И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333)
Текст из файла
УПК 530.145 ВВК 22.314 А13 Р е ц е н з е н т ы: д-р фнз.-мат. наук, проф. Е. Я. Трифснсс ~рос. гос. лед. ун-т нм. А. И. Герцена) д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Тулуб 1С.-Петерс. гос. ун-т) Пгчстсстсг ис исстснсглгнию Ученого сиеста Физического учгбно-нсучнсгс Огнтрс С.-Петербургского государственного униггрситггиа Абарснков И.
В., Загуляев С.Н. А13 Простейшие модели в квантовой механике: Учеб. пособие. — -СПбс Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. — -128 с. 1ЯВ14 5-288-03469-9 Пособие посвящено простейшим, наиболее известным„ одномерным моделям квантовой механики. В нем подробно разбираются общие закономерности одномерного движения квантовых частиц, а такжс формулируются математические понятия, знание которых необходимо для решения квантово-мсханических уравнений движения. Использование общих теоретических методов иллюстрируется на примерах движения частиц в одномерных модельных потенциалах. Проводится детальный анализ физических следствий, вытекающих из решения задач с модельными потенциалами, .в том числе, проводится сравнение с движением классических частиц.
Пособие предназначено для студентов физических специальностей университетов, приступающих к изучению квантовой механики. Ил.32. ББК 22.314 © И. В. Абареиков., С. Н. Загудяги, 2004 18ВМ 5-288-03469-9 Оглавление Предисловие частиц частиц Глава 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1 5 Глава 2.!. 2.2. 2.3. Глава 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Глава 4.2. 4.3. 4.4, 4.5. 4.6.
Глава 5.1. 5.2. 5.3. 5А. 5.5. 1. Одномерное движение Линейные дифференциальные уравнения.... Волновая функция . Симметрия . Энергетический спектр . Сравнение движения квантовой и классической 2. Прямоугольная потенциальная яма Отрицательные энергии Положительные энергии Одномерная б-образная потенциальная яма 3. Примоугольный потенциальный барьер Модель Энергия ниже высоты барьера Энергия выше высоты барьера Сравнение движения квантовой и классической частиц 4, Частица в периодическом потенциале Трансляционная симметрия Нормировка блоховских функций Спектр оператора Гамильтона Периодические прямоугольные барьеры Модель Кронига Пенни (гребенка Парана) Сравнение движения квантовой и классической 5.
1'армонический осциллятор Постановка задачи. Оператор Гамильтона....... Операторы рождения и уничтожения Спектр оператора Гамильтона Собственные функции оператора Гамильтона..... Сравнение классического и квантового осцилляторов 7 8 19 23 25 29 33 34 41 52 61 61 62 68 70 71 71 78 80 82 84 89 91 91 92 93 96 100 Оглавление Глава 6. Однородное поле 105 6.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона..., .. 105 6.2. Решение в импульсном представлении...,,..., 106 6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц 108 Глава 7. Осциллятор в однородном поле 111 7.1.
Постановка задачи в координатном представлении, . 111 7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения .. 113 7.3. Свойства осцнллятора в однородном поле....... 116 Список иллюстраций 119 Предметный указатель 121 Литература 125 Предисловие В основу данного пособия положен один из разделов двухсеместрового курса лекций по квантовой механике, читаемых профессором Абаренковым И. В. на физическом факультете СанктПетербургского государственного университета с 1964 г.
Целью пособия является подробное изложение тех вопросов курса квантовой механики, которые, как показала практика, целесообразно вынестн на самостоятельное изучение, оставив в курсе лекций лишь краткое введение и резвзме. Кроме того, это пособие может быть полезным при проведении семинарских занятий. Порядок изложения и расстановка акцентов отражает практику изучения данного материала на семинарских занятиях по квантовой механике на физическом факультете СПбГУ.
Пособие состоит из семи глав. В первой главе рассмотрены общие закономерности одномерного движения и кратко сформулированы основные математические понятия и результаты, которые необходимы для дальнейшего изучения материала. В ходе изложения авторы старались как можно четче разделять математические и физические требования предъявляемые к решению уравнения Шредингера. Особое внимание обращено на ограничения, которые налагаются на волновую функцию исходя из физических соображений.
В остальных главах проведено детальное исследование движения частицы в основных одномерных модельных потенциалах. При этом авторы стремились не просто привести решение конкретной задачи, а проиллюстрировать на ее примере разные методы и подходы квантовой теории. В частности, в ходе решения применялась техника операторов рождения и уничтожения, координатное и импульсное представления. В тех задачах, которые обладают симметрией, эта симметрия обязательно использовалась. Лля всех рассмотренных моделыпях потенциалов проведено сравнение движения классической и квантовой частиц.
Так как авторы уверены, что графическое представление информации облегчает и ускоряет ее усвоение, в пособии приведено большое количество рисунков. Очевидно, что разнообразие всевозможных модельных задач не исчерпывается рассмотренными в данном пособии одномерными по- Предисловие тенциалами. Пособие не претендует на сколько-нибудь полное освещение этого круга вопросов, Однако подробный анализ, который сопровождает решение каждой задачи, призван помочь студентам вникнуть в физический смысл полученных результатов, «оживить» громоздкие математические конструкции квантовой механики, сделав их ясными и прозрачными.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам пособия — профессорам А. В. Тулубу и Е. Л. Трифонову за внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, а также профессору И. В. Комарову и доценту В. Ф. Братцеву за плодотворную дискуссию по некоторым математическим вопросам, обсуждаемым в данном пособии. Глава 1. Одномерное движение Простейшие модели —.
это модели физических систем, идеализированные настолько, что они допускают точное решение и анализ. Однако они сохраняют существенные черты реальных физических задач. Рассмотрение простейших моделей позволяет описать и наглядно представить себе поведение квантовых частиц в разных ситуациях. Основываясь на. тих моделях, можно проводить ка ьественный анализ реальных задач, а также разрабатывать эффективные приближенные методы.
Основным упрощением является использование одной переменной, так что уравнение Шредингера для стационарных состояний из уравнения в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, решить которое значительно легче. Рассмотрим некоторые общие свойства движения частицы в одномерном случае. ОГюзначнм через х пространственную переменную, которая изменяется в пределах — оо < х < со. Будем исследовать стационарное состояние частицы, волновая функция ф(х) которого удовлетворяет уравнению Шрцлингера для стационарных состояезий: Й(х)ф(х) = Кф(х) (Б1) Оператор Гамильтона Й частицы всегда может быть представлен в виде ьг лг г + 2то дхг где Р(х) описывает поле, в котором находится частица.
В реальных задачах чаще всего приходится иметь дело с локальными полями, т е. с такими полями, результат действия которых в данной точке определяется значением поля и этой же точке. Оператор Р(х), описывающий такое поле, является оператором умножения на функцию Ъ'(х). Олнако встречаются и такие ситуации, когда результат действия поля в данной точке определяется значениями поля не Глава 1. Одномерное движение.
только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности (может быть, и бесконечной). Такие поля называются нелакавьнььни и описываются интееральнььии операторами. Мы будем рассматривать только задачи, которые соответствуют локальным полям Р(х). Более того, будем предполагать, что Ъ (х) является вещественной функцией, что соответствует реальным физическим ситуациям в отсутствие магнитного поля. В следующем разделе мы напомним некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений, которая подробно изучалась в курсе высшей математики, необходимые для решения модельных задач. 1.1. Линейные дифференциальные уравнения Выберем на оси х конечный или бесконечный интервал х1 < х < хз.
На этом интервале рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными на [хм хз] и вещественными ксоффициентамн Рь Рз.. фн(х) + Р (х)ф'(х) + Ря( )ф(х) = О. (1.2) Одномерное уравнение Шредингера (1.1) для стационарных состояний соответствует такому уравнению (1.2), в котором коэффициент при первой производной тождественно равен нулю: Рз (х) = О, а коэффициент при нулевой производной имеет вид Рз(х) = Рз(х, Е) =- — (Š— Ъ'(х)].
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
