Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 8

(х, — х;,)(х; — х;а,) ... (х; — х„) (2.1.1.3) го(х) ж - — —,— пг)ьЬ го(х) па П (х — х,). (х — х;)го'(х;) Р(х) за ',ь Г;Ьг(х) еа „'г Гь П- (2.1.1.4) а=о ТЬе аЬоче Гпьегро1аь)оп Гоппи)а вЬопгв ГЬаг ьЬе сое(йс)епьз оГ Р г)ерепг) !шеаг!у оп 1Ье виррогь огйпаьевГ;. %Ь11е 1Ьеогеь)саИу ипрогьапь, Ьадгапае'в Гоппи1а Ь, Ги депегаЬ поь ы вшьаЫе Гог асьиа1 са1си1аь)опв аз янпе оьЬег шеЬЬог)з Ьо Ье г)евспЬег) Ье1опг, рап)си1аг1у Гог!агре пшпЬегв л оГ виррогь роьпьв.

Ьадгапде'в Гоппи1а шау, Ьопгечег, Ье ивеГи! ш воше вЬиа- 1)опв ьп пгЬ)сЬ гпапу шьегро!аь)оп ргоЫегы аге 1о Ье во!чег) Гог ьЬе валье виррогг аЬвсьввае хь, 1 = О, ..., л, Ьиг ййегепь веьв оГ вирроП огйпаьев Гп г = О, ..., л. Евами.к. ггьчеп Гог л = 2: хг)013 Д 132 ьЧвпьед: Р(2), чгЬеге Р е Пь, Р(х,) = Гь Гог! = О, 1, 2. Ноге ЬЬаь оиг ргооГ во Гаг вЬоьчв ЬЬаь ЬЬе Ьадгапде ро1упопиа1в аге ипщие1у г)еьепшпег) Ьу (2.1.1.2). ТЬе во!и!гоп Р оГ 1Ье Гпьегро1аь)оп ргоЫеьп сап попг Ье ехргезвеь) йгесь1у ьп ьеппз оГГЬе ро1упопиаЬ ь„)еаг))пд го ГЬе ьадгалде Глгегро!апол Гогльи1а: 40 2 1лсегро!айол 5оГигюл: (х — 0)(х — 3) (! — О)(! — 3) ' (х — 0)(х — 1) (3 — 0)(3 — 1) ' (х — 1)(х — 3) йл(х) и— (Π— Ц(0 — 3) ' Р(2)=!'/о(2)-~-3'Гч(2)+2'1в(2)=1' .~-3'1 ~.2' — = —.

— 1 1 1О 3 3 3 2.1.2 Ь)еу!11е'в А1догйЬт 1пвгеай оГ во!в!па 1Ье !пгегро1айоп ргоЫегп а1! аГ опсе, опе ш!айг сопв(йег во!~чпа 1Ье ргоЫегп Гог япа!1ег ве1в о( впррогг рошгв йгвг апг) 1Ьеп орда!!пй Гйеве во!пггопв Го оЫа!п Гйе во1пйоп го 1Ье Гп11 !пвегро1айоп ргоЫеш. ТЫв !оеа а!!1 Ъе ехр!огей ш 1Ье 1011оачпа иве весйопв. гог а а)геп вег оГ впррогг ро!пвв (х;, Г;), Г = О, 1, ..., л, вге г)епоге Ьу 1ЬаГ ро!упопиа) ш П„Гог вЫсЬ Р;„, ч(хч) =)3, у = О, 1, ..., Гс.

ТЬеве ро1упопиа!в аге 1ийео Ьу 1Ье Го!!оачпа геспгв!оп: (2.1.2.1а) Р;(х) = Г;, (2121Ь) Р гхгвв( ч) ~Ь- а( ) ( Ь) ~оч-. аале( ) чч-а( ) ха х!О (х; — хц)~; — (х; — х;,) Г; хв хч Гог 3' = 1, 2, ..., Гг — 1. ТЬпв Рг = Р.п,„ш иегг оГ гйе ппп(пепевв оГ ро1упопиа! !пгегро1айоп [ТЬеогеш (2.1.1.1)]. П Жеи)!е'в а)допг)лл аппв аг йевегш!п!пд гйе ва1пе оГ 1Ье !01егро1айпа ро!упопиа! Р Гог а в!па)е ва)пе оГ х. 11 !в!евв вп!Гег)1ог оегеггп!п!пй 1Ье !пгегро!айпа ро1упопиа1 !гве!Г.

А!допйппв 1Ьаг аге гпоге е(йс!еп1 Гог 1Ье Раоог. (2.1.2.1а) гв гг!иа!. То ргове (2.1.2.1Ь), вге йепо1е йв г!йЬг-Ьапд в!г)е Ъу К(х). апй ао оп 1о вйое 1Ьаг Я Ьав 1Ье сйагас1ейвйс ргорегйев оГ Р,,ч а. ТЬе йейгее оГ Рг !в с1еаг1у по йгеагег 1Ьап Гг. Ву Гйе йейп!1!опв оГ Я(х;,) = Р,, а,(х;,) =Г;„ Я(ха) = Рч а(ха) 42 2 гпгегро!айои ТЬе гаЬ!еаза (2.1.2.2) Ьесотев хо Хо = Тео Т,, х, /з=Тзе Тзг Тз з .!зз Тзз Хз = Тзо (2.1.2.4) хг хз ТЬе аггогчв !по!саге Ьозч гЬе агЫГйопа! ирччаго й!айопа1 Т;„Т;„..., Ти сап Ье сопвггпсгегГ !Г опе тоге впррогг рошг (х„/;) гв аооег$. ТЬе гесигяоп (2.1.2.1) пгау Ье пюг(!йед Гог тоге еГйс!епг еча!иайоп: (2.1.2.5а) Тд:= Г;.

Т;,,— Т; Т;„,+ — ':: — ' х — х; „ ! х — х; ТЬе Го!!огч!па вг.аог. а!йогМип !в Ьавей оп гЬ!в пюо!йео гесигв!оп: Гог Г:= 0 вгер 1 ппг!! и. ао Ьей1п ф]:= ф]; Еог/:= ! — 1 вгер — 1 ппй! 0 йо г[/]:= ![/+ 1] + (г[/+ 1] — гИ) х (г — х[!])/(х[!] — х[/]) епй; АГГег Гйе шпег 1оор Ьав Гепп!па!ее, Г[/] = Т..., 0 </ < Ь ТЬе оев!гегГ ча1ие Т„„= Р„„оГ 1Ье ипегро!айпй ро1упозпза! сап Ье Гоипо !п г[0]. йгй! аповЬег пюг!!йсав!оп оГ ЬГеч!1!е*в а!аогйЬзп вегчев со ппргоче вопгезчйа1 гЬе асспгасу оГ гЬе !псегро!агео ро1упоппа1 ча1пе. гог ! = О, 1, ..., и, !еГ Гйе опапГ!Г!ев Да 1)а Ье гГейпео Ьу Дщ:= 0,е:=/о Да:= Та — Т... О„:= т,„— Т..., ( 1 < Гг < 1 ТЬе гесигяоп (2.1.2.5) !Ьеп ггапв!а!ев !п!о (2.1.2.6) х,— х 0з (Й,з-з Й вЂ” з,а-з) х,. — х; х; з — х ГЗа' (Оез-з й-з,з-з) х; — х; 1<Гг<й 1=0,1,...,и.

(х х' з)Т з з (х х)Т 1 (2.1.2.5Ь) 1 < Гг < й ! = О, 1, ..., и. 43 2.1 1пзегро!ааоп Ьу Ро1упоппа!з йгагг!пп зч!гь Д;о:= 0;о:=7;, опе са1си!агев Д,а, Гза Ггопг гье аьоче гесиг- яоп. Гшайу л т:=7„+ ~'д . 2=1 1ГГЬе ча1пев Го,..., 1„' аге с!ове го еасЬ огЬег, Гйе циап111!ев Д. »ПП Ье япай сошрагег( Го ~.. ТЬГв виааевгв Гопп!па 1Ье вшп оГ 1Ье "соггесйопв" Д„„..., Д„„йгвГ '!сои!гагу го (2.1.2.5)) апд гйеп аййпд й со Г, ГЬегеЬу ачоЫ!пд пппесеввагу гоппдоГГ еггогв.

Хосе йпайу гЬаг Гог х = 0 1Ье геспгяоп (2.1.2.5) гаГгы а рагйси!аг!у вйпр1е Гопп (ггй2.7а) тго =Л т; „— т!-,~- т;„:= та — + х; „ — — — 1 х; 1 < Ге < Ь (2.1.2.7Ъ) — вь 1!сев Пв апа!ой (2.1.2.6). ТЬеве Гоппв аге епсоппсегегГ зчЬеп арр!у!па ехГгаро!айоп шегЬгхГв. Рог ГйвГойса1 геавопв шагп1у, зче пзепйоп Агйеп'з а!дог1йт. 11 !в а!во ЬавегГ оп (2.1.2.1), Ьпг паев ЙГГегепг !пГегшео!аГе ро!упопиа1в. 11в ГаЫеаи Гв оГГЬе Гопп ХО х, Хг Хз ТЬе йгвГ со1шпп айа!п сои!а!пв гйе ргевспЬегГ ча!сев~.

ЕасЬ виЬвеопепГ епГгу оег!чев Ггош ГЬе ргеч!опв еп1гу ш ГЬе вапзе гозч апй ГЬе Гор еп1гу ш Гйе ргегйопв со!шпп ассогйпд Го (2.1.2.1Ь). 2.1.3 Хе»гоп'в 1пгегро1айоп могши!а: 111ч!г(ег! ГНГегепсев Хегййе'в а!аопгЬш !в Пеагег( гозчаггГв деГегш!п(пй !пГегро!аг!па ча1иев гаг Пег гЬап ро1упопиа!в. 1Г гйе !пгегро1айпй ро1упопиа1 Пве1Г Гв пееоег$, ог !Г опе зчапГв 1о йпгГ !п1егро1аг!па ча!пев Гог вечега1 агуипепгв Сг вппийапеопв1у, 1Ьеп Хезчгоп'в шгегро!айоп Гопгш!а !в го Ье ргеГеггегГ. Неге зче Го = !'о(х) Гг = Рг(х) Г2 = Р2(Х) Л=Р() Га = Ра(х) о() Ро2(х) ! оз(х) Роа(х) Розг(х) Р,() Р, Роге(х) Розга(х) Розгзе(х) 2 го|огро|а||оо |чг!ге йе !п!егро1аг!па ро1упоппа1 Р и П„, Р(х|) =Го ! = О, 1, ..., п„т йе Гопп Р(х) = Ро, „(х) — : ао + а,(х — хо) + ав(х — хо)(х — х|) + ...

+ а„(х — хо) ... (х — х„,). (2.1.3.1) ЬГоге йа! йе еча!паг!оп оГ (2.1.3.1) Гог х = с и|ау Ъе гуопе геспгяче!у аз !п|!!саге|! Ъу йе Го!!очч!па ехргевв!оп: Р(в) = (... (а„(~ — х„,) + а„,)(с — х„|) + " + а!)(с — хо) + ао. ТЬ~в ге!!и!гев Ге|пег орегаг!опв |Ьап еча1паг!па (2.1.3.1) |епп Ьу |епп. 1! соггевроп|1в |о |Ье во-са11ег! Ногпег зсГ|е|пе Гог еча1иаг!па ро!упо|ша1в |чЬ!сЬ аге а!чеп |п йе авиа! Гопп, |.е. |п гегшв оГ ро|чегв оГх, ап|Г Ь вЬо|чв йа! йе гергевеп|а|юп (2.1.3.1) |в чге!1 вп!ге|! Гог еча1паг!оп.

1! гешалпв |о |$егегпипе йе соеГГ|с!епгв а; |п (2.1.3.1).!п рппс|р!е, йеу сап Ье си!оп!а!е|! впссезяче!у Ггош Хо = Р(хо) = ао ° Г, = Р(х,) = ао + а,(х, — хо), Р(хв) = ао + а|(хв хо) + ав(хв хо)(х! Х|) !с=О,1,...,п впсЬ йа! (2.1.3.3) Рпп ... и( ) — = Рпп .. а,(х) + Х.п ... и( — и)( —;,)... ( — а,) Гго|п |Ь|в ап|1 !гот йе кГеп!!гу Р;,(х) |и Г;, |! Го!!отчв !пнпе|!!аге1у йа! (2,1,3.4) Р„п а(х) я Г;, + Г;„,(х — х;,) + ".

+Г;,и а(х — х;,)(х — хп) ... (х — хп .) |в а ЬГечггоп гергевепгаг!оп оГ йе рагг!а!1у !пгегро!аг!па ро!упоппа! Р;„,, и. ТЬе соеГГ|с!епгв (2.1.3.2) аге са1!ег! Гг й йр!о!е|Г йфегепсев. ТЬ|в сап Ъе |!опе чч!гЬ п |1!ч!в!опв ап|Г п(а — 1) шп1г!р!!саг!опв. ТЬеге !в, Ьочгечег, а Ье!гег |чау, |чЬ!сЬ ге|!и!гев оп!у и(~ + 1)/2 |1!ч!в!опв ап|! |чЬ|сЬ ргогГисев пвеГп! !п!еппе|!!аге гевп1!я ОЬвегче йа! йе г|чо ро!упоппа1в Р|„, а(х) ап|1 Р,„, а,(х) |!!!Тег Ъу а ро!упоппа1 оГ деагее Гг |ч!гЬ Гг брегов х,„х|,, ..., х|, „япсе Ъой ро!упош!а!в |п|егро1а|е йе со!!европ|!!па впррог! ро!пгв.

ТЬегеГоге йеге ех!з|в а пп!г!пе соеГГ|с!еп! (2.1.3.2) 45 2.1 1пгегро!акоп Ьу Ро!упот1аи ТЬе гесигвюп (2.1.2.1) Гог 1Ье рагйа1!у !игегро1аг!па ро!упош!а!в 1гапв1агев ш1о 1Ье гесигяоп Ло...11 -Ло...11, Л х — х. 1о 1о (2.1.3.5) (2.1З.б). ТЬе 111пЫеоГ 11фегепсев Л„, и аге тсапапг са регтигапапз оГгЬе 1по11сез 1о, 1„..., 1„: 11 (1о 11 11) = ('*, 1*, - ',) 1в а регтига11оп о1 гГге 1пеИсез 1о, 1„..., 1,, Йел Лоио- го =Ло1о- и' 1Г где сЬоозе 1о са1си1а1е 1Ье йу!дед йГГегепсев гп апа1оау го ЬГеу!1!е'в шегЬое$ — !пвгеас! оГ, вау, А!1!сеп'в шегЬоо1 — 1Ьеп ч е аге 1егГ го 1Ье Го!!опппа гаЫеаи, саВед 1Ье 111п111е11-йфегепсе всГ1ете: О Гг=! 11=2 Ге = л ХО1 Хогг (2.1.3.7) Лг ХО12 ...л л — 2,л — 1,л Л Л вЂ” 1,л ТЬе еп1пев !и 1Ье весопд со1шип аге оГ 1Ье !опп Л Хо 7.

Хг Л Х, — ХО Хг — Х, Гог 1Ье йч!11ег$ 11!Йегепсев, япсе Ьу (2.1.3.3), Л, 1, апд Л, „, аге 1Ье соеГВс!епгв оГ1Ье Ь!аЬевг гегшв оГГЬе ро!упопиа1в Р1.1, 1„ап13 Р..., гевресг!че1у. ТЬе аЬоче гесигвюп вгаггв Гог lе = О пл1Ь 1Ье а!уеп вирроП огйпагез Л, 1= О, ..., и. И сап Ье овес! !и чагюив угаув Гог са1си1аг!па йуЫес$ ййегепсев Л„Г,,1„...,Л„,;, «1Ь!сЬ 1Ьеп сЬагасзег!ге 1Ье дев!гас! !п1егро!аг!па ро1упопиа! Р = Р;„, Весаиве 1Ье ро1упопиа! Риь оа !в ипЬ1ие!у 11е1егпнпесГ Ьу 1Ье виррогг роги!в Ь шгегро1агев [ТЬеогеш (2.1.1.1)1, 1Ье ро1упопиа1 !в !пчапап1 1о апу реппшаВоп оГ 1Ье шйсев Го, 1,, ..., 1,, апд во гв Ьв соеГйс!еп1Л„, 1„оГха. Т1шв: 47 2.1 гпгогро!аиоп Ьу Ро!уаоаиаа Богис )х)егчгоп гергевепгаг!опв оГ гЬе ваше ро1упопиа1 аге пшпепса1!у шоге ггивгагоггЬу го еча1иаге Игап огЬегв.

СЬоов!п8 гЬе регпшга6оп во йаг ) с — хг,! > ( с — хп ,), Гг = О, 1, ..., и — 1, г)ашрепв йе еггог (вес ЯесГ!оп 1.3) 6ипп8 йе Ногпег еча!иабоп оГ (2.1.3.8) Р(х)га Рм; (х) га(а+ Гг,п(х — х;,)+" +Гмг, и(х — х;,) ... (х — х;,). А!1 Хегч1оп гергевепгабопв оГ ГЬе аЪоче 16п6 сап Ъе Гоипй ш йе в!п8(е г)!ч!бег(-6!Йегепсе всЬеше игЬ!сЬ апвев !Г йе виррогГ аг8ишепГв х;, г = О, ..., л, аге огбегег) Ъу в!2е: х; < хгог Гог ! = О, ..., л — 1. ТЬеп йе рге(еггег( вег)иепсе оГ !п6!сев Г„, Г„..., 1„!в висЬ йаг еасЬ !пйех Г, !в "аг))асепг" Го воше ргеч!оив !пг)ех.

Моге ргес!ве1у, е!ГЬег г = пип(г, !О < !< Го) — 1 ог Г„= шах(!1!О < Г < Гг) + 1. ТЬеге1оге ГЬе соеГГгс!епГв оГ (2.1.3.8) аге Гоипг) а)оп8 а 2!82а8 раГЬ вЂ” !пвГеа6 оГ йе иррег г(евсеп6!п8 6!а8опа! — оГ йе 6!ч!дед-д!ГГегепсе всЬеше. Магг!п8 Рбй Г,„йе рагЬ ргосеег)в го ГЬе иррег г!8Ьг пе!8ЬЬог гГ гг < г,, ог го 1е !оигег г!8Ьг пе!8ЬЬог гГ 1,) гг Ехлмчгв.

1п гЬе ргечгоы ехатр!е, а ргеГепед вегГиепсе Гог Г = 2 гв ТЬе соггевропгг!па рай гп йе Жчгг!ед г!!ГГегепсе всЬегпе Ы !пгггсагегГ Ье1оас .Го = 1 хо — — О Хог=2 х,=! А=3 .Гогг =— 1 ггг= г хг = 3 ТЬе иеягег! Хегчгоп гергевепгаиоп аи Ргго(х) га 3 — г~(х — 1) — го(х — 1)(х — 3), Ргго(2) = ( — в(2 — 3) — ))(2 — 1) + 3 = гга. Ггег)иеп11у, йе виррог1 ог6!пагев Г; аге йе ча1иев Г(х,) =Г; оГ а 8!чеп Гипс6оп /(х), агЬ!сЬ опе агап!в Го арргохппа1е Ьу !п1егро!а6оп. 1п 116в свае, йе 6!ч!бег) 6!йегепсев пгау Ъе сопвн$егег) ав пш16чапаге Гипс6опв оГ йе виррогг аг8шпеппв хг, ап6 аге 16вГопсаПу гчпггеп ав Г[хг„..., х;„).

48 2 1псесросвс!оп ТЬеве 1ппсВопв ваВвГу (2.1.3.5). Рог спвгапсе, Л.]=У( ). Г'[хс] — Г'[хе] Ясс) — Г(хе) .Г'[ о с] вв х, — хе х, — хе .Г[хс. »2] †.7[хо, »1] ~г о Цхд)(»с — х„) — Г (хс)(хг — хо) + Г (х„)(хз — хс) (хс — хо)(хг — хе)(хг — хс) Г[х„..., х„] — Г[хе, ..., х„,] хс — хе А!во, (2.1.3.6) фреев ппгпейаге!у: (2.1.3.9) ТЬеогепз ТЬе сГ1п1сГесГ сГфегепсез Яхс„..., хп] аге зуетеггсс Гипс11опз о[ сЬеГг агдитеогз, Ке., гЬеу аге Гпоагсапг го регтигабопз о( гЬе 11 1Ье ГппсВоп Г(х) гз Ьзе!Г а ро1упопиа1, 1Ьеп вге Ьаче 1Ье (2.1.3.10) ТЬеогепг.

Ц Г(х) св а ро!употса! о(сГедгее М, гЬеп Г[хе, ..., хв] =О Гог Гс > Аг. Ркоок Весапве оГ 1Ье шис1не во1чаЫ111у оГ 1Ье ш1егро!акоп ргоЫегп (ТЬеогегп 2.1.1.1), Ре,(х) ж Г'(х) Гог lс > Ас. ТЬе соеГйс1еп1 оГ х" т Р, „(х) пшв1 1ЬегеГоге чап1вЛ Гог Гс > М. ТЫв соеГВс1епг, Ьопсечег, и 81чеп ЬУ Дхо, ..., хс] ассогйп8 го (2.1,3.3). П Ехлми.в. Г(х) = х~. 1 2 3 4 1 1 3 О 1 О 5 О 1 7 2.1 Гпгогро!аиоп оу Ро!улова!аЬ 1Г ГЬе Гппс6оп Г(х) 1в впГОс!епг!у ойеп йГГегеп6аЫе, гЬеп Ьв йч!гГег! ЙГГегепсев Яхо, ..., х,] сап аЬо Ье дейпег! !Г воше оГ гЬе агунпепгв х,. со!пс)де.