И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Полученные функции Ф„(() есть функции переменной с, и они нормированы на единицу при интегрировании по ~. Волновые функции Ф„(т) гармонического осциллятора, зависящие от переменной т и нормированные на единицу при интегрировании по т, имеют вид фе(т) = Ф„н . (5.19) Получим некоторые полезные формулы. Прежде всею определим действие операторов С и фа~ на |встроенные собственные функции оператора Гамильтона (5.17).
Подставим в (5.11) и в (5.12) формулы-определения (5.2), (5.3) операторов рождения и уничто- жения Глава б. Гармонический осциллятор 5.5. Сравнение классического и квантового гармонических осцилляторов 1. Полная энергия классического осциллятора может принимать любые полохсительныезначения, начинаясЕ = О. При Е = О .'ус частица покоится в начале координат. У квантового оспиллятора полная энергия может принимать значения из бесконечного, дискретного, экоидистаитного набора.
Наинизший уровень энергии Ео =: -'йю > 0 соответствует энергии пулевых колебаний. 2. Известно, что средние значения координаты и импульса для классического осциллятора равны нулю: х = О, р, = О. Вычислим средние значения координаты и импульса для квантового осциллятора: хьь = (п|х~п) = о(ф„фф„), Рьь = и — уй — п = — УDŽ— УЗ„ где ~п) и ф„) отличаются тем, что первая функция зависит от х, а вторая от С. Однако обе они принадлежат полным ортонормированным наборам (цайт) = бп„, и (ф„$фы) = Б„„„где интегрирование ведется по своим переменным. Используя (5,20) и (5.21), получаем Пп 1' +1 х ° = ~ — Я Ы вЂ” ) + *у — (Ф ~4о.
) = О, Таким образом, средние эиачеиия координатпы и импульса квантового гармонического осииллятора равны нулю, как и,аа для классического. о~ 5.5. Сравнение классического н квантового оспнлляторов 101 3. Напомним, что для классического оспиллятора полная энергия связана со среднеквадратичным отклонением из положения равновесия простым соотношением Е = таях~ . Проверим, остается ли в силе это соотношение для квантового осциллятора. Используя снова (5.20) и (5.21), получаем (пИп) = "(д.~Тй.) = *'(~~.~~~.) = ,l Г I +1 Я I +1 Сравним этот результат с выражением для энергии (5.10).
Тогда получим Е„= том (п(х )и). Таким образом, связь энергии со среднеквадратичны.м отклонением от полохсенил равновесия одинакова для квантового и классического осииллнторов. 4. Известно„что для классического осць~ллятора имеет место следующая теорема вириала: .Еь = 11(х). Проверим, выполняется ли теорема вириала для квантового осциллятора: (-~р(-)(.) = --.- (-1- ~-) =- --.- — ~-+-~— г 1 Ь / 11 2 2 тоьз 2~ = -тою 1н+ - ~ = — Е„= — и и + (п(Ъ'(х))п) 2 1, 2,~ 2 " 2 Д(( 2то Отсюда сразу же следует (п11'(х)~п) =- и — и ~ 2то Таким образом„теорема вириала вьтолняется как для классического, так и для квантового оспиллятора.
о спиллятор соотношение неопределенности го осциллятора. Учитывая, ты и импульса равны нулю для среднеквадратичных ' '"$~. ьса: — и + 102 Глава 5. Гармонический 5. Про Гей верим, выполи зенберга лля средние знач 0 и р„ онсний коорд яется ли гармоническо ения координа 0), по аем ипаты и и что ~Хкв откл луч мпу Ьт~ = 1х — х) ~цР = 1р — р) = рг = 2гпо и — и = 2то-Ьы ~п+ — ~ 2то ) 2 з 2,~ Таким образом, ;г 5.гл г ~,-г + 2) 11 Ь*Ь~ = Ь + -~, 2) ' где Таким образом, в основном состоянии (и = О) в соотношении неопределенности реализуется равенства ЬхЬр = Ь/2.
Двя и больших нуля и п -+ со соотношение неопределенности выполняется с запасом: ЬхЛр )~ 6/2. Следовательно, основное состояние и лежащие близко к нему возбужденные состояния сильно отличаются от классических. Напротив, высоковозбужденные состояния мало отличаются от классических. Это подтверждается рис. 2б — 23, на которых представлена плотность вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в интервале между классическими точками поворота для разных энергий. 5.5.
Сравнение классического н квантового осцилляторов 103 — ае 0 ое -ае 0 ае Рис. 26. Основное состояние. Рис. 27. Первое всзбужненное состоя- ние. Рнс. 28. Высоксвозбужденное состояние. При любой энергии плотность вероятности обнаружить классическую частицу максимальна в точках поворота фа), где скорость частицы равна нулю и минимальна в точке х = О, где скорость максимальна. При ~х~ > а, р (х) = О. В отличие от р„квантовая плотность вероятности р„,(х) ~ О при ~х~ > а, и экспоненциально убывает при ~х~ -+ со.
Лля квантовой частицы, находящейся в основном состоянии, плотность вероятности р, максимальна в центре «осцилляторной ямыз (см. рис. 26). Лля возбужденных состояний квантовой частицы р„осциллирует, и ее максимумы постепенно смещаются к точкам поворота при возрастании энергии Глава 5. Гармонический осцнллятор -Ф (но не выгонят из полосы ~и). Для сильно возбужденного состояния .',:!~ф:,;" ~см. рис. 23) амплитуда осцилляций р становится все меньше. Нетрудно заметить, что внутри интервала ~ — а, +а) (за исключением окрестности границь1) среднее значение р„, стремится к р„„.
Глава 6. Однородное поле 6.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой»ло, движущейся в однородном поле с потенциальной энергией вида У(х) = г"х, ! бз оз — — — + г'х ф~х) =- Еф(х). 2»по дхз Сначала проведем замену переменных. Положим х = »а, где»г — параметр, подбираемый так, чтобы коэффициенты при <Рфяз и я были одинаковыми: Рис. 29. Потенпиальнэя и полная энергии сис- темы в однородном поле.
Уравнение Шредингера для стационарных де где à — напряженность поля (см. рис. 29). Мы не привязываемся к конкретному виду однородного поля, оно может иметь любую физическую природу. Пусть Š— полная энергия квантовой частицы, а хо — классическая точка поворота. состояний запишем в ви- Глава б. Однородное поле Введя е = Е/(Рн), запишем уравнение Шредингера в виде ! 4Р— — + я — е "чг(г) = О. дгг Данное репш но по линейное дифференциальное у ямым интегрированием доста уравнения, восполь ее нулевой произво ейно). ть пр низи ть пор ветст ядок вующ (лин емое, соот первой степени 6.2. Рептение в импульсном представлении В коор г,ао ом ко динатно пера орд у пр ,ао е м представлении операто м импульса, каноничес , является р = -1д/Й влению.
Тогда операто ром импульса будет о игера (6.1) в импульсн ется торо ипаты ратор импул я Ур пима ьсном +1 й/др авнени ет вид едста перато Шреди ! г р +1 — — е 1о(р)=0, пр д — ~Р(р) = 3 (р' — е) е(р). с1р (6.2) Уравнение (6.2) является уравнением первого порядка по р и может быть легко проинтегрировано. Его решением является функция Отсюда .нз = йг/(2тиеЕ), при этом равнение второго порядка точно сложно. Однако можговавшись тем, что слагадной, входит в уравнение в ром координаты являки сопряженным с опек.
Совершим переход к ром координаты будет ператор умножения р. ом представлении при- б; 2. Решение и импульсном представлении где множитель 11'чГ2н введен для нормировки. Йействительно, ана- логично (4.11) получаем: ~р, (мафр,(р)др = — е (' ')иор = О(е — е) /:, 2и / Чтобы найти ф(я), необходимо вернуться к координатному пред- ставлению. Выполним обратное преобразование Фурье с функци- ей (6.3) 1 Г ф,(я) = — / е"' р,(р)с1р = — ~ е*ле +1' '1')с(р = - Л;/ ° -2./ — е~-р + (» — е)р Ф. и 3 е Ф(1) = — / соя 1-р + 1р Ир. ,я/ ~з е Таким образом, 1 м) = — ф( — )- з/й (6.3) Вернемся обратно к переменной х и энергии Е с помощью замены х Е Рх — Е е — е и Ен Ен Кроме того, нормируем функцию фн(х) на Е-функцию по энергии: 1 Г Рх — Е'1 Фн( ) = СФ,( ) = С вЂ” Ф ~ ), Последний интеграл с точностью до константы представляет собой функцию Эйри Глава б.
Однородное поле й:( )фв(х)б = Ф!' ~ ф,*(я)4.(вМ = ~О~ямб(е' — е) = ~О)зГнзб(Е' — Е). Отсюда Таким образом, нормированная волновая функция частицы, движущейся в однородном поле, есть 1 фв(х) = — Е в — Ф, (6.6) Индекс Е, показывает, какому собственному значению оператора Гамильтона принадлежит данны собственная функция. Он может принимать любые значения, т.е. спектир чвсшо сплошной и не ограничен ни сверху, ни снизу. 6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц Прежде всею изучим поведение волновой функции (6.6) квантовой частицы на бесконечности. Лля этого рассмотрим асимптотики функции Эйри (6.4) 1 / 2в1 з екр( г'!, 1-++со, 214 ~, 3 !' Ф(г) = 1 .
/2 в я1 —,сйп -ф' + — ~-+ — со И-' 13 4) ' (6.7) Таким образом, волновая функция частицы в однородном поле фн(х) при х > хо (классически недоступная область) экспоненциально затухает, а прн х ( хе (классически разрешенная область) она осциллирует со все возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Поведение функции фв(х) показано на рис. 30. 0.3. О Сравнение движения квантовой и классической частиц 109 Рис.
30. Функция Эйри. 1. Полная энергия как классической, так и квантовой частицы в однородном поле может принимать любые значения от — со до +со. 2. Изве ство, что значение скорости классической частицы в точке х < хе (хе — классическая точка поворота) задается выражением Г2 и (х) = ~/ — (Š— Ех) и возрастает при уменьшении х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
