И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Следовательно, граничными условиями для волновой функции в случае бесконечного интервала является равенство нулю волновой функции на бесконечности. Отметим, что в этом случае не только сама волновая функция, но и ее производная обращается на бесконечности в нуль. Во-вторых, для частицы должны иметь смысл импульс и кинетическая энергия. Это значит, что волновая функция должна удовлетворять таким граничным условиям, при учете которых, возможно построение самосопряженных операторов импульса и кинетической энергии.

Проблема состоит в том, что операторы импульса и кинетической энергии являются неоеранвченнььяи операторами (как импульс, так и кинетическая энергия могут принимать сколь угодно большие значения), а неограниченный оператор задан не во всем гильбертовом пространстве (но область его определения плотна в гильбертовом пространстве). Построение самосопряженного оператора (точнее, построение самосопряженного расширения неограниченного оператора) представляет собой довольно сложную математическую задачу, решение которой для операторов импульса и кинетической энергии в одномерном случае приводит к следующим результатам. Возможны только два типа граничных условий: один для бесконечного — оэ < х < оо, а другой для конечного: ж1 < х < хя интервалов, для полубесконечного же интервала О < х < оо построить самосопряженный оператор импульса не удается.

В случае бесконечного интервала на функцию следует наложить нулевые граничные условия ф(-со) =- О, ф(оо) = О, (1.12) т. е. в этом случае граничные условия не отличаются от ограничений вытекающих из условия нормировки волновой функции. В слу- Глава 1. Одномерное движение:1 1( чае конечного интервала на функцию необходимо наложить гранич- ное угловие (1.13) ф(хз) = е 1Ь(хь), а на первую производную — условие (1.14) э'(хз) = е' Ф'(хз), где и — произвольная вещественная константа, одна и та же в (1.13) и (1.14).

Поясним, как получаются эти условия. Оператор А является самосопряженным, если оператор, сопряженный с А, совпадает с А. Поэтому самосопряженный оператор должен быть, в частности, симметричным. Напишем условия симметричности для операторов импульса ь ь фз(х) -И вЂ” ) 1Ьз(х) с(х = ~ фз(х) ~ — 1й — ~ фз(х) Их а а и кинетической энергии ь ~ ь фз(х) — — — фз(х)сЬ = / фз(х) — — — 4з(х)ь(х 2пзе сЬз~ — / ~ 2щ„ьэ~ а а Здесь ф~ и фз суть две произвольные функции из области определения операторов, а знак «*» озна ьает комплексное сопряжение. Выполняя интегрирование по частям, получаем, что для симметричности внеинтегральные члены должны обращаться в нуль, т.е. должны быть вьпюлнены равенства ф~(х)фз(х) = 0„ а 1.2.

Волновая функция 21 Очевидно, что при нулевых граничных условиях ф(а) = О, фЬ) = 0 внеинтегральные члены обращаются в нуль для любого интервала: конечного хз < х < хз,полубесконечного 0 < к < со или бесконечного — оо < к < со. Следовательно,при нулевых граничных условиях рассматриваемые операторы являются симметричными. Однако кроме симметричности для самосопряженности необходимо, чтобы совпадали области определения исходного оператора и оператора сопряженного с исходным. Оказывается, что при нулевых граничных условиях самосопряженными будут: оператор кинетической энергии для всех трех интервалов и оператор импульса для бесконечного интервала. Оператор же импульса для конечного и полубесконечного интервалов не является самосопряженным, и надо производить расширение, используя более общие граничные условия.

Известно, что построить самосопряженное расширение для оператора импульса в случае полубесконечного интервала не удается. Лля конечного же интервала оператор импульса получается самосопряженным при граничном условии (1.13) (нулевые граничные условия являются частным случаем условий (1.13)). Лля того чтобы при этом оператор кинетической энергии остался самосопряженным, на производную следует наложить условие (1.14). Замечание. Одномерное уравнение вида (1.2) для радиальной функции Р(г) на полубесканечном интервале 0 < г < оо возникает в том случае, когда задача о движении частицы в трехмерном пространстве решается методом разделения переменных. В этом случае можно использовать нулевые граничные условия для полубесконечного интервала 0 < г < оо, поскольку рассматриваемая задача является чисто математической и нам достаточно, чтобы оператор второй производной был самосопряженным независимо от того, каким будет оператор, содержащий первую производную.

В дополнение к рассмотренным условиям нормируемости волновой функции и существования операторов импульса и кинетической энергии встречаются и другие условия, которые должны быть наложены на волновую функцию. Рассмотрим стационарное состояние, волновая функция которого должна удовлетворять уравнению Шредингера. Лля этого она должна быть подчинена еше двум условиям.

Первое из них состоит в том, что в той области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода (скачки), волновая функция должна быть не- Глава 1. Одномерное движение прерывной. В противном случае волновая функция не может быть решением уравнения 111редингера. Лействительно,пусть имеется волновая функция Ф с разрывом, принадлежащая гильбертову пространству. Произведение У(я) — Я и 4 есть функция, принадлежащая гильбертову пространству. В то же самое время первая производная от Ф, и тем более вторая производная от Ф, гильбертову пространству не принадлежат.

Именно, в случае разрыва первого рода волновая функция имеет скачок, а производная от скачка представляет собой б-функцию. В случае же разрыва второго рсва производная от интегрируемой особенности есть особенность не интегрируемая. Таким образом, результат действия оператора кинетической энергии на Ф и умножение У (я) — Ь' на Ф приводят к качественно разным функциям. Следовательно, сумма этих функций не может быть равна нулю, т. е. Ф не может быть решением уравнения 111редингера. Используя аналогичные аргументы. можно показать, что на волновую функцию стационарного состояния необходимо наложить и второе условие. Это условие состоит в том, что в области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода, производная от волновой функции тоже должна быть непрерывной.

Производная от волновой функции может иметь разрывы только в тех точках, где потенциал сингулярен. В одномерном случае уравнение 1Предингера может иметь не только квадратично интегрируемые решения, описывающие состояния дискретного спектра, но и решения, ограниченные на всей оси я. Такие решения гильбертову пространству не принадлежат, т.е., строго говоря, они не являются волновыми функциями частицы.

Однако оказывается, что ограниченные на всей оси х решения соответствуют сплошному спектру оператора Гамильтона и могут рассматриваться как волновые функции, описывающие инфинитное движение частицы, т.е. такое движение, при котором частица приходит из бесконечности и уходит на бесконечность. В этом случае квадрат модуля волновой функции дает не абсолютное значение плотности вероятности найти частицу в определенной точке, а относительное значение плотности вероятности, которое позволяет сравнивать друг с другом вероятности нахожцения частицы в рвзньгх точках. Можно сказать, что такая волновая функция описывает не одну частицу, а поток частиц, и квадрат модуля волновой функции дает плотность частиц в данной точке потока.

Очень часто такие 23 1.3. Симметрия волновые функции также называют собственными функциями оператора Гамильтона. Это можно оправдать тем, что дифференциальное выражение, соответствующее оператору Гамильтона, поэволяот определить оператор в пространстве функций, более широком, чем гильбертово пространство. Однако строго до конца это не сделано, и в настоящее время термин есобственная функция сплошного спектраз можно использовать лишь условно. Кроме перечисленных в разд. 1.2 общих свойств, волновая функция может также обладать и симметрийнымн свойствами, к изучению которых мы и переходим.

1.3. Симметрия Если рассматриваемая физическая система обладает симметрией, эту симметрию целесообразно использовать, так как ее учет не только позволяет классифицировать состояния, но и во многих случаях упрощает решение. Симметрия одномерных систем, если она присутствует, является самой бедной. В них существует лишь одна точечная операция симметрии — инверсвя, т.е. замена х на — т.

Однако даже эту симметрию полезно учитывать. Предположим, что выбранный для решения интервал симметричен хг = -хг, и потенциальная энергия является четной функцией У( — х) = Ъ'(х). В этом случае оператор Гамильтона инвариантен по отношению к операции инверсии Й( — х) = Й(х). (1.15) Посмотрим, какими свойствами будет в этом случае обладать волновая функция 15(х) стационарного состояния, являющаяся решением уравнения Шредингера Й(х) ф(х) = Еф(х). (1.16) Произведем в уравнении (1.16) замену переменной х -+ — х: Й( — х)ф( — х) = Еф( — х). Глава 1.

Одномерное движение 24 Используя (1 15), получаем Таким образом, ф( — х) также есть собственная функция оператора Й с тем же самым собственным числом Е. Здесь имеются две возможности: а) уровень Е не вырожден; б) уровень Я двукратно вырожден.

Характеристики

Список файлов книги