И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Решения ф+(х) и ср (т) линейно независи- .с мы. Это следует из необращения в нуль определителя Вронского ,' И'(и) = (ср ф'„— ф+4~' ) при х = хсо (см. и. 7 разд. 1.1). Беря ' в качестве с)гя(+со) и ф~(~со) их асимптотнхи, получаем два ':, значения определителя Вронского: Проанализируем теперь, как ведут себя коэффициенты прохождения и отражения для прямоугольной потенциальной ямьг. Рассмотрим параметр р. Из определения (2.10) следует, что 2 Ьэ Поэтому ггез сйпэ 2ха 4Е(Е+ ~о) При Е -+ О величина Е+ Ие стремится к константе )ге, а величина 2ха стремится к 2ьгЦ. Предположим, что аргумент синуса не кратен я (случай аргумента кратного я будет рассмотрен ниже).
Тогда в выражении для р числитель остается конечной величиной, а знаменатель стремится к нулю. Таким образом, Е-+О, р-+со, Е-+1, Т-+О, т.е., при уменьшении энергии все большее число частзщ отража ется. При возрастании энергии Е числитель в выражении для р остается ограниченным, а знаменатель неограниченно возрастает. Таким образом, Е-+со, р-+О, П-+О, Т вЂ” +1, т.е., при увеличении энергии все меньшее число частиц отражается. Однако при изменении энергии р меняется немонотонно из-за множителя вигз 2ха. В частности, если Е таково, что (2.14) 2ха = пя, то р = О и все частицы проходят область П, т.е. яма при этой энергии полностью прозрачна. Уровни энергии, при которых имеет место равенство (2.14), определяются уравнением ь' яг2 Е.
= -1'е +, ( — ) Они в точности совпадают с уровнями энергии в яме с бесконечными стенками (2.9) с учетом сдвига начала отсчета энергии на дно :у Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма;;~ ямы (в точку — гэ). Такие уровни принято называть рсзонансньши.:::~ Удобно записать формулу для Е„в виде Мы рассматриваем только область положительных энергий. По-:; этому значения квантового числа и резонанса не могут быть любы-,''. ми. Они должны удовлетворять условию 2 и > — Я, (2.15) которое обеспечивает положительность Е„, Случай, когда усло- вие (2.15) не выполняется, мы рассматривать не будем. Сравнение движения квантовой и классической частиц прн положительной энергии. Волновые функции резонансных состояний Сравним движение квантовой и классической частиц.
При положительной энергии все классические частицы проходят через яму Коэффициент отражения равен нулю. Потенциальная яма лишь меняет время прохождения, так как скорость движения частицы в яме больше, чем скорость движения частицы вне ямы (кинетическая энергия частицы в яме больше, чем вне ямы). Поэтому классическая частица, проходя через яму, приходит в конечную точку раньше, чсм она пришла бы, если бы ямы не было. Квантовая частица может не только пройти через яму, но и отразиться от нее.
Это различие велико при малых энергиях (велик коэФфициент отражения, н, следовательно, велико отличие от единицы коэффициента прохождения). При больших энергиях поведенис квантовой частицы мало отличается от поведения классической частицы. Мы видели, что при некоторых энергиях яма оказывается полностью прозрачной для квантовой частицы (коэффициент отражения обращается в нуль). Соответствующие уровни энергии были названы резонанснььни. Для того чтобы понять причину такого названия, рассмотрим ту же задачу с другим выбором общего решения. Вместо (2.11) представим общее решение в каждой из трех областей 3.2. Положительные энергии 47 (1,11,1Н) в виде з) з (к) = Аз соз(йя + ц,), з)з(х) = Аз соз(хх + пз), Фз(т) = Аз соз(йх + пз).
При таком выборе решений, в задаче также имеется шесть свободных параметров: Аы Аз, Аз, пм зд и з7 . Рассмотрим сначала четное решение. В этом случае Аз =Аз, 61 = 633 н условия сшивания в точке а принимают вид Аз соз(ха) = Аз соз(ка + пз), — хАз з1п(ха) = — кАз з1п(ка + пз). (Аз(~ созз(ха) + — зшз(ха) = )Аз)~. Отсюда, раскрывая выражение для коэффипиента перед синусом: 1'о + Е Ро Д2 Е Е' приходим к выражению (Аз! 2 Из( 1 + 1о ;„г( Е Если амплитуд~ волны вне ямы выбрать равной единице при всех энергиях ((Аэ~ = 1), то амплитуда внутри ямы будст зависеть от Е следуюшим образом: (Аз(~ = 1 + — сйп (ха) Е (2.1б) Разделив почленно второе уравнение на й, возведя правую и левую части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно получившиеся уравнения, найдем Глава 2.
Прямоугольная потенциальная нма )Аз(Е)/з 1.0 ОЕ Е' Е Рис. 11. Квадрат амплитуды волновой функции внутри потенциальной ямы. График зависимости квадрата амплитуды (2.17) четной функции Ч1+ внутри ямы от энергии приведен на рис. 11. На этом же рисунке приведен аналогичный график )Аз(Е)) для нечетного решения ф, которое мы рассмотрим ниже. Квадрат амплитуды не превосходит единицы, осцнллирует и достигает максимума при э1пма = О, т.
е. при я ма = ст = 2с' —, 2' (2.17) что соответствует энергии резонанса. Именно благодаря такому поведению амплитуды внутри ямы рассматриваемые состояния получили название резонансов: колебания снаружи ямы возбуждают колебания внутри ямы, амплитуда которых при изменении энергии достигает максимума, когда энергия совпадаех с энергией резонансного уровня. Это похоже на классический реюнанс, состоящий в том, что амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, когда частота вынуждаюшей силы совпадает с собственной частотой. Однако это только аналогия, хотя и полезная. В случае резонанса волновая функция на границах ямы принимает свои экстремальные значения (ф(а) = 1в( — а) = +Аз), а значение производной от Положительные энергии волновой функции обращается в нуль. Условие (2.17) соответствует энергиям Ея нечетных состояний (и = 2с) в яме с бесконечными стенками. То, что четный резонанс соответствует нечетному состоянию в яме с бесконечными стенками, объясняется просто.
В случае резонанса в сплошном спектре в нуль на границе ямы обращается производная от волновой функции, а в случае дискретного уровня — сэма волновая функция, отсюда и разница в фазе на я/2. Рассмотрим теперь нечетное решение. В этом случае Аг =-Аз, в условия сшивания в точке а принимают вид Аз зш(ма) = Аз соз(йа + юд), мАз соз(ма) = — ЙАз зш(ка + оз).
Аналогично предыдущему получаем ~Аз! 1+ О~ г( Я Максимум амплитуды внутри ямы достигается при (2.18) ма = — + Ьг = — (28+ 1), 2 2 что соответствует энергиям четных состояний Яз~+з в яме с бесконечными стенками. При нечетном резонансе волновая функция на границах ямы достигает своих экстремальных значений (4(а) = -4~( — а) = хАз), а значение производной от волновой функции обращается в нуль, как и в случае четною резонанса.
Схематически (без соблюдения масштаба), взаимное расположение уровней энергии в конечной и бесконечной ямах и резонансов в конечной яме приведено на рис. 12. 50 Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма '," Л - в 9 О Рис 12 Уровни энергии и их четность в прямоугольной потенцналыюй яме конечной и бесконечной глубины. Стрелками отмечены положение и чегнссть резонансов. Формулы (2.17) и (2. 18), которые являются частными случаями формулы (2.14), можно записать в виде (2.19) где и — четное для четных резонансов и нечетное для нечетных. Эта формула позволяет сформулировать простое правило существования резонанса.
Внутри потенциальной ямы волновая функция имеет вид волны с длиной Л = 2т/зс В левой части (2.19) стоит отношение ширины потенциальной ямы 2а и половины длины волны. Таким образом, резонанс наблюдается при таких энергиях Я частицы, при которых на ширине 2а прямоугольной потенциальной ямы (или прямоугольного барьера, как будет показано в разд. 3.3) укладывается целое число длин полуволн. Исследуем поведение волновых функпий при резонансе более подробно на примере потенциальной ямы с параметром Я = 4яз /5. Начнем с четных резонансов и рассмотрим первый из них, т.е. возьмем в формуле (2.19) первое (не считая нуля) четное число п=2.
Лля выбранного параметра ямы Ч этот резонанс имеет место при энергии Б = Яз = Уе/4 (см. рис. 11). При этой энергии существуют два ре- 2 2, Положительные энергии шения: четное (толстая линия) и нечетное (тонкая линия), которые изображены на рис. 13. Ф+ Ф- Ф(х) Рис. 13. Первый четный резонанс. Пунктирные линии показывают границы ямы (х = ха). На рис. 13 видно, что для обоих решений на ширине ямы укладывается две (п = 2) полуволны. Однако только для одного решения (четного) амплитуда волны внутри ямы оказывается максимальной и совпадает с амплитудой решения вне ямы. При этом амплитуда второго решения (нечетного) внутри ямы почти в два раза меньше, чем вне ямы. Это как раз показывает, почему данный резонанс называется четным. Рис. 14.
Второй нечетный резонанс. На рис. 14 показаны четная (толстая линия) и нечетная (тонкая линия) волновые функции для ямы с параметром 1~ = 4яз/5 (та же яма, что и на рис. 11 и рис. 13) при энергии Е = .Ез = 29)Ге/16, равной энергии второго (е = 1) нечетного (н = 2К + 1 = 3) резонанса в этой яме. Энергия второго нечетного резонанса соответствует Глава 2.
Прямоугольная потенциальная яма п = 3, и она больше, чем энергия первого четного резонанса, кото- -! рэя соответствует и = 2. Первый (с = 0) нечетный (и = 24+ 1 = 1) .:. резонанс в рассматриваемой яме попадает в область отрицательных ",; энергий, при и = 1 не выполняется условие (2.15). Из рис. 14 видно, что амплитуда нечетного решения внутри ямы '' такая же, как и вне ямы. Амплитуда четного решения в яме меньше, чем вне ямы. Однако внутри ямы амплитулы различаются меньше,:: чем таковые на рис. 13. Это связано с тем, что энергия нечетного ';.' резонанса при и = 3 больше, чем энергия четного резонанса при:,' и = 2. На рис.
15 показаны четная и нечетная волновые функции при энергии Я = Е' = 61Ц/64, которая не совпадает ни с одним резо- "-' нансным уровнем (см. рис. 11) и при которой амплитуды четного и нечетного решений внутри ямы совпадают (мп = я/4). ф+ 11(х) ч Рис. 13. Волновые функции для энергии Е', находящейся между первым четным и вторым нечетным резонансами. С ростом энергии амплитуда решения в яме приближается к амплитуде решения вне ямы при любом промежуточном значении энергии, расположенном между резонансными уровнями. Таким образом, резонанс отчетливо проявляется при малых энергиях и он почти не заметен при больших энергиях.
2.3. Одномерная о-образная потенциальная яма Полезным модельным потенциалом является прямоугольная потенциальная яма с малой шириной 2а и большой глубиной уш причем такой, что площадь ямы Й = 2аК~, которую принято называть мощностью ямы, является конечной величиной. Предельным случаем такой ямы при а -+ О и Ц -+ со при условии й = сопзс, является 2 5, Одномерная 6-образная потенциальная яма 53 5-образный потенциал )т(к) =- — ПЦк), ~2.20) который оказывается очень удобным при рассмотрении разнообразных модельных задач. Потенциал вица (2.20) принято называть потоенииаяом иуяееоео радиуса.
Такие потенциалы благодаря своим специфическим свойствам широко применяются в большом числе явно решаемых задач физики и математики. 5-образная потенциальная яма как предельный случай прямоугольной ямы Рассмотрим сначала случай узкой глубокой потенциальной ямы с конечной площадью. Запвзпем выражение для параметра Д следующим образом: 2пто г тле а Ъ'е = — ай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
