Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 13

То йгв епгГ, 1ег а =0,1 Гогр=О,...,п — 1, г = ао + а, 2 + " + а„ , 2" Ье а Ь1пагу гергевеп1абоп оГ ап !пзе8ег Г, 0 < Г < 2". ТЬеп рп16п8 (2.3.2.8) р(г):=а„, + а„, 2+ "+ ао 2" ' с!ейпев а репппга6оп оГ1Ье 1пге8егв Г = О, ..., 2" — 1 саПес! Ь11 геиегза!. ТЬе Ь!1-гечегза1 реппита6оп гв зупппегпс, !.е. р(р(Г)) = Г. 83 ХЗ Тггаопогпегг!е!пгегро!аггел ТЬе а18опсЬгп йеп !а)сев сЬе Гопп Гог т:= 1 в!ер! пп61 л г(о Ьеп!и Гог 7':= О в!ер 1 пп61 2" ' — 1 йо Ье8!и е:= г-'; Гог г:= О вгер 2" пп61 2" — 1 г!о Ьеп!и и:=р[р+Я; и:=р[Р+7'+ 2 ') х е; и'[У + 7']:= и + и; Гг'[г + 7' + 2 '):= и — и епс) епсГ епй; Н йе Балде-Тп1сеу гесигвюпв (2.3.2.5) аге овес(„сЬеге !в а8аш по ргоЬ1еш гТ гаго апаув оГ 1еп8й гч' аге ача!ГаЫе Гог пепг апд оЫ ча!пев, геврес6че1у.

Ноччечег, гТ сЬе гесигвюпв аге го Ъе сагпед опс "ш р!асс'* ш а яп81е аггауД ], сЬеп пге пшвс а8а1п шар !орех гпр!ев т, г,7'1пго яп81е !п6!сев г. ТЫв !паев гпар Ьав !о ва6вГу сЬе ге!а6опв г(иг — 1, г, Гс) = г(т, г, Гс), г(т — 1, г + 2", !с) = .с(т, г, !с + 2 ') Гог т = л, л — 1, ..., 1, г = О, 1, ..., 2" — 1, !с = О, 1, ..., 2 ' — 1. 1Г чче аввшпе г(л„О, lс) = !с Гог lс = О, ..., ггг' — 1, йас 1в, сТ гче всаг! оп! сч!1Ь йе пашга1 огсГег, сЬеп сЬеве сопсГ!6опв аге ргеаве!у сЬе соп6!6опв (2.3.2.6) апд (2.3.2.7) птЬ!еп 1п гечегве. ТЬпв г = г(т, г, Гс) гв !6епс1са! со йе !пдех гпар г сопв1оегео Гог сЬе Соо!еуТп1сеу шесЬосЕ 1п йе ГоПочбп8 рвепдо-хг.аос Гоппп!абоп оГ !Ье Балде-Тп1сеу шеГЬод, чге аввпше йас йе аггау Г'[) Ьав Ъееп пп6а!гав 6!гесс!у пг1сЬ йе ча!пев Га: 7[! ):= Г„, Г = О, 1, ..., Х вЂ” 1.

Ночгечег, гЬе Опа! гевп1гв Ьаче со Ье "ппвсгагпЫед" пвш8 Ьгс гечегва1, 1 ГГ;:=,— Я~Я. 7'=О,...,Ь! — 1: Гог т:= и вгер — 1 пп!И 1 г!о Ьеп1п Гог !с:=О вгер 1 пи!!1 2 ' — 1 г1о Ьеп!п е:= я"; Гог г:= О вгер 2 пп61 2" — 1 4о Ьефп и:= Дг + Ц; и:= 7'[г + !с + 2 '); Х[" + Гс):= и + с; Г[г + !с + 2 '):=(и — и) х е епй 84 2 гпьогро!агапа 1Г аП ча!иев |„Гг = О, ..., М вЂ” 1 аге геа1 апь( 1ьГ = 2М 1в ечеп, ГЬеп ГЬе ргойегп оГ еча!иаПп8 ГЬе ехргевяопв (2.3.2.1) сап Ье геьГисегГ !и в!хе Ьу риггпщ Уь =Ли+ (Ггь~-о Ь = О, ", М вЂ” 1, апьГ еча1иаПп8 гЬе ехргевяопв м-г у; = — Е дье-г"иь~", у = О, ..., М вЂ” 1.

М ь=о ТЬе гГеягег! ча1иев Г)у, у = О, ..., Ь! — 1, сап Ье ехргеввегГ ш геппз оГ гЬе ча!иев у, у = О, ..., М вЂ” 1. 1пь(ееьГ, опе Ьав ьч11Ь у„,:= уо 1 (232 и!) 4 ' 4! Ум ') 4' Рвов 1! !в геаоП1у чег16егГ гЬаг 1 м-г 4(у + у ) Х "гь ГЬГ ь=о м — г ( — ) ~ г -гац<гь+гчи+г гви 4 3 М 2 !ьГ гь'г ! ь=о 1п шапу савев, рагг1си!аг1у П аП ча!иев Г; аге геа1, опе гв асгиаПу шгегевгег! ш ГЬе ехргеввюпв 2 и-ь уф В, = —,"> Гь вш пу ь=о 2и ' 2афг А,= — ,'Г Гь соз — —, га ь=о ьчЬ1сЬ оссиг, Гог 1пвгапсе, ш ТЬеогегп (2.3.1.11). ТЬе ча1иев А, В, аге соп- песГеьГ ьч!ГЬ ГЬе соггевропгПп8 ча1иев Гог Г!г ч1а ГЬе ге1аПопв (2.3.1.4).

2.3.3 ТЬе А1аог(ГЬгпв оГ Сгоег1ке! апй Ке(пвсЬ и-ь ,'> у„сов Гг~, ~ у, яп Гг4 ТЬе ргоЫеш оГ еча!иабп8 РЬаве ро!упоппа1в р(х) Ггош (2.3.1.2) ог гп8опошегНсехргевяопв Ч'(х) Ггош (2.3.1.1) Гог воше агЪПгагу аг8шпепг х = с гв саПегГ РоигГег зуигЬез!з. Рог рЬаве ро!упопиа!в, ГЬеге аге Ногпег-гуре еча!- иаПоп всЬешев, ав ГЬеге аге Гог ехргеввюпв (2.3.1.1а) ьчЬеп ьчг!Ггеп !и ГЬе Гопп Ч'(х)= 2';" м Дел".

ТЬе пшпелса! ЬеЬачАог оГ висЬ еча!иаГюп всЬешев, Ьоьиечег, вЬои!д Ье ехаш!под сагеГиПу. Рог ехашр1е, ьгоеггхе1 (1958) ргоровег( ап а18оПИпп Гог а ргоЫеш с1ове!у ге!а!ед го РоиПег вупгЬев!в, паше!у, Гог япш1!апеоив!у еча1иаг!п8 ГЬе Гиго вишв 85 23 Тпвопогпо1пс!п!огро!айоп Гог а 81иеп агйшпеп1» апд 81чеп ча!пев у„Г! = О, ..., Ф вЂ” 1.

ТЫв а!цопьЬ!и гв поь пшпепса11у вьаЫе пп1евв й 1в вп11аЫу шоо1йео. ТЬе а18опуйш Гв ЬавеьГ оп 1Ье ГоПоюп8: (2З.З:.1) ТЬеогепь г"ог» ~ гп, г = О, + 1, + 2, ..., 1)ейпе ьйе !Гиаиь!11еь М вЂ” 1 11!:=-; — ,"!" у, в1п(Г! — 1'+ 1)», 1 = О, 1, ..., 1!à — 1, яп»,, ГГМ:= Г1„! =О. Туеве !Гиапь!2!ез ьа6Яу !Ье гесигыамь (2.3.3.1а) 11, = у + 211!„со⻠— СУ2, 1 = Ж вЂ” 1, Ж вЂ” 2, ..., О. Гп раг!!си)аг Ркооь.

г ог О < ! < Ь! — 1, 1ес А =у;+ 2Уьь! со⻠— У1!1. Ву 1Ье арейа!1!оп оГ У, „112,1, 1 М-1 и — ! А = у. +, ~ 2(сов») ~ уь в)п(Г! — 1)» —,! у! в1п(Г! — 1 — 1)» яп» 1=1+ 1 1=1+1 И вЂ” 1 = у! + -, — ,'Г у![2 сов» яп(1! — 1)» — в!п(Г! — / — 1)»). В1П» 1=1+! ЬГоьь Непсе ТЬгв ртомев (2.3.3.1а).

(2.3.3.1Ь) гевьаьев !Ье дейп11!оп о1' У!. То иепГу (2.33.1с), по1е ьйас М вЂ” ! и-! Уь = †. — 2, у» в!п(1! — 1)» = †, — 2 у! вш(11 — 1)», яп» в!и» (2.3.3.1Ь) (23.3.1с) И-1 ~ у, яп Г!» = ГГ! вш 1=1 И-1 уь Сов Г!» — уо + 11! сов » — Уь. 1=о 2 сов» Яп(1! — 1)» = в!п(Г! — 1+ 1)» + в!п(1! — 1' — 1)». 1 Г и ! А = —,— ~уь яп»+ ,'! у! в!п(Г! — 1+ 1)» = ГГ..

яп» ~ ' 1=!М1 в!п(Г! — 1)» = сов» яп Г!» — яп» сов Г!». 86 2 |п|егро|апоп С»оег|геГв а18опй|п аррПез йе гесигвюпв (2.3.3.1) йгес|1у: ГГ[!»Г]:= ГГ[!»Г + 1]:=О; с:=сов(4); сс:=2 х с; Гог х= А» — 1 в|ер — 1 пп61 1 Йо Гги:=у~] + сс х Щ+ 1] — Щ+ 2]; з1:= у[О] + с х ГГ[1] — ГГ[2]; з2:= ГГ[1] х з!п(~); |о Ппд йе |1ез!гегГ гевпПв з1 = ',Г~",,', у, сов /г4, з2 = ',» ~~= »' у, яп /с4.

ТЬ|в а18опй|п !в ип!ог|ипа|е!у по| пшпепсаПу в|аЫе Гог япаП аЪво1и|е ча1иев оГ 4, !4! «1. 1пгГеег$, Ьа»Пп8 са1си1агег$ с = сов 4, |Ье гр|апП|у з1 = ,'» «:е' у„соз Г|4 аиП |Герсолт во1е1у оп с апд |Ье ча1иез у„. %е сап ччг!|е з1 = с»(с, уо, ..., у»»» ), »чЬеге »»- » 9»(с, уч, ..., у„,) = 2„у, сов Гг(агссоз с). в=а Ав т 8есПоп 1.2, »че |1епоге Ьу ерз |Ье |пасЬ~пе ргес!з!оп. ТЬе гоипгГоГГ еггог Лс = з,с, !з,) < ерв, |чЫсЬ осспгв |Гиг!п8 йе са!си!аПоп оГ с, сапвев ап аЬзо!и|е еггог Лр1 !и «1, вЫсЬ !и Пгзг-огг1ег арргохииаПоп а|попп|в |о д з з соз ч» х- » Л,з1 =' — Лс = — ', — — ~ Ггу, яп Ггс дс вю 4 »=о Ю-» = е,(со| 4) ~ Ггу яп Г|4.

|=а Ап еггог Л4 = зг4, (зг) < ерв !и 4, оп |Ье о|Ьег Ьапд, саизев оп!у |Ьееггог ]Ю-» л,а-- г„»|~ л» д4 !г=а Ю-1 = — в|с 2 Ггу, яп Ггс |п з1. Хо»ч со| 4 = 1!4 Гог япаП ) 4 ) . ТЬе !пйиепсе оГ |Ье гоппг1оГГ еггог !и с !з сопве|1иеп|1у ап огг$ег оГ и»а8п!!иде п|оге вспоив йап йа| оГ а соггевропгПп8 еггог !и 4. 1п о|Ьег а»опЬ, гЬе а18опй|п !з по| пшпепсаПу в|аЫе. 1п огдег |о очегсо|пе |Ьезе пп|пепса1 г1!ГПси1|!ев, Ке!пвсЬ Ьаз п»огГ!Пег! СоеггаеГз а!Пог!|Ь»п [вес ВпйгзсЬ апд 8|оег (!9б8)].

Не гПвПп8швЬев |Ье гччо савев сов 4 > О ап|1 сов с < О. Сазе (а): сов 4 > О. ТЪе гесигвюп (2.3.3.1а) у!е1|Гв Гог йе ЙПегепсе дГГ,:= Г㻠— Гг,,» йе ге1аПоп дГГ| = ГГ| — ГГ;.», = у; + (2 сов ~ — 2)ГГ,.», + ГГ|„— ЙГ,.», = 1~| + 2ГГ;.„+ дГГ»„. » 88 2 1пгегро!ааоп 11 йв геаеП[у сопйггпес[ ГЬа1 а гоипг[оП еггог Ы = в,2, (г„~ < ерв, ш саизев ап еггог оГ а( шов! и! з1, апг[ )согф2)( < 1 !ог сов С < О.

ТЬе а[8опГЬп! Гв 1Ьеге!оге игеП ЬеЬачег[ аз Гаг аз ГЬе ргора8абоп оГ ГЬе еггог Л2 !в сопсегпег). 2.3.4 ТЬе Са]си!акоп оГ моиг!ег Сое[ПО!еп(в. А((епиа(!оп Гас(огв 1.е1 Х Ъе 1Ье ве1 оГ аП аЬво[и1е1у сопПпиоивх геа! ЫпсПопз]' й — й игЫОЬ аге рог!ОГПс иг!(Ь рог!ос[ 2л. 11 гв вчеП )гистасп (вее )ог !пв(апсе АсЫевег (195б)1 ГЬа( ечегу ГипсПоп Ги Х сап Ье ехрапг)ее[ шго а гоиг!ег вепев В Г (х) = ',г с;е"", 1= — е (2.3.4.1) Р(х) = ))о+ Ргдг*+" + ])» гсг» иг!(Ь р(х,) = Гз ' А геа! Гипсиоп Г: [а, Ь] П Ь аЬзоадейу сои!!пиоиз оп ГЬе йпгегха! [а, Ь] и Гог ечегу с > О йоге ех!зи д > О висЬ йа! 2', ! Г(ЬД вЂ” Г(аД ! < в Гог ечегу Оп!ге ве! оГ йпгеггаи [а„Ь,] »ЬЬ а < а, < Ь, «". а„< Ь„< Ь апгй 2', )Ь, — а,.! < а 1Г йе Гипсгюп у!в гпйгегспиайе ечегугчЬеге оп йе с!свеи йпгегза! [а, Ь] ог, пюгс Зепегаиу, П а ваивйев а "ГхрвсЬйгх сопеииоп" ! Х( г) Х(хз)! < О)хг — хз ! оп [а, Ь], йеп Гге айпи!иге!у сопипиоиз, Ьиз пов сопчегве1у.

йеге аге аЬво1гпейу сопгйпиоив Гипсиопв апгЬ ипЬоипдед дев!чав!зев. ГГГЬе Ьгпсиоп п аЬво!иге!у сопгйпиоих йеп Ь п сои!!попив апд йь иегйчагпе Г' егиви аапозг счсгр»Логе. Могеочег, Г(х) = Г(а) в-]; Г'(г) й Гог х е [с, Ь]. ТЬе а!по!иге сопипгпгу оГГЬе Гипсгюпву д т ап йпгезга! оГ йе Гопп ]', Г П)д'(г) й а!зо епвигев йаг гпгезгаиоп Ьу рапв сап Ье саггйед огп ваге!у. вЫсЬ сопчег8ев !оигагг)в Г(х) Гог ечегу х и [в. ТЬе сое(Пс!епгв с, = сг( Г) оГ 1Ьгв вепев аге Пгчеп Ьу хз (2.3.4.2) с,= су(Г):= — ] Г(х)е Р" г[х, Г'= О, +1, +2, ....

2л о 1п ргасПсе, Ггег)иеп11у аП опе )споигв о[а Гипсгйопу аге йпв ча!иев Гв:= Г(хз) а1 ес)ийгПв!ап! аг8ишепгв хв:=2л)г/)з), игЬеге й!Г Гв а 8!чеп Пхег[ рогббче ш!е8ег. ТЬе ргоЫегп !Ьеп !в 1о Ппг), ипг)ег !Ьеве агсшпв1апсев, геавопаЫе арргохппа1е ча!иев Гог ГЬе Гоиг!ег сое(Пс!еп(в сз( Г). гйге игП! вЬоиг Ьоиг 1Ье шегЬог)в оГ 1гй8опоше1пс !п1егро1аПоп сап Ъе аррПег[ 1о ГЬгв ргойеш. Ву ТЬеогеш (2.3.1.9), ГЬе соеГПс!еп(в Г)1 оГ ГЬе !п(егро[агш8 рЬаве ро[упопиа1 89 ХЗ Тпзппппкегпе 1п1егрп!агппп 1" »у»(1) = »у»:= —;Г А.е-»- 2л е=п (2.3.4.3) !ог аП гпве8егв»'= О, +1, +2, ...