Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 9

Рог !пвгапсе, 1Г Г(х) Ьав а йепчабче аг хо, гЬеп !г та!сев вепве Гог сегга!и рпгровев го бейле .Г !хо, хо]:=Г(хо). гог а соггевропг!!па шоййсаг!оп оГГЬе 6!ч!гГед-гНГегепсе всЬегпе (2.1.3.7) все Бесг!оп 2.1.5 оп Негппге 1пгегро!аг!оп. 2.1.4 ТЬе Еггог !п Ро1упогп!а1 1п1егро1а6оп Опсе апаш гче сопв1гГег а а!чеп Гппс6оп Г(х) апд сегга1п оГ Ьв ча!пев Г; = Г(х;), ! = О, 1, ..., л, гчЫсЬ аге со Ье !псегро1агед. %е члвЬ со авГг Ьогч гче11 йе !псегро!агпщ ро1упопиа1 Р(х) = Ро „(х) чч!ГЬ Р(х;) =Г;., ! = О, 1, ..., л гергодпсев Г(х) Гог агрппепгв 61ГГегепг Ггош йе впррогг агапшепгв х, ТЬе еггог Г(х) — Р(х), %Ьеге х ~ х,, ! = О, 1, сап с1еаг!у Ъесоше агЪ!гга61у 1агае Гог вшгаЫе Гипс6опв Г пп!евв воше гевгпс6опв аге ппровег! оп Г.

11пгГег сегга!и сопйгюпв, Ьовечег, И 1в ровяЫе го Ъоппд йе еггог. %е Ьаче, Гог !пвгапсе: (2.1 4 1) ТЬеогепи. ГГ йе Гиле!Гол Г Гигв ал (л + 1Рг Нег!оаг!ос, йел Гаг еоегу агдителг х йеге ехив а литЬег с !л гЬе вта!!евг тгегоа! 1(хо, ..., х„, х] гчЬ!сЬ сои!а!лв х ат! аП виррогг аЬвсГввав х;, вагув(уулц вЬсге го(х) = (х — хо)(х — х,) ... (х — х„). Ркоог. 1.е! Р(х):=— Ро, „(х) Ье гЬе ро!упоппа! гчЫсЬ !пгегро1агев йе Гппс6оп аГ х;, ! = О, 1, ..., л, апд впррове х вв х; (Гог х = х; йеге !в поГЫпа го вЬочч). ч!ге сап йпгГ а сопвгапг К впсЬ гЬаг йе Ьгпсг!оп Р(х): т Г(х) — Р(х) — Кго(х) чапГвЬев Гог х = х: Р(х) = О. 2 гпсегросааоп Сопвес!пепг!у„Р(х) Ьав аг 1еавг йе л + 2 гегов хо, ..., х„, х ш гЬе !пгегча1 1[хо, ..., х„, х]. Ву Ко!!е'в гЬеогеш, арр1!ес) гереагес!1у, Р'(х) Ьав аг 1еавг л + 1 лесов ш йе аЬоче шгегча1, Е"(х) аг 1еавг л иегов, апс) йпа!!у Рс"' "(х) ас 1еавс опе лего с а Г[хо, ..., х„, х].

о!псе Р'"' "(х) ге О, Рс"' "(4) = Гс" сс(4) — К(л + 1)! = О ог гсп ч !с(~) К= —— (л + 1)! ' ТЬ!в ргочев йе ргоров!г!оп Дх) — Р(х) = Ксо(х) = — — ---Гс"' сс©. со(х) (л+ 1)! А с11йегепг еггог гепп сап Ье с!ег!чес1 1гопг ЬГегчгоп'в !пгегро!аг!оп Гог- пш!а (вее Бесгюп 2.1.3): () ве - .() =-.Г[.]+.Г[.,](.— .)+ + Г[хо, х„..., х„](х — хо) ... (х — х„,). Неге Г[хо, х „..., х„] аге йе с1!ч!с!ей сГ!ГГегепсев оГ ГЬе фчеп !посс!оп 1. 11 !и ас!Й11оп го йе л + 1 впррогг ро!пгв (х;,1;.): 1;=Г(хс), 1=0,1,...,л, гче 1пггос(псе ап (л + 2)пс1 впррогг рошг (х„+ и Г„„): х„с с:= х, Г„~ с:= Г(х), счЬеге х ~ х;, с = О, ..., л, йеп Ьу Хегч1оп'в !оппп1а Г(х) — Ро „с(х) — Ро „(х) +Я[хо, ...

х х]со(х) ог (2.1.4.2) Дх) — Ро „(х) = со(х) Г[хо, ..., х„, х]. ТЬе с11ГГегепсе оп гЬе 1еГг-Ьапс1 яс!е арреагв ш ТЬеогепг (2.1.4.1), апс) япсе со(х) ~ О, гче шпвг Ьаче с(п+ с)(д) Г[хо, ..., х„, х] = — — -- 1ог вогпе с и Г[хо, ..., х„, х]. (л+ 1)! 51 21 1псегро1апоп Ьу Ро!упоппаСе ТЫв а!во у!е16в у'(н1(~) (2.1.4.3) Г[хо, ..., х„] = —,— Гог ваше с а ![хо, ..., х„], л'. гчЫсЬ ге1а1ев Пепча6чев апд г)!чЫег) 6!Пегепсев. Ехпмчьв. Г(») = всп х: пс х,= —, 1=0,1,2,3,4,5, 1О' — всп Г веп» вЂ” Р(») еп (» — »о)(» — »г)...

(» — »е) — —, 7Ю (в!п» вЂ” Р(»)! < »гв((» — »о)(» — хе) ... (» хе)! = ! ео(») ! 720 ЪЧе епг) 1Ыв вессюп «6й ссчо ЬпеГ гласи!пав„опе аааспвс сгпвс!па йе !псегро!ас!па ро!упопиа( оп!яде оГ Г[х„, ..., х„] апет опе аааспвс ехресс!па соо пшсЬ оГ ро1упопиа! !псегро1ас!оп швЫе 7[хо, ..., х„]. 1п йе ехсегюг оГ йе спсегча! 1[хо, ..., х„], йе ча1ие оГ !го(х)! ш ТЬеогепс (2.1.4.1) агосчв чегу Гмс. ТЬе ые оГйе !псегро1асюп ро!упопиа1 Р сог ар ргохипа6па Г аС вопсе 1осагюп опгяйе СЬе спСегча1 ![хо, ..., х„] — саПеес ехггаро!абол — вЬои16 Ье ачоЫег) П РовЯЪ(е.

%!СЫп ![хо, ..., х„] оп йе ойег Ьапг), !С вЬои16 пос Ье мвшпег) 1ЬаС Ппег апг( Ппег вагпр!шав оГ 1Ье Гипссюп Г гчП! 1еаг( со Ьессег аль Ьессег арргохипа6опв 1ЬгопаЬ ииегро!абоп. Сопядег а геа1 Гппс6оп Г счЫсЬ !в !пйпПе(у оГсеп ййегепс!аЫе сп а а!чеп !псегча! [а, Ь]. То ечегу спсегча1 раг66оп Л = (а = хо < х, «" х„= Ь) йеге ех!всв ап Гпсегро1ас!па ро!упопиа1 Ре а П„сч!1Ь Р,(х,) =Г;. Гог х, а Л. А вецпепсе оГ шгегча( раг61юпв Л =[а=х'„"'<х',"'«" х~ '=Ь) асчев пве Со а вес!мелос оГ !пгегро(аг!па ро!упопиаЬ Рп . Опе пиаЬС ехресг йе ро!упопиаЬ Р, со сопчегае со«ап1 ГГГ йе Ппепмв '!Л„'1:=шах (х,'7', — х',."'( оГ 1Ье раг66опв сепг!в со О ав лс-+ оо.

1п аепега! й|в св пос сгие. Е'ог ехаспр!е, П Ьм Ьееп в1юсчп Гог йе Гппс1юпв Г(х) я - — в, [а, Ь] = [ — 5, 5], ог Дх) я ~/х, [а, Ь] = [О, 1], 1 йаС йе ро!упопиа!в Р„г)о пос сопчегае росп1«6ве Со ГГог агЪ11гагИу Ппе ипПопп раг61юпв Л„, х';"' = а + 1(Ь вЂ” а)/сл, ! = О, ..., лс. 53 2.! !а!агро!ааоп Ьу Ро!упопна!з Р я П„а)уеп Ьу (2.1.5.3) Р(х) = „'э 2' У)ааЕа,(х) =о а=о вайвйев (2.1.5.1). ТЬе ро!упснша1в Ел е П„аге депега112ес) Еаагапае ро!у- поппа!в. ТЬеу аге с!еГспес) ав 1011осув: В!агс(па ичгЬ йе апх(1!агу ро1упоппа!в (х — Д' Г х — Ц,.'!"' !л(х):=- --- — ' П ~-- — '~, 0<с<лс, 0<1с<л, Г! 4,1»,.— Ц1 ' эдас [согпраге (2.1.1.3)), ри! Е; „, с(х):= 1; а,(х), ! = О, 1, ..., лс, апс( гестаса(че!у Гог !с = лс — 2, лс — 3, ..., О, а — ! Еа(х):= !а,(х) — ~э (сса'(~с)Ес„(х).

Ву 1пс(ис!Гоп )1 сТ с = / апс( Гс = сг, )О о!Ьегсу(ве (хо,А), (хп Гэ), ..., (х„, э, Х, ,),(х„„ ~„',), ..., (х„, Г„') оГ ~„с(епосе сопвеспгп е1у йе расгв (4о ° Уо ) (4о Уо') (4о Уо' ') (4с Ус ) . (4т У '). Хо!е йа! хо < х, «" х„апс! !Ьа! !Ье пшпЬег сс осспгв ехас!!у лс !Гпж Ьа йе вес1пепсе (х;); Ехамгсв !. Коррова лс = 2, ла —— 2, л, = 3 апс! уа" = — 2; =о, 1с=1, уссос = О уси !О уссэс = 40 ТЬга ргоЫелэ 1в с!евспЬес! Ьу (ха, Га) = (О, — 1), !Ье вес!тапсе Хс = ((хс,у,)) =а., с.' (хс,л) = (О, — 2), (хэ,(э) = (1, 0), (хэ Хэ) = (1, !0), (хс,.Гс) = (1, 40). ТЬпв Р сп (2.1.5.3) гв 1пс!еес( !Ье с(еыгес( Непш!е 1псегро!аВпд ро1упоппа!. 1п оп(ег !о с(евсг)Ье а!гегпаВче шесЬос(в Гог с(е!еггшп(па Р, В ссс111 Ье пвеГ01 !о гергевеп! йе с(аса сс, у,'"', с = О, 1, ..., лс, !с = О, 1, ..., лс — 1, сп а вогпеугЬа! с(!ГГегеп! Гопп ав а вес!пепсе Х„= ((х;,Г))с=о „оГ л + 1 расгв оГ ппгпЬегв.

ТЬе расгв 2 гпгегро!аггоп 54 Сг!чеп апу Негппге !пгегро!аг!оп ргоЫеш, П ппп1пе!у г(егегпппез а зегГпепсе Я„, аз аЬоче. Сопчегзе!у, ечегу зег!пепсе Я„= ((х;, Г;));=в „оГ л + 1 ра1гв оГ пшпЬегыч!1Ь хв < х, « " х„г1егепшпез а Непшге гпгегро!аПоп ргоЫегп, вЫсЬ чч!П Ье геГеггег1 го яшр1у аз Я„. 1с а!зо вчПГ Ье сопчешепг го гГепоге Ьу [х — хв]г гЬе ро(упоппа!з [х — х,Д':= 1, (2.1.5.4) [х — хв)!':=(х — хч)(х — х„) ... (х — х,,) оГ деагее ~. Оиг пех! аоаГ 1з со гергезепг !Ье ро1упоппа1 Р еЫсЬ гпсегро1асез У„ш ЬГеегоп Гопп [сопграге (2.1.3.1)]: (2.1.5.5) Р(х) = ав + а,[х — хв1+ аг[х — хч]' + " + а„[х — хв]" апгГ го дегегпппе гЬе соеГПс!епгз са еПЬ гЬе Ье!р ааа!и оГ йч!гГегГ ййегепсез (2.1.5.б) а„= Г[хв, х„..., хв], Гг = О, 1, ..., л.

Ногчечег, ГЬе гесигяче гГейп!г!оп (2.1.3.5) оГ гЬе йч!гГегГ ййегепсез Ьаз го Ье шоййегГ Ьесапзе ГЬеге пгау Ье гереППопз ашопа !Ье зпррогг аЬзс!ззае хв < х, «" х„. сог !пзгапсе, !Г ха — — х„гЬеп ГЬе йчЫео й!Гегепсе Г[х„, х,] сап по 1опаег Ье гГейпегГ аз (У[хо] — Х[хг]йхг хв). ТЬе ехгепяоп оГ ГЬе гГейп!г!оп оГ гГ!ч!гГед д!ГГегепсез го гЬе сазе оГ гереагег! агапшепгз шчо!чев !гааз!г!оп го а 1ппП.

То !Ыз епгГ, Гег 10<11«" 1. Ье пшгпаПу йзПпсг зпррогг аЪзс!ззаз, апг1 сопяг1ег гЬе гГ!ч!г$ед ййегепсез Я~о ..., в,,в] вЫсЬ Ье!опа го гЬе ГппсгюпГ(х):= Р(х), юЬеге ГЬе ро!упопиа1 Р !з ГЬе зо!пПоп оГ ГЬе Непшве !пгегро1аПоп ргоЫегп ч"„. ТЬезе йчЫег! ййегепсез аге почв чгеП гГейпеП Ьу ГЬе геспгяоп (2.1.3.5), К чче 1еГ ГР= РЯ гшПаПу. ТЬегеГоге, апгГ Ьу (2.1.3.5), « (2.1.5.7а) Р(х) = ',~ аЯх — вч~', а;:=Две, вп ..., вг], Вга (2.1.5.7Ъ) .Г[Ы = РЮ, (2.1.5.7с) г(Г Г г ] Х[Ь 1'+ ..

1' ] ЛЫ 3 1'+ — Г] ч [! 1«1 " 1«в] Гог 1=0,1,...,л,юг=1,...,л — ь.ббпсехв<х, «" х„,аП1!пп!з Г[х;„х;«„..., х;,г]:= 1пп Я;, в;«„..., ~;,„] я !<зз!«й 5б 2 ГиГегро!ааои ТЬе еигпез тагхед ' Ьа»е Ьееи са!си!в!ей ив1па (2.1.5.9Ь) гагЬег ГЬви (2.!.5,9с). ТЬе соегбс1еигз оГ ГЬе Негипге 1игегро!вбиа ро!упоппа! саи Ье Гопиг! 1и ГЬе пррег гПааоиа! оГ гЬе гПГГегепсе всЬете; Р(х) = — ! — 2(х — х»! + 3!х — х»)г -» б!х — х»)г + 5!х — х»)х = — 1 — 2х + Зх + бх~(х — 1) -» 5х'(х — !)г.

ТЬе шгегро1агюп еггог г»Ь!сЬ Гв !пспггег( Ьу Негппге 1пгегро!а6оп сап Ье евг!шагег( ш йе ваше ГавЬюп ав Гог йе папа! гпгегро!а6оп Ьу ро!упоппа(в. 1п раг6сп!аг, йе ргооГ оЕ йе ЕоПог»!па ГЬеогеш !в еп6ге1 у апа1оаопв го йе ргооГ оГ ТЬеогепг (2.1.4.1): (2.!.5,10) ТЬеогепг.

Г.ег йе геа1 Гилснол у Ье л + 1 гилез гГфегелгГаЫе ол йе Глгегса! [а, Ь], алгГ сопзГйег т + 1 зиррогг аЬзсгззае ~; а [а, Ь], 10 < 11 « " 1 . Ц йе ро!употГа1 Р(х) 1в оГ ГГедгее аг тазг л, 2 л;=и+1, 1=0 алгГ загГфез йе тгегро!адол сопгГГГГопз Р'"'(~,) =Ге'(4), Гг = О, 1, ..., л, — 1, 1 = О, 1, ..., т, йел го еоегу х и [а, Ь] йеге ех1згз 4 и Г[4и, ..., ~, х] зисЬ йаг Г(„-) Р(-) ~(~)Х'" '(~) (л+ 1)! г»Ьеге го(х):= (х — ~о)"'(х — ~,)"' ... (х — г", )"".

НеппПе гпгегро!а6оп !з Ггес!пепбу пвег( го арргохппаге а и!»еп геа! ГппсбопЕЪу а р(есегл(ве ро!упоппа! Гппс6оп гр. гх!»еп а раг66оп Ьа=~о<1г«1.=Ь оГ ап шгег»а! [а, Ь], гЬе соггевропгПпд Негт1ге)йлсгГол зрасе Н~' гв дейпег( ав сопяв6па оГ аП Гппсгюпз гр: [а, Ь] -+ й ги!ГЬ йе ГоПог»!пд ргорег6ев: (2.1.5.11).

(а) дг е С' '[а, Ь]: ТЬе (» — 1)я г(ег1иаг1»е оГ гр ехгвгз атГ гз солг1лиоиз ол [а, Ь]. (Ь) дг!Г; а Пв„,: Ол еасЬ зиЬ!лгегиа1 Г;:= [4,, 4;~ г], г' = О, 1, ..., т — 1, гр адгеез»»ГГЬ а ро(улит!а! оЗ" г(едгее аг тоя 2» — 1. ТЬпв йе Гппс6оп гр сопявгв оГ ро!упоппа! ргесев оГ г(еагее 2» — 1 ог 1евв г»ЫсЬ аге» вЂ” ! гппев г(ПГегепг!аЫе аг йе "Ггпогв" с;. 1п оп)ег го арргохг- 57 2.! гпгегро!паоп Ьу РогупоппаГ» пгаге а а!»еп геа! Гппс6оп Га С" '[а, Ь] Ьу а Гппс6оп гр а Нп', тче сЬоозе гЬе согпропеп! ро!упоппа!в Р! — — гр ! Г; оЕ гр зо йа! Р; а Пг„! ап6 во гЬа! йе Непшге тгегро1а6оп соп6!6опв Рг">(с,) =Г!"!(4;), Р';"!(~;, !) =Га!(4;„), Ее = О, 1, ..., » — 1, ) Г(х) — Р;(х)! < — -' — — '— + пгах ( Г!г"ф)( ((х — с;)(х — ~;„)!" (2»)! )~ е (гч (2 )! „~~ (-)~ Г е г~ (2.1.5.12) СошЬ!и!па йеве гезп!гв Гог ! = О, 1, ..., пг ф»ез Гог гЬе Гппсгюп гр а Н!и"!, г»Ь!сЬ г»аз йейпед еагйег, (2.1.5.13) [à — гр[„:= пгах (Дх) — гр(х)! < „[фг'[ [Л!!г", 1 ме[е,Ы 2~"(2»)! г»Ьеге 1Л[ = шах (4,„— 4,( оз(зп — г гз йе "йпепезз" оГ йе раггйюп А ТЬе арргохппа6оп еггог поев со гего «лгЬ гЬе 2» й ро»»ег оГйе Егпепевз !/Ггу [ гГ г»е сопв!6ег а вегЕпепсе оЕ рагг!6опв Л! оГ йе !пгег»а! [а, Ь] «61Ь [Л, [ — О.

Сопггаз! й!в «6й гЬе сазе оЕ ог6!пагу ро1упогша! !пгегро1агюп, г»Ьеге гЬе арргохппа6оп еггог гЕоез по! песезза61у ао го гего аз !/Лу [ — 0 (Яесбоп 2.1.4). Сгаг!ег, ЯсЬ«1гг, апд Чзгда (1967) веге аЫе го зЬог» йа! а1во йе йгв!» 6еп»агп ев оЕ гр аге аоогГ арргохппа6опз го йе соггевропг!!па гЕег!»а6»ев оЕ Е': (2.1.5.14) Ее! 2» — 2Ее)! Ее!; Гог а!1 х а Г;, Гг = О, 1, ..., », ! = О, 1, ..., пг — 1, апд йегеГоге Го»Ее=0,1,...,». аге ва6зЕгегЕ.