 7.2.14). 2.2.4 Сопсраг!пд Вас!опа! апг( Ро1упопс!а! 1исегро1а6опв 1псегро!аиоп, аз |иепс!опегс ЪеГоге, |в !ге!!аеас!у ивегс Гог йе ригрозе оГ арргох!|пас!п8 а 8!чеп Гипс|!оп Г'(х). 1п |папу висЬ |пзсапсез, !псегро1а6оп Ьу ро!упопиаЬ юз епбге!у забзГассогу. ТЬе ясиа6оп !в г)!ГГегепс |Г йе!оса6оп х Сог зчЬ|сЬ опе |Сев!сев ап арргохипа|е ча!ие оГ Г(х) 1ж ш йе ргохипоу оГ а ро1е ог вои|е ойег яп8и!аг!су оГГ'(х) — 11!се йе ча1ие оГ сап х Гог х с1озе со и/2.

1п висЬ своев, ро1упопиа1 !п|егро1а6оп |Гоев иос 8!че за6вГассогу гехи!сз, зчЬегеаз га6опа1 !псегро1а6оп |спев, Ьесаизе га6опа! Гипс6опз сЬегивесчез гиау Ьаче ро!ев. 72 2 1п!агро!аг!оп Ехлмг!.в (га!геи Ггот Ви!!гвсЬ аи!Г КийвЬаивег (1968)). рог гЬе Гииспоп Г(х) = со! х гЬе ча!иев со! 1, со! 2', ... Ьаче Ьееи гаЬи!аге!Г. ТЬе ргоЫеи! !в го !Гегегшгие ап арргохипаге ча!ие Гог со! 2'30'. Ро!упопиа1 !игегро!агюи оГ ог!Гег 4, ияиа гЬе Гогши!ав (2.1.2.4), у!е1<!в гае гаЫеаи со! (х;) 996163 14.30939911 625328 21.47137102 23.85869499 22.36661762 113669 23.26186421 22.63519158 21.47137!90 23.08281486 0066626 22.18756808 18.60658719 005230 Канопа! !игегро!а!гоп гиггЬ (р, г) = (2, 2) ияи8 гае Гогпш!ав (2.2.3.8) гп сопггав! 8!гев 57.28996163 22.90760673 28.63625328 22.90341624 22.90201805 22.90369573 !9.08113669 22.90411487 22.90376552 22.91041916 22.90384141 14.30066626 22.90201975 22.94418151 11.43005230 3' ТЬе ехас! ча!ие !в со! 2 30' = 22.903 765 5484...; !псоггес! гГга!гв аге ипгГег!!пег!.

2.3 ТЕ1допотпеГпс 1пГегро1айоп 2.3.1 Ваис г ас18 ТНКопоше!г!с !пСегро!аооп ввез сошЪ!пайопз оГГЛе 1гг8опоше1Пс ГипсПопз соз Ьх апг( вш Ьх Гог 101е8ег й. %е ччП сопйпе оигве!иез 1о Гшеаг ш1егро1а1юп, ГЬа1 !в, !п1егро!а!юп Ьу опе оГ 1Ье сг!Копоше1г!с ехргевяопв 4 м Ч'(х) = — и + 2' (А„сов Ьх + В„яп йх) г А яшйаг явиайоп !з епсоип!егег1 (п ех!гаро!а1юп ше!Лог)в (все БесГюпв 3.4, 3.5, 7.2.3, 7.2.14). Неге а Гипсйоп Т(Ь) оГ !Ле яер !еп81Л Ь !в !01егро!а!ей а1 япап ровКГуе уа!иев оГ Ь. 73 2.3 Тпвопогпе(пс 1п(егро!а(гоп 4о Аз( (2.3.1.1Ь) Ч'(х) = — о + ',г„(А„соз Ьх+ Вз з!и Г(х)+ — сов Мх г 2 е"'* = соз Г(х + Г з!и Ггх. Неге ап(1 !и «Ьа( Го!1о«гз, Г (Гепо(ев 1Ье ипил!па(у ипп. 1Г с = а + ГЬ, а, Ь геа1, йеп с = и — ГЬ !з !(з сошр!ех соп~иаасе, а Гз 1Ье геа! раг( оГ с, Ь !(в !шаа!пагУ Раг(, ап(1 '!с( = ~'сс = гга + Ь !гв аЬво1ае Уа!ие.