И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике

УПК 530.145 ВВК 22.314 А13 Р е ц е н з е н т ы: д-р фнз.-мат. наук, проф. Е. Я. Трифснсс ~рос. гос. лед. ун-т нм. А. И. Герцена) д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Тулуб 1С.-Петерс. гос. ун-т) Пгчстсстсг ис исстснсглгнию Ученого сиеста Физического учгбно-нсучнсгс Огнтрс С.-Петербургского государственного униггрситггиа Абарснков И.

В., Загуляев С.Н. А13 Простейшие модели в квантовой механике: Учеб. пособие. — -СПбс Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. — -128 с. 1ЯВ14 5-288-03469-9 Пособие посвящено простейшим, наиболее известным„ одномерным моделям квантовой механики. В нем подробно разбираются общие закономерности одномерного движения квантовых частиц, а такжс формулируются математические понятия, знание которых необходимо для решения квантово-мсханических уравнений движения. Использование общих теоретических методов иллюстрируется на примерах движения частиц в одномерных модельных потенциалах. Проводится детальный анализ физических следствий, вытекающих из решения задач с модельными потенциалами, .в том числе, проводится сравнение с движением классических частиц.

Пособие предназначено для студентов физических специальностей университетов, приступающих к изучению квантовой механики. Ил.32. ББК 22.314 © И. В. Абареиков., С. Н. Загудяги, 2004 18ВМ 5-288-03469-9 Оглавление Предисловие частиц частиц Глава 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1 5 Глава 2.!. 2.2. 2.3. Глава 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Глава 4.2. 4.3. 4.4, 4.5. 4.6.

Глава 5.1. 5.2. 5.3. 5А. 5.5. 1. Одномерное движение Линейные дифференциальные уравнения.... Волновая функция . Симметрия . Энергетический спектр . Сравнение движения квантовой и классической 2. Прямоугольная потенциальная яма Отрицательные энергии Положительные энергии Одномерная б-образная потенциальная яма 3. Примоугольный потенциальный барьер Модель Энергия ниже высоты барьера Энергия выше высоты барьера Сравнение движения квантовой и классической частиц 4, Частица в периодическом потенциале Трансляционная симметрия Нормировка блоховских функций Спектр оператора Гамильтона Периодические прямоугольные барьеры Модель Кронига Пенни (гребенка Парана) Сравнение движения квантовой и классической 5.

1'армонический осциллятор Постановка задачи. Оператор Гамильтона....... Операторы рождения и уничтожения Спектр оператора Гамильтона Собственные функции оператора Гамильтона..... Сравнение классического и квантового осцилляторов 7 8 19 23 25 29 33 34 41 52 61 61 62 68 70 71 71 78 80 82 84 89 91 91 92 93 96 100 Оглавление Глава 6. Однородное поле 105 6.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона..., .. 105 6.2. Решение в импульсном представлении...,,..., 106 6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц 108 Глава 7. Осциллятор в однородном поле 111 7.1.

Постановка задачи в координатном представлении, . 111 7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения .. 113 7.3. Свойства осцнллятора в однородном поле....... 116 Список иллюстраций 119 Предметный указатель 121 Литература 125 Предисловие В основу данного пособия положен один из разделов двухсеместрового курса лекций по квантовой механике, читаемых профессором Абаренковым И. В. на физическом факультете СанктПетербургского государственного университета с 1964 г.

Целью пособия является подробное изложение тех вопросов курса квантовой механики, которые, как показала практика, целесообразно вынестн на самостоятельное изучение, оставив в курсе лекций лишь краткое введение и резвзме. Кроме того, это пособие может быть полезным при проведении семинарских занятий. Порядок изложения и расстановка акцентов отражает практику изучения данного материала на семинарских занятиях по квантовой механике на физическом факультете СПбГУ.

Пособие состоит из семи глав. В первой главе рассмотрены общие закономерности одномерного движения и кратко сформулированы основные математические понятия и результаты, которые необходимы для дальнейшего изучения материала. В ходе изложения авторы старались как можно четче разделять математические и физические требования предъявляемые к решению уравнения Шредингера. Особое внимание обращено на ограничения, которые налагаются на волновую функцию исходя из физических соображений.

В остальных главах проведено детальное исследование движения частицы в основных одномерных модельных потенциалах. При этом авторы стремились не просто привести решение конкретной задачи, а проиллюстрировать на ее примере разные методы и подходы квантовой теории. В частности, в ходе решения применялась техника операторов рождения и уничтожения, координатное и импульсное представления. В тех задачах, которые обладают симметрией, эта симметрия обязательно использовалась. Лля всех рассмотренных моделыпях потенциалов проведено сравнение движения классической и квантовой частиц.

Так как авторы уверены, что графическое представление информации облегчает и ускоряет ее усвоение, в пособии приведено большое количество рисунков. Очевидно, что разнообразие всевозможных модельных задач не исчерпывается рассмотренными в данном пособии одномерными по- Предисловие тенциалами. Пособие не претендует на сколько-нибудь полное освещение этого круга вопросов, Однако подробный анализ, который сопровождает решение каждой задачи, призван помочь студентам вникнуть в физический смысл полученных результатов, «оживить» громоздкие математические конструкции квантовой механики, сделав их ясными и прозрачными.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам пособия — профессорам А. В. Тулубу и Е. Л. Трифонову за внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, а также профессору И. В. Комарову и доценту В. Ф. Братцеву за плодотворную дискуссию по некоторым математическим вопросам, обсуждаемым в данном пособии. Глава 1. Одномерное движение Простейшие модели —.

это модели физических систем, идеализированные настолько, что они допускают точное решение и анализ. Однако они сохраняют существенные черты реальных физических задач. Рассмотрение простейших моделей позволяет описать и наглядно представить себе поведение квантовых частиц в разных ситуациях. Основываясь на. тих моделях, можно проводить ка ьественный анализ реальных задач, а также разрабатывать эффективные приближенные методы.

Основным упрощением является использование одной переменной, так что уравнение Шредингера для стационарных состояний из уравнения в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, решить которое значительно легче. Рассмотрим некоторые общие свойства движения частицы в одномерном случае. ОГюзначнм через х пространственную переменную, которая изменяется в пределах — оо < х < со. Будем исследовать стационарное состояние частицы, волновая функция ф(х) которого удовлетворяет уравнению Шрцлингера для стационарных состояезий: Й(х)ф(х) = Кф(х) (Б1) Оператор Гамильтона Й частицы всегда может быть представлен в виде ьг лг г + 2то дхг где Р(х) описывает поле, в котором находится частица.

В реальных задачах чаще всего приходится иметь дело с локальными полями, т е. с такими полями, результат действия которых в данной точке определяется значением поля и этой же точке. Оператор Р(х), описывающий такое поле, является оператором умножения на функцию Ъ'(х). Олнако встречаются и такие ситуации, когда результат действия поля в данной точке определяется значениями поля не Глава 1. Одномерное движение.

только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности (может быть, и бесконечной). Такие поля называются нелакавьнььни и описываются интееральнььии операторами. Мы будем рассматривать только задачи, которые соответствуют локальным полям Р(х). Более того, будем предполагать, что Ъ (х) является вещественной функцией, что соответствует реальным физическим ситуациям в отсутствие магнитного поля. В следующем разделе мы напомним некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений, которая подробно изучалась в курсе высшей математики, необходимые для решения модельных задач. 1.1. Линейные дифференциальные уравнения Выберем на оси х конечный или бесконечный интервал х1 < х < хз.

На этом интервале рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными на [хм хз] и вещественными ксоффициентамн Рь Рз.. фн(х) + Р (х)ф'(х) + Ря( )ф(х) = О. (1.2) Одномерное уравнение Шредингера (1.1) для стационарных состояний соответствует такому уравнению (1.2), в котором коэффициент при первой производной тождественно равен нулю: Рз (х) = О, а коэффициент при нулевой производной имеет вид Рз(х) = Рз(х, Е) =- — (Š— Ъ'(х)].