И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике, страница 13

Периодические прямоугольные барьеры сов мп = Ем — мвшм4 = аАг. 1 — в1п мх, рг(х) = АгвЬа(х — д) +Егсйа(х — 4), Условия сшивания в точке х = ц дают уравнения 1 — вшге)= Ег, Ж сов мд= аАг. 0<х<д, д < х < а. Глава 4. Частица в периолическом потенциале Таким образом, 1 1 ((оз(я) = — созх()яЬ(2(х — (2) + — сйпхдсЬо(х — (1) о х в области (2 < я < а и (р~(о) = созх(2сй(за+ — зшх((зЬа() Вычисляя полусумму (рз(а) и (о)з(а), получаем выражение для функ- '::-'; ции о(Е)) (г — 2Я Я(Я)= Е 6 2 66 6 2 1, Я Е. (6.16) 2 ЕРЯ вЂ” Я) Здесь, согласно определениям (4.15), мы воспользовались тем, что "о — 2Е 2(. ) = 2,2Я(Е,— — Е) Рассмотрим теперь случай Е ) 7~ (энергия частицы больше высоты барьера). В этом случае выражение для Б(В) можно получить из (4.1б), заменив о -) 26. В результате приходим к выраж~(ию 12 — 2Е Б(Е)= ' 66)11.,'.

6 61, Е2Е. 2 Я(Š— гг) В общем случае решать уравнение (4.14) с такой функцией Я(Е) можно только численно. Однако можно проанализировать характер спектра, если в рассматриваемой модели выполнить предельный переход, в результате которого потенциал будет представлять собой периодический набор б-функций. Такой потенциал мы рассмотрим в следующем разделе. 4.5. Модель Кронига — Пенни (гребенка Дирака) Юля того чтобы проанализировать характер спектра частицы в периодическом поле, рассмотрим предельный случай потенциала из 4.5. Модель Крените — Пенна (гребенка Лирика) периодически повторяющихся прямоугольных барьеров. А именно, устремим ширину барьера к нулю, одновременно устремляя его высоту к бесконечности так, чтобы площадь под барьером оставалась постоянной: Ь-+О, Ъо-~ос, Иге = сопзс.

Мы можем рассматривать последовательность таких барьеров как Ь-образную послецовательность и описывать получающийся в пределе потенциал как периодический набор б-функций ширака. Эту модель принято называть моделью Кронига — Пенни (по фамилиям авторов, впервые ее исследовавших), или <требенкой Лиракаэ.

В данном предельном переходе Ре неограниченно возрастает, и потому в качестве Я(Е) можно взять (4.16). При малых Ь и больших 1е справедлива оценка Ь = †,'()ге — Е)Ь = †"~Реь = С,ГЬ, где С есть некоторая константа. Поэтому,делая предельный пере- ход„можно положить з11 аЬ аЬ, сп аЬ вЂ” 1, 1ге — 2Е 2шеРе-2Е 2 о Ре Р зеаЬ =— зпаЬ вЂ” — — оЬ = —, Ьгко'-к) Й 2 Й 2 где 5оеа Р = ~( — реЬ )/ вг есть константа. Таким образом, получаем зп1 ма Я(Е) = Р— + соззга. эса Исследуем зависимость Я(Е).

Введем новую переменную Гас аз я = ма = 1/Е у— Ч у Глава 4. Частица в периодическом потегциале и функцию в1п я Дг) = Р— + сонг. Тогда уравнение (4.14) запишется и виде у(в) = совйа. Исследуем функцию Дв). В тгвгках г = 0 и в = пз. имеем ДО) = Р+1 > О, Дпк) = ( — 1)". Лалее, совг вшг ,)'(г) = Р— — Р— — в1пв. г «г Поэтому Таким образом, в точках пз (и > О) функция Дв) принимает значения х1, знак произвспной совпадает со знаком функции, а абсолютная величина производной убывает с ростом и. Это значит, что функция Дв) расположена в основном в полосе ( — 1, +1) параллельной оси г, причем участки функции, выходящие из этой полосы, уменьшаются с ростом в. График функции Дг) при значении параметра Р = 5 приведен на рис.

23. Теперь мы можем исследовать решение уравнения у(г) = осе на графически. Возьмем некоторое значение Й, вычислим сов йа и проведем на этой высоте линию, пв раллельную оси в, как показано на рис. 23. Абсциссы в„точек пересечения этой прямой с кривой Дг) соответствуют тем значениям энергии Е„= (Аггг)/(2гпеаг), при которых уравнение Дг) = сов Йо вьшолнено.

4.5. Модель Кропига — Пенни 1гребенка жиряка) 1.О соз(на) -1.О Рис. 23. Графическое решение уравнения (4.14). Из рис. 23 следует, что для каждого значения й имеется бесконечное множество значений энергии, т.е. функция Е(Й) оказывается многозначной. Более того„поскольку соя йа непрерывно изменяется в интервале ~ — 1, +1], абсциссы точек пересечения я„целиком заполняют отрезки оси я, показанные на рис. 23 жирными линиями. Поэтому спектр энергии частицы в поле периодически расположенных б-функций имеет так называемый зонный характер. Вся ось энергии разбивается на непересекающиеся отрезки, как показано в правой части рнс. 24.

Каждая точка отрезка, называемого разрешенной зоной„есть точка спектра. Ни одна точка отрезка, называемого запрещенной зоной, не является точкой спектра. Разрешенные и запрещенные зоны чередуются, причем с ростом энергии ширина разрешенных зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Это связано с тем, что ]Д'1пя)] убывает, так что участки функции Дя), выходящие за полосу ~ — 1, +1], уменьшаются с увеличением и. Более детально спектр энергии частицы характеризуется многозначной функцией Е„(к), показанной в левой части рис. 24. Величину к можно трактовать как волновой вектор, а функцию Е„(к) как закон дисперсии в и-ой зоне.

Энергетический спектр частицы в любом локальном„одномерном, периодическом потенциале качественно похож на полученный спектр энергии в потенциале из периодически расположенных Глава 4. Частица в периодическом потенциале Б-функций. Он имеет ванную структуру, т. е. состоит из чередующихся разрешенных и запрещенных зон. разрешенная зона, п =б .

запрещенная зона -разрешенная зона, и =5 запрещенная зона разрешенная зона, и =4 запрещенная зона разрешенная зона, и =3 зелрещенная зона разрешенная зона, и =2 запрецжнная зона и разрешенная зона, п =1 0 — 0 а а Рис. 24. Спектр энергии частицы в одномерном периодическом потенциале. Конечно, вид функций Е„(к) будет разным и ширины зон будут разными. Однако ни в каком локальном одномерном периодическом потенциале разрешенные зоны не могут пересекаться. Разрешенные зоны, как правило, разделены запрещенными зонами, и запрещенные зоны существуют при сколь угодно больших знерги- 4.6.

Сравнение движения квантовой и классической частиц 89 ях. Это верно и в тех случаях, когда потенциал ограничен сверху. С ростом энергии ширина запрещенных зон уменьшается. В исключительных случаях ширина некоторых запрещенных зон может оказаться равной нулю, и тогда разрешенные зоны будут касаться друг друга. Надо отметить, что правило непересечения зон справедливо только для одномерного случая. В трехмерном случае, например, при рассмотрении движения электронов в реальном кристалле, разрешенные эоны могут пересекаться и, как правило. пересекаются при высоких (и не очень высоких) энергиях. Пересечение зон имеет место и в двумерном случае., например, прн рассмотрении движения электронов вдоль поверхности кристаллов.

4.6. Сравнение движения квантовой и классической частиц Рассмотрим движение частиц в периодическом локальном потенциале произвольного вида. Поместим начало отсчета энергии в минимум потенциала. Пусть наименьшее значение потенциала есть Р ы, а à —. наибольшее значение. Классическая частица может иметь любую энергию больше $"„„„. Если эта энергия меньше 1м„, то частица движется в пределах одного периода„именно того, в котором она находилась в начальный момент времени.

Если энергия больше г', „, то движение частицы инфинитно, с течением времени она уйдет на бесконечность. При этом движении скорость частицы изменяется периодически, от максимума, когда она проходит над минимумом потенпиала, до минимума, когда она проходит над максимумом потенциала.

В отличие от классической квантовая частица может иметь энергию лишь из разрешенной энергетической зоны. При этом даже выше Ь'„,„„(если 'г',„„, конечно) существуют запрещенные для квантовой частицы энергетические зоны, В то же время при любом разрешенном значении энергии движение квантовой частицы инфинитно, т. е. квантовая частица может уйти на бесконечность даже если ее энергия меньше Р,„ Глана 4. Частица и периодическом потенциале Глава 5. Гармонический осциллятор 5.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона Рассмотрим стационарные состояния квантовой частицы с массой пзс, движущейся в упругом поле с потенциальной энергией вида Ъ'~х) =— 2 где й — коэффициент жесткости.

На рис. 25 показаны полная энергия Е частицы и классические точки поворота -ае тао, где ао классическая Рис. 25. Потенциальная энергия гарме- амплитуда колебаний. иического осцилляторэ. Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в виде с аз сР 1 — — — + -тоызхз~ Ф(х) = КФ(х), 2гло «Ьз 2 Здесь введена круговая частота вместо коэффициента жесткости " = пзо~' Сначала выполним масштабное прозбразование, чтобы избавиться от размерных множителей Ь,ы и тэ в первом и во втором з слагвемьгх в квадратных скобках. Положим х =ос, где о — параметр, подлежащий определению. Запишем оператор Гамильтона в новых переменных Н~) = — — + — тэыос.

з гз 2ше оз Д~з 2 Глава 5. Гармонический оспиллятор чтобы козффипиенты при с1г/саго и сг были одина Подберем о тзк, ковыми: б~ 1 , = -шоюоь ° 2гло ог 2 = — глоы а Сг = — бог 2тоог 2 2 Таким образом, оператор Гамильтона принимает вид 1 / <1г Й(() = — Ьы ~ — — + ~~) . ,цг (5.1) 5.2. Операторы рождения и уничтожения. Оператор числа частиц Введем оператор (5.2) Это незрмитовский оператор. Пействительно, в силу антизрмито- вости оператора И/И~ оператор а+, зрмитово сопряженный с опера- тором а, не совпадает с последним: (5.3) Вычислим коммутатор операторов а и а+: аа = — С+ — С вЂ” — = — С вЂ” — +1 Задачу на собственные значения Й(~)4(~) = ЯЩ) с оператором (5.1) можно решать как обычное дифференпивльное уравнение.