И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике, страница 9

бг бг Отсюда видно, что Я есть малая величина порядка а и при достаточно малых а величина Я меньше тгг/4. В такой яме (см. рис. 4 и рис. 5) существует только одно связанное состояние, и зто состояние является чептиым. Найдем приближенно энергию и волновую функцию этого состояния. Пля определения энергии нам необходимо решить систему уравнений ~2.4), (2.5) у=сгбс, ,г+~г д Здесь тд — малая величина порядка а. Из второго уравнения следует, что у и 5 -- также малые величины.

Однако если 5 есть малая величина„то с гб~ сг. Поэтому из первого уравнения следует, что ц — 4г. Подставляя во второе уравнение у вместо Сг и пренебрегая т~г по сравнению с т5 получаем Поскольку у = ста, ... а а бг Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма ьг Е = — — ог в — — йг. 2 тле 2йг Отсюда видно, что положение уровня энергии определяется мощностью ямы й = 2аЪю а не значениями ширины 2а и глубины Ъе ямы в отдельности.

Кведратично интегрируемая волновая функция (см. разд. 2.1) рассматриваемого состояния имеет вид Взе*', х~ — а, 4(х) = Вг сових, ~х~ ~ а, Взе "*, х) а. Аргумент косинуса мх = ~х/а в интервале от — а С х < а есть малая величина порядка,„lа, т.е. сових ж 1 в этом интервале. Лля коэффициентов Вг и Вз условия сшивания и нормировки дают ВВ-%.

При любых конечных значениях а и уе волновая функция гу(х) непрерывна и имеет непрерывную производную. Полученные выражения для энергии и волновой функции связанного состояния не содержат значений а ф(х) и Ъ'е в явном виде и потому позз/о воляют легко сделать предельный переход (а -+ О, ге -+ со, й = солят) к 6-обрезной яме. При этом, полученное ранее, х приближенное выражени энергии связанного состоя Рис.

16. Волновая функция частицы пределе становится точны в 6-образной яме. е для ния в м: (2.21) Š— — — й гпе г 2вг х~ О, и = — й. (2.22) лге кг х)О, Волновая функция (см. рис. 1б), соответствующая этой энергии, определяется выражением: 2З. Одномерная 6-образная потенциальная яма Подчеркнем, что найденное связанное состояние в 6-образной потенциальной яме единственное, и его волновая функция является четной. других состояний в 6-образной потенциальной яме нет, несмотря на то, что глубина ямы бесконечна. Полученная волновая функция (2.22) остается непрерывной на всей оси х (см. рис.

1б), но ее производная терпит разрыв первого рода в точке х = О: г6'(+0) = аф(0), ф'( — О) = — аг6(0). Покажем, как эта волновая функция и соответствующая энергия могут быть получены из уравнения Шредингера с 6-образным потенциалом. Уравнение Шредингера с 6-образной потенциальной ямой. Координатное представление Рассмотрим уравнение Шредингера с 6-образной потенциальной ямой: бг аг — — — ф(х) — П 6(х)ф(х) = Еф(х) (2.23) 2 ого,Ьг и будем искать решение этого уравнения, непрерывное на всей оси х и удовлетворяющее нулевым граничным условиям на бесконечности. Непосредственно применить математический аппарат, изложенный в разд.

1.1 нельзя, так как потенциал имеет сингулярность внутри промежутка. Однако мы можем искать решение уравнения (2.23) на правой (х > О) и левой (х ( 0) полуосях отдельно, а затем соединить их непрерывно в точке х = О. Уравнение (2.23) на правой полуоси имеет вид уравнения для свободной частицы ьг,р — Ф(х) = ЕЯ~), > О, 2пзо 6хг и при любом Е < О решение, удовлетворяющее нулевому гранично- му условию на +со, имеет вид 2пго х>0, а = — Е. 4+(х) = е--*, Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма Аналогично решение на левой полуоси, удовлетворяющее нулевому граничному условию на — оо, имеет вид 4 (х) =е"*, х<0, а= — — Е 2лго бг Объединяя эти решения, получаем непрерывную на всей оси — со < х < +со функцию гу+(х), х > О, гу(х) = ф (х)„х <О, — )ь-о~я*ми =я) иоь, г (,йу(х)) 2гло бх получаем йг — Я'(е) — 4'(-е)) — й Ф(О) = Е (ф(е) — ф(г)).

2гло Переходя к пределу е — ~ 0 н учитывая наличие разрыва у производ- ной волновой функции ф(х) в нуле, приходим к выражению Ьг 2а — й = О. 2гпо Отсюда й г пго г Е= — — а = — — й, 2п,о 2бг гло а = — й яг производная которой имеет разрыв уУ(+О) — ф'(-0) = — 2а в точке х .= О. Такую функцию можно построить при любом Б < О, т.е.

при любом вещественном а. Покажем, что при определенном значении а полученная функция будет удовлетворять уравнению (2.23). Функция гу по построению удовлетворяет уравнению (2.23) на правой и левой полуосях. Поэтому нам следует рассмотреть малую е-окрестность точки х = О. Интегрируя уравнение (2.23) по е-окрестности нуля: 2,3. Одномерная б-образнал потенциальная яма что точно совпадает с (2.21) и (2.22). Таким образом, мы показали, что волновая функция (2.22) есть собственная функция уравнения Шредингера (2.23) с б-образным потенциалом, соответствующая единственному собственному числу (2.21).

Уравнение Шредингера с 6-образной потенциальной ямой. Импульсное представление Ве(ъма поучительно решить задачу о движении квантовой частицы в б-образной потенциальной яме в импульсном представлении. Для этого запишем уравнение Шредингера в операторном виде: Переход к импульсному представлению означает, что все операторы и волновая функция должны быть записаны в переменной р. Переход от представления х к представлению р осуществляется с помощью унитарного оператора, который можно записать в виде интегрального оператора с ядром е '"*~" /~/2яб. Иными словами, переход от волновой функции в к-представлении к волновой функции в р-представлении есть преобразование Фурье. Напомним, что такой вид имеет переход от координатного к импульсному представлению, в общем же случае переход от одного представления у к другому представлению з осуществляется с помощью унитарного оператора, но для разных пар переменных у и я соответствуюшие унитарные операторы будут разными.

Хотя мы рассматриваем переход к импульсному представлению, все формулы оказываются проще, если вместо импульса р использовать волновое число к = р/Й (волновой вектор к = р/Ь в случае трехмерного пространства). Согласно вышесказанному, переход от функции уз(х) в х-представлении к функции 1о(й) в Й-представлении есть преобразование Фурье Помимо волновой функции необходимо преобразовать и операторы в уравнении Шредингера. Оператор кинетической энергии есть дифференциальный оператор. Однако он может быть представлен в Глава 2. Прямоугольная потелциальная яма '!' 58 ниде рг/(2то) = йгйг/(2то), так как любой оператор в своем собственном представлении есть оператор умножении на независимую переменную, в частности, оператор импульса в импульсном представлении есть оператор умножения на переменную р = бк. Оператор потенциальной энергии является оператором умножении и входит в уравнение в произведении с волновой функцией, а трансформанта Фурье Р(к) от произведения функций г'(х) = Цх)гу(х) есть свертка: г(й) = / И'(й — й')д(й') Нй', Лт ~ где И'(Й) представляет собой Фурье-образ потенциала И(х): 1 И'(к) = — / е ' *Ъ'(х)дх.

з/2-л В нашем случае потенциал И(х) имеет вид е-функции, и потому И'(я) = — — / е ' Яо(х)йх = —— з/2я я~ з/2я есть константа. Таким образом, приходим к следующему виду урав- нения Шредингера в импульсном пространстве: йг ьг 0 г — Ю(й) — — / Ю(й') У' = ВЮ(й). 2то 2я / Для функции у(й) это уравнение является интегральным и может быть записано в внде ( )4( ) ьг 2 '4") Здесь мы использовали формулу Е = — йгаг/(2то).

Данное интегральное уравнение решается элементарно. Правая его часть не зависит от й. Следовательно, ьг+,г' 2.3. Одномерная б-образная потенциальная яма где С вЂ” произвольная константа. Однако не при всяком сг написанная функция будет решением интегрального уравнения. Лействительно, подставляя эту функцию в уравнение и сокращая на константу С,получаем уравнение 2ше й Г 1 1 = — —— ох Вг 2к / йг + ог для определения величины и. Стоящий в этой формуле интеграл равен я/сг, и поэтому для а, как и следовало ожидать, получаем уже известное выражение Коэффициент С в волновой функции найдем из условия нормировки г ~й),~й Отсюда нормированная на единицу волновая функция имеет вид Легко проверить, что полученная функция лействительно есть фурье-преобразование функции 12.22).

В рассмотренном случае уравнение Шредингера в координатном и импульсном представлениях решается одинаково легко. Однако для более сложных потенциалов может оказаться проще решать уравнение в импульсном представлении. Кроме того, если точное решение уравнения Шредингера невозможно, то именно интегральная форма уравнения позволяет разрабатывать приближенные методы решения.

Подводя итог рассмотрению Б-образной потенциальной ямы, нельзя не отметить, что и в трехмерном случае потенциал нулевого радиуса обладает единственным связанным состоянием, положение которого целиком определяется мошностью ямы. Подобные потенциалы являются простейшим частным случаем так называемых Глава 2. Прямоугольная погенпивльняя однопараметрическнх модельных псевдопотенпиалов. Послед получили широкое распространение в теории рассеяния, теорйф молекул и твердого тела, благодаря той легкости, с которой еще позволяют конструировать дискретный спектр модельной задачи; .".'; Глава 3.

Прямоугольный потенциальный барьер 3.1. Модель Рассмотрим теперь стационарные состояния частицы с массой гпо„движущейся в поле потенциального барьера вида (см. рис. 17) О, х < — а, 1'(х) = $о, !х~ < а, О, х > а. рис. 17. Прямоугольный потенциальный барьер. Здесь а — полуширина,, а го — высота потенциального барьера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид с в — (я — г(*))) ~( ) = О. (1з 2п)о В данной задаче потенциал ограничен снизу нулем, а следовательно, и спектр энергии ограничен снизу и расположен на положительной полуоси энергии, причем дискретного спектра в этом случае нет, спектр сплошной.

Как и в задаче о потенциальной яме, разобьем ось х на три области: П: — а<х<а, П1: х>а 1: х< — а, н прсдставим волновую функцию в виде у(1(х), х Е 1, ф(х) = (рз(х), х е Пр (((з(х), х е П1. Глава 3. Прямоугольный погвиииальиый барьер -,'!! 62 Тогда уравнение Шредингера для стационарного состояния можно ':': записать в виде с + — Е фг(х) = О, т1г 2пто, х6 1, ! тР 2 тле — + — Е Фз(х) = О, тЬг аг х е П1. Поскольку волновая функция должна быть непрерывной вместе с первой производной. функции ттты ттгг и Фз оказываются связанными друг с другом условиями сшивания 3.2.