Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 10

11пдег йе пюге вгг!паеп! соп6!6оп Га С'"[а, Ь], ТЬеогеш (2.1.5.10) рго- »!сМ а Ьоппб со йе гпсегро1а6оп еггог !ог х а Г; г»Ь!сЬ апвез !Е йе сошропеп! ро1упопиа! Р, гер!асезГ' 58 2 1п|огро!апоп 2.2 1пГегро1а1юп Ъу Кагюпа1 Гипс)оп8 2.2.1 (аепега! Ргорег1(ев оГ Ка6опа1 1п1егро1а6оп Сопз(г(ег а8аш а 8(чеп ве1 оГя|ррогг ро(пгв (х„Г;),1= О, 1, 2, ....%ге»га! по»| ехапппе 1Ье иве оГ га6опа1 Гппс6опз Р"' "(х) ао + а,х +" + а„х" д" "(х) Ь + ь, х + " + Ь„х" Гог шгегро1а6п8 1Ьеве впррогг ро(пгв. Неге 1Ье |пгеаегв )г апг! ч депоге 1Ье шахпгппп деагеев оГ йе ро!упоппа!в ш йе пшпега1ог апг! г(епопппагог, гезресбче(у.

%е саП 1Ье ра|г оГ (пгеаегз (1|, ч) йе г(едгее гуре оГ йе га6опа! |п1егро1а1юп ргоЫегп. ТЬе га6опа! Гппс6оп Ф" " Гв г(егепп(под Ьу |Гв Гг + ч + 2 соеГПс|епгв ао, а,, ..., а„, Ьо, Ь„..., Ь„. Оп йе огЬег Ьапд, Ф" "г(егепшпез йезе соеГПс|еп(в оп!у ир 1о а сопппоп Гасгог р ф О. ТЫз ви88евгз йаг Ф"' " Гв ГЫ!у де1епЫпе|1 Ьу 1Ье 1| + ч + 1 (пгегро!агюп сопгп6опз (2.2.1.1) Ф" "(х;) = Г„ 1 = О, 1, ..., 1| + ч. %ге депоге Ъу А" " йе ргоЫеш оГ са!си(а6п8 1Ье гагюпа! Гппс6оп Ф" " Ггош (2.2.1.1).

11 (з с!еаг1у песеввагу 1Ьаг йе соеГПс(еп1з а„Ь, оГ Ф" " зо!че 6|е Ьош- о8епеопв вузгеш оГ!шеаг ег(пааопв (2.2.1.2) Р" "(х;) — Щ" "(х;) = О, ! = О, 1, ..., |г + ч, ог гчг(11еп оиг ш ГОП, ао + а, х; + " + а„х"; — Г;(Ьо + Ь, х; + " + Ь„х;") = О. %е г(епо1е 1Ье аЪоче зув1еш Ьу У' ". Аг Пгвг 8!апсе, виьвагиап8 У'" (ог А"" г)оез пог веегп го ргевепг а ргоЫеш. ТЬе пехг ехагпр1е гчП! зЬо|ч, Ьочгечег, йаг й(з гв пог йе сазе, апг( йаг гагюпа1 |пгегро!а6оп |в |пЬегепг! у пюге сопграсагей йап ро1упоппа! шгегро!а1юп.

Ехлмегв. Рог впррогг ро(пгв х; О 1 2 1 2 2 апг( 1|= г= 1: — Ь ао аа + а! — 2(Ьа + Ь!) = О, ао + 2а| — 2(Ьо + 2Ь! ) = О 59 2.2 1пгегро!а6оп Ьу Каггопаг ропсггопв !!р го а сопппоп попхего Гасгог, во!чдпа йе аЬоче вувгеш 5' ' уге!дв ГЬе соеГВс1епвв аз=О Ьо=О аз=2* Ьг=1 апд 1ЬегеГоге 16е габопа! ехргеввюп Ф' (х)ы —, 2х х пвдсЬ Гог х = О !еадв го 1Ье Гпдегепп!паве ехргеыюп О/О. АГгег спасе!!па 1Ье Гасгог х, гче агпче аг гас га6опа1 ехргеыюп Ф' '(х) ы 2. ВогЬ ехргеыюпв Ф' ' апд Ф' ' гергевепг 1Ье вапге габопа! Гппсдоп, паше!у 1Ье сопвгапг Гппсбоп оГ ча!ме 2.

ТЬЬ Гппс6оп ппввев 1Ье 6гвг впррогг ро1пг (хо, Я = (О, 1). ТЬегеГоге Ь доев пог во1че А' '. 5!псе во1гдпд 5' ' !в песеыагу Гог апу во!мюп оГ А' ', гче сопс!пде 1Ьас по впсЬ во!убоп ехыгв. ТЬе аЬоче ехатр1е вЬопгв !Ьас !Ье га6опа! !и!егро!абоп ргоЫегп А" " пеед по! Ье во1чаЫе. 1пдеед, гТ 5" " Ьав а во!п6оп пгЫсЬ (еадв !о а га6опа1 Гппс6оп йа! доев по! во1че А" "— ав агав йе саве гп !Ье ехатр1е — !Ьеп йе га!юпа1 ш!егро1а6ои ргоЫегп и по! во!чаЫе. 1и огдег !о ехапипе !Ыв Й!иа6оп гпоге с!ове!у, вче Ьаче го д!вдиап!вЬ Ье1ччееи сПГГегеп! гергевеп!а6опв оГ йе вате га6опа! Гипс!!оп Ф" ", ччЫсЬ апве Ггогп еасЬ ойег Ъу сапсеПиа ог Ъу !и!годсе(и5 а сопииоп ро1упопиа1 Гас!ог (и иптега!ог аид депопипа!ог.

%е вау !Ьа! !вчо га1юпа1 ехргевяопв, Ф,(х):ы —, Фв(х):ы- — —, Дг(х) ф О, Щх) ф О, Рг(х) Рз(х) Яг(х) Щх) аге ецшса!епг, апд вчп!е Фг Фг, Рг(х)Дв(х) ы Рв(хЯг(х). ТЫв !в ргесые1у гчЬеп йе !вчо га!юпа! ехргевяопв гергевеп! йе завис га1- юпа1 Гппсбоп. А га!юиа1 ехргевяои гв саПег( ге!аГ!се!у ргГгпе !Г Ьв пшпега!ог апд г(епопииа!ог аге ге1а6че!у рпте, !.е., по! Ьо!Ь д!ч!в!Ые Ьу !Ье вате ро1упопиа1 оГ роя!и е децгее. И' а га6опа1 ехргезвюп гв по! ге1а!и е!у ргпие, !Ьеп сапсеПпа аП соиппоп ро!упопиа! Гас!огз 1еадв !о ап ег!шча1еи! га6оиа1 ехргезяоп чгЫсЬ !в.

Р!иаПу чге вау йа! а га6опа1 ехргевяоп Ф" " и а во166оп оГ 5ы" гГ !Гв соеГПс)еп!в во)че 5ы". Ав по!ед ЬеГоге, Ф"' во)чев 5" " !Г И во)чев А" ". Кабопа1 ги!егро!а6оп !в согпрйса!ед Ьу !Ье Гас! !Ьаг йе сопчегве пеев( по! Ьо!д. 2 !тегро!апоп (2.2.1.3) ТЪеогеш. ТЬе Ьотодепеоиз Ппеаг зузгет оГ едиаг1оля У' " а!яауя Ьая попгг1«1а1 зо!ибопз.

Рог еасЬ яисЬ яо1ийол Р"' "(х) Д" "(х) Д"' "(х) ф 0 ЬоЬ!я, Ье., аН попгг1с1а1 яо1ийолз г!еГ(пе гавкала! ехргезя1опя. Ркоок ТЬе Ьотодепеопв Ппеаг зуз!ет 5" " Ьав и + «+ 1 ег!па!!опв !ог и + «+ 2 ппГгпоччпв. Аз а Ьотокепеопв 1шеаг зуз!егп ч«!1Ь тоге ппГгпозчпв !Ьап егГиаПопв, 5" " Ьав попгп«4а! во1пгюпв (ае, а„..., а„, Ье, ..., Ь„) + (О„..., О, О, ..., 0).

Рог апу впсЬ во1пг!оп, Д" "(х) ф О, в!псе (с"''(х) се Ь, + Ь, х + ". + Ь х" се О зчоп14 плР1У ГЬаГ ГЬе Ро!Упоппа! Р" "(х) = ае + а, х + " + а„х" Ьав!Ье хегов Р" "(х;) = О, 1= О, 1, ..., и+ «. 11 ч«оп!6 ГоПо««ГЬаг Р" "(х) ае О, гдпсе ГЬе ро!упоппа! Р" " Ьаз аг шов! гГеагее,и, апд чапьвЬев аг и + «+ 1 > и + 1 йПегепг !оса!!опз, сопггайсПпд (ае, а „..., а„, Ьо,, Ь„) вв (О, ..., 0). ТЬе ГоПоплпц 1Ьеогеш вЬозчв !Ьаг !Ье галопа! ш!егро1аПоп ргоЫет Ьаз а ппщпе во!и!юп П П Ьав а во!п!!оп аг аП. (2.2.1.4) ТЬеогепз. Ц Ф, атГ Фз аге Ьой (поп!гила!) зо!ийопз оГгЬе Ьотодепеоиз Ппеаг яузгет 5" ", йел йеу аге ецигоа1еп! (Ф, — Фз), йаг 1я, йеу г!егегтте йе яагле гаг1опа1 3ипсг!оп. Ркоок ГГ ЬогЬ Ф,(х) се Р,(к)(ЯДх) апд Фз(х) се РДх)ЯДх) зо1че 5" ", ГЬеп ГЬе ро1упоппа! Р(к):т Рг(кЯ,(х) — Р,(хЯДх) Ьаз и+ «+ 1 йПегепг гегоя Р(х,) = Р,(х;Яз(к,) — Р,(х;Я,(х;) = 1;Дг(х;)Дз(х;) — Г;Дз(х;)Дг(к!) = О, ! = О, 1, ..., 1г + «.

П!псе ГЬе с$екгее оГ ро!упоппа1 Р доев пос евсеей и + «, П ппв! чашзЬ и)епПсаПу, апгГ Ь ГоПо«чз ГЬаг Ф,(х) - Фз(х). П Ь!о!е ГЬаГ ГЬе сопчегзе оГ ГЬе аЪоче ГЬеогеш <Гоев по! Ьо1й а газюпа! ехргеввюп Ф, тау ч«еП во!че Я" ' зчЬегеав зоте ег!шча!епг гаПопа! ехргев- 61 2.2 !пгегро!апоп Ьу Капопа! рппопопа гдоп Фа доев поп ТЬе ргегдопв!у сопз1дегед ехагир!е Гпгп1вЬез а саяе !и ро!пи 1п ГасЬ ч«е адП вее 1ЬаГ 1Ыз в!!па!!оп 1в гур!са1 Гог пиво!чаЫе !ивегро1а6ои ргоЫешв. СопьЬ!шп6 ТЬеогешв (2.2.1.3) апд (2.2.1А), чче Ппд 1ЬаГ !Ьеге ех1ввв Гог еасЬ га!!опа1 !и!егро1а6оп ргоЫеш А'" " а пиЬПпе га6опа1 Гипс!!оп, е ЫсЬ гз гергезепГед Ьу апу га6опа! ехргевв!оп Ф" " йаг зо1чез йе соггевропддпд Ииеаг вув1еш У'". ЕПЬег ГЫв гаГ!опа! Гпис6оп за!!вйез (2.2.1.1), йегеЬу во1«!пд А" ", ог А" " гз иог во1«аЫе а! аП.

1п ГЬе 1а!гег саве, !Ьеге пшв! Ье ваше впррогг ро!и! (х,, Г;) ччЫсЬ !в "ш!ввод " Ъу 1Ье гагюпа! Гппсгюп. БпсЬ а зпррогг ро!п! !в саПед тассеяя!Ые. ТЬпв А" " 1в во!чаЫе И йеге аге по !пассевв!Ые ро!пгв. Бпррове Ф" "(х) яз Р" "(х)/Я"'"(х) !в а во1пбоп го У'". Рог апу ! е (О, 1, ..., р + «) ве д!зг!пбп!вЬ йе гччо сазев: (1) Д"' "(х;) ф О, (2) ~"'"(х;) = О. Гп йе Пгв! сазе, с1еаг!у, Ф"' "(х,) = Г;. 1п йе весопд сазе, Ьочгечег, йе впррогг рошг (х,,Г;) шау Ье !пассевв(Ые.

Неге Р" "(х;) = О пшз! Ьо1д Ьу (2.2.1.2). ТЬегеГоге, Ьой Р"" апд Д" " сои!а!и йе Гас!ог х — х; апд аге соивег!пепбу по! ге1а6«е1у ргппе. ТЬпв: (2.2.1.5). Ц Б"' " Ьая а яо!ш!оп Ф"'" ««ЫсЬ Ь ге!ее!ее!у рпте, Йел гЬеге аге по !пассеяв!Ые ро!пгя: А"'" !я яо!оаЬГе. Сг1«еп Ф" ", 1еГ Ф" " Ье ап ег1п1«а1еп! га!!опа1 ехргезгдоп чгЫсЬ !в ге!аГ!че!у ргппе.

%е гЬеп Ьаче йе аепега1 гевпП: (2.2.1.6) ТЬеогепь Биррояе Ф" " яо!рея 5«". ТЬеп А"' " !я яо!юаЫе — апд Ф" " гергеяепгя Йе яо!ибоп — ГГ апд оп!у (ГФ' " яо!пея У' '. Ркоор. Н Фа " во1чез У" ", йеп А"" !в во1«аЫе Ьу (2.2.1.5). И Фа " доев по! во1че Я" ", Пв соггевропоПпд гагюпа! Гппс6оп доев по! зо1че А" ". П Ечеп !Г йе Ппеаг вув!еш Я" " Ьаз ГпП гап!г р + «+ 1, йе га6опа! !псегро!а6оп ргоЫеш А" " шау иог Ье во!«аЫе. Ноч ечег, в!псе йе во!п6опв оГ У' " аге, !и гЫв сазе, ппщпе1у де!егш1иед пр го а сопппоп сопя!пи! Гасгог р ф О, «че Ьаче: (2.2.1.7) СогоПагу го (2.2.1.6). ~~'У' " Ьая Ги!! гапГе, Йеп А" " !з яо!раЫе (Гапд оп!у Д'гЬе яо!идоп 6«'' оГУ'" 6 ге!а!!ее!у рг!те.

%е вау йаС ГЬе впррогГ рошьз (х;, Г;), ! = О, 1, ..., о аге ш ярес!а1 роя!- дои 1Г !Ьеу аге ш!егро1а!ед Ъу а га6опа! ехргевв!оп оГ деагее гуре (к, Л) 2 1ясгро!аиоп 62 ъч1Ь к + 2 < о. 1п о1Ьег счогсГв, 1Ье |п1егро1а|юп ргоЫеп| !в во!чаЫе !ог а япаПег сошЪ|пес) сГе8гее оГ пшпега|ог апсГ сГепопппа1ог йап ви88евсей Ьу 1Ье пшпЪег оГ виррог| роси|я %е оЬвег»е йа1 (2.2.1.8). ТЬе аесевяЫе варрогг рои|з о(а лолво!»аЫе т|егро!аяол ргоЫет А" " аге |л зрес1а! рояяол, Раоои 1.е| 1„..., 1, Ье |Ье виЪвспр|в оГ|Ье !пассевяЫе ро!п|в, апсГ!е| Ф" ' Ье а во1и|юп оГ Я" ". ТЬе пшпега|ог апсГ йе с)епош!па1ог оГ Ф" " |чесс вееп аЬоче 1о Ьаче йе сошшоп Гас1огв х — х;„..., х — х;, счЬове сапсеПа|юп 1еас!в |о ап еПшча!еп| галопа! ехргеввюп Ф" " мчй к = И вЂ” а, Л = » — а.

Ф" " во1чев йе ш1егро1аПоп ргоЫеш А" ' счЬ|сЬ 1ив| сопяв1в оГ йе И +» + 1 — а ассевяЪГе ро!игв. Ав к+" +!=И+»+1 2а<И+»+1 — а. йе ассезяЫе ро|п1в оГ А" ' аге с1еаг!у !и врес!а! рояли, ТЬе оЬвегча|юп (2.2.1.8) шаГсев П с1еаг йа| попво1»аЪ|ГПу оГ йе га1юпа1 |и|егро1а|юп ргоЫеп| |в а с)е8епегасу рЬепоп|епоп: во1»аЬ|1Пу сап Ье гев|огес! Ъу агЪ8гагПу япаП реПигЪа1юпв оГ йе виррог| рош|в.

Гп |чЬаг ГоПосчв, сче ичП 1ЬегеГоге геяпс1 оиг а1|епПоп 1о Гй!!у лолсГеделегаге ргоЬ1ешв йа| !в, ргоЫе|пв Гог счЫсЬ по я|Ьве1 оГ |Ье виррог1 ро|п1в |в |и врес!а! рояПоп. !с!о!оп!у !з А" "во!чаЫе ш |Ь~в саве, Ьи1 во аге аП ргоЫешв А" "оГ к + Л + 1 оГ 1Ье оп8!па! виррог1 ро!п1в счЬеге к + 2 < И +». гог Гигйег сГе1аПв вес МПпе (1950) апсГ МаеЫу апс1 %||г8аП (19бО). Мов1 оГ 1Ье ГоПомлп8 сПвсивяоп аПП Ъе оГ гесигзг»е ргосес1игев Гог во!ч|п8 гаяопа! ш1егро!а|юп ргоЫешв А ' ". %ПЬ еасЬ яер оГ висЬ гесигвюпв 1Ьеге ичИ Ье аввос!а1есГ а гаПопа! ехргеввюп Ф" " оГ с!е8гее суре (И, »)»»!й И < |иапсГ» < л,аис1 е|йег йе пшиега1ог ог йе с1епопПпа|ог оГФ" ' ичП Ъе !псгеавес) Ъу 1. Весаиве оГ 1Ье ачаПаЪ|1Пу оГ й|в сЬо!се, |Ье гесигяоп шейосГв Гог га1юпа1 !п|егро1аяоп аге пюге чапес! йап йове Гог ро1упоппа1 !п|егро!а|юп.