Geddes, Czapor, Ladahn - Algorithms for Computer Algebra, страница 13

Рейпьдоп 2.16. Ьет Р Ье ап лне8га! дотпатп 0. Тле ССО оу и е!етелтв ао ..,, а„н Р Ь !сбиед тесны!че!у(ог н > 2 Ьу: бСР(ап..., а„) = бСР(бСР(ат,..., а„т),а„). !Ьс и > 2 е!еитепь ао..., а„н Р аге саПед те!адче!у рпте К бСР(ап..., а„) = !. 1тейп16оп 2.17. А попхего ро!упопда1 а(х) !и 0[х], Р а ()рР, Ь саПед ргтхп!и' е 1(П Ь а нпн поппа! ро1улопна! апд [ь соеПтс!ел!к вге ге!адче!у рптпе. [л рая!сн!аг, !( а(х) Ьак к,п !1 у оле иопгего тепп йеи тт ь рт!ш!т!че ы алд оп1у к!т ь шеи!с. 1тгьпьгоп 2.18.

1п а ро1 упопда! дошаш 0[х] очек а АЗЕР Р, йе соптеш от а попгего ро1уи нла( и(х ), депомд солт(и(х)), ь деттлед то Ье йе (нп!т[не шй ионна[) бСО от йе соегП- н.нь о( а(х). Лну полхето ро!упопна! и(х) н Р[х] Ьак а ниа]не тертекелтадоп ы йе готш А18опдипз (ог Сот«рогат А!дебта а(х) = и(а(х)) сои!(а(х)) рр(а(х)) чйеге рр(а(х)) !я а рппииче ро1упоииа1 са1!ед тЛе рпттт!ые ратт о[ а(х). 1т Ь сопчеиюпт то дебие сои!(0) =0 впд рр(0) = О. 11 Ь а с! азяса! тези11 (Ыто«тп аз Раиаз' ! епииа) йа! йе ртодис! от" апу ичо рппдбче ро1упопиа)з Ь (тзе!т рппидче.

11 то!!о«тз (тоти йе аЬоче дейпРдопз йат йе СтСР о[ т«то ро!упопдаЬ !з йе ргодист от" т)те ОСР о( йеЬ соптептз аид йе РСР о( йе!т рт)пиите раиз; иотадопа1!у, ОСР(а(х), (т(х)) = ОСР(сост(а(х)),сои!((т(х))) т!СР(рр(а(х))),рр((т(х))). (2.37) Ву т)ейпйои, йе сотиритаиоп о1 йе ССР оЕ т)те соптепь от" а(х), (т(х) и Р(х) Ь а сотпротаиоп ]п йе соетТ(с!епт т)отиип Р.

Аззити!па йат «е анюты )ютч то согириге ССР'з ш Р, «е тпау тези)ст оог аиеидоп то йе сотиритаиоп о[ ССР'я о(ртиаиые ро1упопиа)з 1п Р(х). Еаатпр1е 2.21. Рог йе ро(упоииа!з а(х), Ь(х) и Х[х] соппдетед тп Ехатир!е 2.19 тче Ьаче: сои!(а(х)) = б, рр(а(х)) = 8хз — 14кт+7х-6, сои!((т(х)) 2 рр((т(х)) 2хя + 5хт 22х+ 15 Рог йе запю ро!уиопда!з сопзЫегед ая е!еитепь ти йе дотиаа (4[к] аз !и Ехаитр1е 2,20 чче )таче: сои!(и(х)) =1, рр(а(х)) = х --к + — х — —, 3 7 т 7 3 4 8 4' сои!()т(х)) = 1, рр()т(х)) = хз+ — хт — 11х+ —.

5 г !5 2 2' Рзеидо-Р!ч!з!оп о1 Ро!упопиа18 Тйе Еос(Ыеаи а!8огЫии 1з Ьазед оп йе согирюадоп о1 а зет]попсе о( тегпыпдегз тч)ис)т !з дейиед (и теппз от" йе дМ!пои ргорепу !и а ЕосОдеап дотпюп. Рог а попЕисИдеап доита(п, Р[х], йе д!чЬ!оп ргорегту доев пот )ю!д. Но«течет йеге Ь а чету зптиЬг рвеидодмз!ои ргоретту «дт)с!т !ю!дз ти апу ро1упопиа) догпатп Р[к], «)тете Р Ь а ((РР. Т)т!з петч ргорсчту саи Ье ппдегзтоод Ьу сопя!допив йе ()ЕР Х[х] от" ипйаг(ате ро1упопдаЬ очег йе 1птедетз. СопзЫег йе ро(упопдаЬ а(х), (т(х) а!чеп Ьу ет)иат!оп (2.12) 1и Ехатир(е 2.11.

Аз ро!упопдаЬ ти йе Еос!!дези дотов)п Щх], тче то«ад 1п Ехагир(е 2.11 йат йе д!ч(з!оп ргоретту ]тоЫз 1и йе топи: 2. А)8еЬга оЕ Ро1упоийа1в (Зх +х +х+5)=(5х -Зх+1)(-х+ — )+( — х+ — ). в г г 3 14 52 111 5 25 25 25 (2.38) Хосе сЬас йе !еадш8 соеЕЕ]с!епс оЕ Ь(х) Ы 5 апд йас йе оп!у депоийиасогя арреаип8 тп йе соеЕОс)епш оЕ йе циоиеси апд геисыпс$ег )п (2.38) ате 5 апд 52. ТЬеге(оге )и йы ехашр1е, 11 и е яапед в)й йе ро!упоийа!з а(х) апд Ь(х) вЬеге а(х) =5 а(х) йеп ве вои!д ламе йе Еойоилпй те!айоиЫрв ашоп8 ро!упоийа!в в)й (лтейег следак(елгят 52 (Зхз + х2 + х + 5) = (5хг — Зх + 1) (15х + 14) + (52х + 111) (2.39) Е9иайоп (2.39) (я ап Ьшсапсе оЕ йе рзеидо-д[ч]я)оп ргорегсу вЫсЬ ЬоЫв !и апу ро!упоииа1 досиып Р[х] счет а 1)РР Р, ]ив! аз есртаьоп (2.38) !в ап сиз!зисе ое йе еичьйои ргорегсу )п а ЕисИдеап дошыи.

ТЬе 8епешИгайоп оЕ (2.39) Ы оьсыпед Ьу с!ояе ехаийпа6оп оЕ йе ргосеш оЕ ро)упопйа1 !оп8 д(ч]я(ои )и а допшш Р[х]. 1Е дефа(х)) =т, дефЬ(х)) =л, и ь л Ь О апд $Е йе !еасИп8 соеЕИс!епс оЕ Ь(х) и ]3 йеп ч)евтп8 йе гИчш!оп оЕ а(х) Ьу Ь(х) ая орегайопя сп йе соеЕЕ!с1епс доша]и Р сче Е!пд йас йе оп1у д1сдяопз аге д)ч]я)опя Ьу ]3 аид вись д!ч]яопв оссш лт — л + 1 сипев, %е йия Ьаче йе(ойов1п8 геяии. 1тяеидо-Р]ч]яоп Ргорег1у (Ргореггу РЗ). 1.ес Р[х] Ье а ро!упоийа) дошыи очег а ()РР Р. Рог аИ а(х), Ь(к) и Р[х] мдй Ь(х) л О апс) 1$е8(а(х)) ь деф(Ь(х)), йеге ехтвс ро!упош1а!в 9(х), г(х) и Р[х] висЛ йас РЗ: р' а(к) = Ь(х) 9(х)+г(х), де8(г(х)) < дефЬ(х)) вьете ]3 = 1сое(Е(Ь(х)) аид $ = де8(а(х)) — де8(Ь(х)) + 1 .

1$1'1) Сотириса6ои сп Р[х] ТЛе ряеис$ошИч)яоп ргореиу !еадв тИгесйу со вл а!8оийип Еог сосприссп8 0СР'я тп хлу росупоииа! доишш Р[х] очег а 1)НР Р. Аз ргесдоив)у пошд, ие пшу гевакс оы аиепсс и со рииииче ро1уиоииа1в |п Р[х]. Рог фчеи ро!уиопиа1з а(х), Ь(х) и Р[х] йе ро! уиоийсйя 9(х) апд «(х) арреаип8 сп 1лорегсу РЗ аге сайед, теяресьче!у, йе рзеидо-диот(елг апд рязидо-геша(лдег.

Рипс6оп- 4$(у, ве иш йе посайоп рсрю(и(х),Ь(х)) ялд ргеит(а(х),Ь(х)) Еог йе рзеит(о-срто6епт апт$ свгидо-гепвяидег, геярес6че1у, апд ве ехсепд йе с$ейпЫопя оЕ йезе Епископа со йе саяе 1г8(и(х)) с дефЬ(х)) Ьу дейл!и8 тп йе 1ассег сые раис(а(х),Ь(х)) = О алд !исси(а(х),Ь(х)) = а(х). (Ь]осе йас йеяе врес$а( дейпШоив ваьв(у йе ге1агтопвЫР РЗ втй [3 1 тайег йаи мдй [3 = 1соеЕЕ(Ь(х)) .) )шс ая )и йе сазе оЕ йе гИчйюи ргореиу (Ргореиу 1") сот иптчаиасе ро!упоийа!в очег а ЕеЫ, 1Ье ро!упоийа!з 9(к), г(х) тп ртоРеиу РЗ аге лптдтте. Юе шау посс йас Еог фмеи а(х), Ь(х) и Р[х], ие оЬсасп йе рзеидо-диойепс 9(х) .штс ряеис!о-гетпатпдег г(х) оЕ рторепу РЗ Ьу рег(опшп8 огйпыу ро1упопиа! 1оп8 дссйяоп 1 ]$' а(х) Ьу Ь(х). 1п йсз ргосеы, аИ д)ч)яюпз в)11 Ье ехасс )п йе соеЕЕ)с)епс доша)п Р.

56 А18опйтпз $ог Согпргиег А!8еЬта ТЬеогетп 2.10. 1.ет Р[х) Ье а ро!упопиа( допяа(п счет а ()РР Р. 01чеп ртптипче ро!упоппа)з а(х), Ь(х) и Р[х[ ийй Ь(х) иО апд де8(а(х)) >де8(Л(т)), (ет т)(х), г(х) Ье йе рзеидо-тртодепт апд рзеидо-гепяь(идет зайз(у(п8 ргорегту РЗ. ТЬеп (2.40) 0СР(а(х), Ь(х)) = 0СР(Ь(х), рр(г(х))). Ртов: Рготп ргорепу РЗ и е Ьаче !)' а(х) = Ь(х) т)(х) + г(х) апт$ арр!у)и8 то йтя ет)иадоп йе затпе ат8 ипепт аз 1п йе расо( о( ТЬеотетп 23 уте1тЬ 0СРфт а(х), Л(х)) = 0СР(Ь(х), г(х)). (2.41) Арр!у1п8 (2.37) то йе 1етт яде о( (2.41) уте!дз 0СРф' а(х)Л(х)) = 0СРф', !) бСР(а(х), Л(х)) = 0СР(а(х), Ь(к)) ччЬеге тче Лаче изед йе таст йат а(х), Ь(х) ате рппддче ро1упопиа1з.

Б!пи!ах!у, арр1ути8 (2.37) то йе г!8)п в[де от (2.41) у[с!дз 0СР(Л(х), г(х)) = 0СР(1,сопт(г(х))) 0СР(Л(х), рр(г(х))) = 0СР(Ь(х), рр(г(х))). ТЬе гези1$ го!(оитз. И 1з оЬчюия йат $ог рппитгче ро(уиопда1з а(х), Ь(х) тче сап т$ебпе аи Ьегадоп тот 0СР сопяритапои тп Р[х[ Ьазед оп ет)иат!оп (2АО) аид диз 1тегадоп птизт тептипате в[псе т$е8(г(х)) < де8(Ь(х)) ат еасЬ втер. Т$ия тези!т $я тЬе Ьаяя от" А!8опйтп 2.3. 1п А18опйтп 2.3 йе ветртепсе о( гепта)одеть ччЫсЬ тз 8епегатед !з зисЛ йа! йе топча!идет сотпртиет$ гп еасЛ Летадоп $з поппи(!ход то Ье рт)пийче, зо йе а!8опйтп !я сопипоп!у ге(епед то аз йе рптптиче Еис1Ыеап а!8ог!йпт. А!8опйго 2.3 изеь йе ргети 1иисиоп (ти йе яепяе о( йе ехтепт$ед дейпМоп 8(чеи аЬоче) апт! 1$ а1ьо аязшпез йе ехтятепсе о( ап а18опйтп тот 0СР соптршадоп тп йе соетТ(с!еп! т(опитп Р итудсЬ итои[д Ье иьед то сотприте соитеиеа аид Ьепсе рппппче раз!я, апд а1зо то сотприте тЬе т!иапйу у тп йат а18оптЬтп.

Ехаптр1е 222. 1п йе (1$ Р Х[х[,!ет а(х), Л(х) Ье йе ро!упопда!з сопяЫегет$ чапоиз!у тп Ехаптр!ев 2.14- 2.15 апд Ехаптр(еь 2.19 - 2.2!. ТЬиз а(х) = 48к — 84к + 42х — 36, Ь(х) = -4хь — 10хт+ 44х — ЗО. ТЬе зет(пепси от ча(иез сотпртпет$ тот г(х), с(х), апд д(х) тп А18опдпп 2.3 !з ав Фо!!оччв: 57 2. А!дебга о(ро!упопиа!з П!еп у = 0СР(б,2) = 2 апд р(х) = 2(2х — 3) = зх — б ая погед !и Ехагпр1е 2.19. з! и!г!чапа!с ССП СояпрпгаЕоп )йе рппагу я!дп)()паосе о( А1допйгп 2.3 и йа! Ь гпау Ье арр1!ед со согпрпге РСР'з и з гпи(г(чапаге ро!упопиа) догпа!п Р[х] очег а ()РР. СЬоояп3к, аз йе гпа!п чапаЫе, чче !чпп(у Р]х!,..., х„] «чй йе ип!чапа!с ро!упоппа1 догпа!и Р[хг,..., к,][хг] очег йе ! ! ! ! !)! гп..., х„].

!и огдег го арр!у А!3опйгп 2.3, чче сипя! Ье аЫе го согпргпе ОСР'з ш ~!и 'псе())с!епг дои!а!п" Р[х,...., х,] — Ьгп й!з гпау Ье ассогпрйяЬед Ьу гесигз1че!у , ! ! !упзр А!ропйгп 2.3, !депИу(пд Р]хп..., х,] «дй Р[хя,...,к ][ха], его. 3Ь«з йе ~г го ччс иев о( а гпн!пчагиге ро!упопда! дог«а!п !еадз павга!!у го а гесиггдче а!допйпг ~ ч ! ~! 1! г пири!аппп А!аопйгпз гог Сопгрогег А!реЬга Ехагпр1е 2.23. Ьг йе ()Н> Х[х,у[ 1е! а(х,у) апд Ь(х,у) Ье д!геп Ьу а(ху) = -30х у + 90ггуа+ 15ха — 60ху + 45у г Ь(х у) = 1ООхгу — 140хг — 250хуг + 350ху — 150у + 210у СЬооз1пп х аз йе пга)п чаг!аЫе, ве г!еп а(х,у) апд Л(х,у) аз е1егпепгз !и йе допюп Х[у) [х): а(х у) =(-ЗОу)кз+ (90уг+!5)хг — (60у)х+(45уа), 6(ху) =(100у — !40)хг — (250уг — 350у)х — (150уз — 210уг).

ТЬе Нги пер !и А!аопгЬгп 2.3 ге9п1гез йаг ве гезпоче йе опЬ рагс апд йе сопгеп! ггогп еасЬ ро)упоппа!; йы гецшгез а геспгпче арр! )сабоп о( А!поп!Лгп 23 го сопгриге Сиз [п йе г)опа)п Е[у[. 'гге Опй и(а(х,у)) = -1, сопг(а(х,у)) = СзСП(30у,— (90у + 15),60у,-45уг) =15; рр(а(ху)) =(2у)к — (бу +1)х +(4у)х -(Зу ); п(6(ху)) = 1 сепг(Л(х,у)) = бСР(100у — 140, -(250уг — 350у) -(150уз — 2!Оуг)) = 50у -70. рр(Ь(х у)) (2)хт (5у)х (Зуг) ТЬе зецоепсе ор ча)пез согпрппг) Еог г(х), с(х), апг) И(х) !и А!поп!Лог 2.3 1з йеп аз (о1- 1овз: ТЛпз, Т = СС))(15, 50у -70) = 5 апг) у(х) = 5(х — (Зу)) = 5х — (15у); 2, А1неЬга оГ Ро!упопоа!» 59 йас Ьх СС)3(а(х,у), Ь(х,у)) = 5х — 15у.

ТЬе Енс1!4еап А)ног!СЬ»п Кеч!»!Сот) А!аопйтп 2.3 !» а аеиегайганои оГ Аслот!сЬт 2.1 антс тче тпау арр!у А!нопсЬш 2.3 со сошрнсе ССГУ'» ш а Еос1Ыеап т)отпасп Р[х] очег а Г]е!4 Р. 1п сЬ1» геаагт(, поте йас йе СССУ оГ апу стао е!ептелт» (пос Ьой кето) тп а ГсеЫ Р!» 1»)псе счету поп»его е1ешелс ш а Ее!4 Е а нас. 1п ршс]сн!аг, сои!(а(х)) = 1 Гог аП пол»его а(х) и Р[к] апт( Ьепсе рр(а(х)) = п(а(х)) Гот а11 а(х) и Р[к].