И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Трансляционная симметрия Отсюда видно, что если й не чисто вещественное число, т.е. если (Л1 ф- 1, то неограничедность функции фз(х) определяется множителем Л", а если й чисто вещественное число, т. е. если )Л) = 1, то неограниченность функции уз(х) определяется множителем и. Таким образом, уравнение Шредингера с периодическим потенциалом ни при каких значениях энергии Е не имеет квздратнчно интегрируемых решений. то есть оператор Гамильтона частицы в периодическом поле не имеет дискретного спектра. Однако уравнение Шредингера имеет ограниченные на всей оси решения Ф(х), которые описывают состояния, соответствующие сплошному спектру оператора Гамильтона.
Такие решения удовлетворяют уравненюо (4.4) с параметром Л = ехр(зйа) с чисто вешественным й. В этом случае модуль функции ф(х) является периодической функцией х с периодом а. Параметр й принято называть волновым числом. Рассмотрим два значения волнового числа й, а именно, йз и йз — — йз + 2к/а. Эти два значения приводят к одному и тому же закону преобразования волновой функции при трансляции, поскольку ем'" = е*з" е з~ = е'к'" В этом смысле волновые числа й1 и йз эквивалентны. В качестве неэквивалентных й можно взять числа, заполняющие отрезок вещественной оси длиной 2я/а. Мы возьмем отрезок, симметричный относительно начала координат, т.е. подчиним й условию (4.7) — — < й < —.
а а Оказывается удобным включить в интервал обе точки: — я/а и к/а, хотя они эквивалентны. Это не приводит к осложнениям, но об нх эквивалентности необхслимо помнить. Таким образом, в качестве волновых функций сплошного спектра будем брать функции, уловлетворяюшие условию (4.4) с вегцсственным й из интервала (4.7). Будем приписывать значение волнового числа й как самой функции ф(й,х), так и соответствующей ей энергии Е(й). Тогда условие, которому удовлетворяют волновые функции частицы в периодическом поле, можно записать в виде ф(й,х+а) = е ~уз(й,х).
(4.8) Глава 4. Частица в периодическом потенциале '!' Соотношение (4.8) известно как теорема Блоха. Можно пред- ".". ложить альтернативную формулировку теоремы Блоха: волновую,:".: функцию ф(й, х) можно представить в виде произведения ф(й,х) = е'я*и(й,х), где и(й, х) есть периодическая функция и(й,х+а) = и(й,х). Функции, которые удовлетворяют теореме Блоха, принято называть,','' блохоескоми функциями. Итак, мы получили первый результат: волновые функции, онисыеаюизие стационарные состояния частицы е периодическом поп1енциалс, яелюотся блохоескими функциями.
Спектр энереии гпа- "'. кои частицы не содержит дискретных уровней. Далее, рассмотрим некоторое значение йз из интервала (4.7), причем выберем йз так, чтобы йз ф О и ~йз~ з' яа. Возьмем, кро- ! ме того, второе значение йз — — — йы Произведение соответствующих;, параметров Лз и Лз равно единице.
Таким образом, здесь реализует- ".; ся случай (4.6а). Это значит, что состояния с й и — й соответствуют .:;; одному и тому же значению энергии. Следовательно, Е(й) есть четная функция й: Е( — й) = Е(й). Значения й = О и й = я/а соответствуют параметрам Л = 1 и Л = — 1, т.е. эти состояния реализуют случай (4.66). Следовательно, энергиям Е(О) и Е(я/а) соответствует по одному состояникь Напомним, что состояние с й = — я/а эквивалентно состоянию с й = я/а, т. е. из этих двух состояний используется лишь одно.
4.2. Нормировка блоковских функций Блоковские функции не интегрируемы с квадратом модуля, т.е. для них интеграл ф'(йы х)у'(йз, х) дх 4.2. Нормировка блоховскнх функций расходится, и если мы все-таки хотим использовать скалярное произведение блоховских функций, то его необходимо доопределить.
Оставим для скалярного произведения прежнее обозначение в виде интеграла, но под интегралом по бесконечному интервалу будем понимать следуюший предел: ф*(йд, х)ф(йз, х)дх = 1пп ф*(йд, х) ЯЬ~, х)бЬ. (49) /' дча а /' ФаАФХФ~*= К и" '"'д гь,юФР,*>д. — ма и=-дч о Стоящий и правой части интеграл по периоду не зависит от индекса суммирования и, и его можно вынести из под знака суммы (и из под знака цредела). В результате получаем сумму геометрической прогрессии е д" — е юп 1 еач а = (йз — хд)а со знаменателем е"'. Таким образом, мы приходим к следующему пре целу: 2Ыа з1п аЖ Я= 1шд Ял.
—— йпд дч-~о~ ею — 1 ддд-до ха и получаем известную б-образную последовательность. Таким обра- зом, Я =, б(а) = 2хб(а) = — б(йз -йд). При обычном определении несобственного интеграла верхний и нижний пределы стремятся к со и к — со независимо. Используемое здесь доопределение состоит в том, что пределы стремятся к бесконечности спммелдрачно и интегралы берутся по вялому числу периодов.
Мы рассматриваем блоховские функции, н потому Глава 4. Частица в периодическом потенциале Здесь была раскрыта неопределенность при а -+ 0 во множителе, стоящем перед 6-функцией. В результате для скалярного произведения блоховских функций получаем 2н Г М (Й1 х)7ЙЙ2,х)цх — о(йз к1) 1 ф (кз хк(йз х)ах а / — ~о о Следовательно, если каждую блоховскую функцию домножить на свой постоянный множитель так, чтобы для всех функций имело место равенство а — / (4 (й, х)~~ Их = 1, а у о (4.10) то скалярное произведение блоховских функций будет иметь вид (4.11) $ (й1 х)ыйз х)йх — д(кз к1) / 4.3.
Спектр оператора Гамильтона Получим теперь спектр энергии частицы в периодическом поле. Возьмем некоторое произвольное значение энергии Е и найдем решение уравнения Й(х)ф(й,х) = Еь|>(И., х), удовлетворяющее теореме Блоха ф(й,х+а) = е' 'ф(к,х). Решать эту задачу будем следующим образом. Рассмотрим уравне- ние где под интегралом понимается (4.9). Таким образом, блоховские функции будут нормированы на Б-функцию (4.11). Условие (4.10) содержит интеграл по конечному промежутку и может быть удов- летворено без труда.
4.3. Спектр оператора Гамиш тона на периоде [О, а] и наложим граничные условия ф(й,а) = е'ь дР(й, О), д1д'(к,а) = е'иьф'(к, О). (4.13) Выберем нормальную фундаментальную гистему (1.5) линейно не- зависимых решений ~рд и дрз уравнения (4.12): ~рд(О) = 1, ~р,(О) = О, ~,(О) = О, р,'(О) = 1. уд(х)дрз(х) — дед(х)уз(х) = дрд(О)~ря(О) — уд(О)дз(О) = 1. Представим общее решение уравнения (4.12) в вице ф(х) = Адд(х) + В~дт(х) и определим коэффициенты А и В так, чтобы выполнялись гранич- ные условия (4.13) Ауд(а) -~- Вдрз(а) = е'ькА, Аср' (а) + Вдр' (а) = е'ькВ. Мы получили систему двух линейных однородных уравнений отно- сительно двух переменных А и В. Для того чтобы супдествовэло нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю: (~рд(а) — еда ) (дрэ(а) — е'Я ) — ~рд(а)~рз(а) = О.
Раскрывая скобки и учитывая, что определитель Вронского равен единице: р ( )ря( ) — рд( )ря( ) = 1 получаем 1 — емк (ярд(а) + дря(а)) + е' ' = О. Вронскиан этих решений (он в данном случае постоянен в силу те- оремы Грина см. и. 8 разд. 1.1) равен Глава 4. Частица в периодическом потенциале Обозначим о(Е) = — (Мг(а) + рг(а)) 1 (Я(Е) зависит от энергии Е, так как егг(а) и ~рг'(а) суть решения уравнения (442) при данном Е), и запишем уравнение в виде Б(Е) = созйа. (-) Это уравнение позволяет при данном Ь найти соответствующее значение Е.
т.е. определить закон дисперсии Е(к). Для дальнейшего исследования движения частицы в периодическом поле необходимо рассмотреть потенциал конкретного вида. 4.4. Периодически повторжощиеся прямоугольные потенциальные барьеры Возьмем простейший потенциал, для которого несложно вычислить функцию Я(Е). Построим его из периодически повторяющихся (до бесконечности) прямоугольных барьеров И) (х) высотой го и шириной Ь, как это показано на рис. 22. Расстояние между барьерами равно И, таким обраюм период потенциала равен о а = Ь+ д.
Данный одномерный потенциал, х помимо трансляцион- Ь ной, обладает еще и Рис. 22. Периодический потенциал из прямо инверсионной симметугольных барьеров. рисй. Однако этот тип симметрии нас сейчас не интересует. Поэтому, поместим начало координат в точку не содержащую центра инверсии. Найдем для такого потенциала функции згг и ~рг. Обозначим и=— ~ — Е >О, ~2тц ~/ «з и введем коэффициенты а = —.г ()га — Е) > О, если Е< 1'е г, (4.15) ,б= — „г (Š— Уе) >О, еслиЕ>рш англо Рассмотрим сначала случай Е < Ъо. В качестве вгг возьмем функ- ц%по сов мх, 0<х<И, р1(х) = Адвпа(х — И) +Вгсца(х — сХ), ц'< х < а.
В области 4 < х < а можно брать любую комбинацию гиперболических синусов и косинусов. Взятая здесь комбинация упрощает вид условий сшивания. Функция вг1(х) должна быть непрерывна вместе с первой производной. Условия сшивания в точке х = д имеют вид Следовательно, аког(х) = — — в1цмовца(х — ц) + совпосла(х — И) в области И < х < а и дь(а) = — — вшмНвЬаЬ + совмАсЬаЬ. а Второе линейно независимое решение вгг(х) выберем в виде 4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
