И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поведение квантовой частицы полностью аналогично поведению классической части ы. Ц Она также ускоряется внешним однородным полем. Ее скорость увеличивается, что следует из возрастания частоты осцилляций волновой функции фл(х) при х -+ — со (рис. 30). о. Уменьшение амплитуды волновой функции фн(х) при х + — со (рис. 30) связано с возрастанием кинетической энергии части- . ( .3)). Как следствие уменьшается ошносиглельная(!) плотность вероятности обнаружить частицу в точке х (абсолютная величина плотности вероятности имеет смысл только для финитного движения). Относительные плотности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы н точке Гдана 6.
Однородное поле 110 показаны на рис. 31. Из этого рисунка видно,что как кпассическая так и квантовая плотности вероятности уменьшаются при х -+ — оо. х 0 хе Рнс. 31. Относительные плотности вероятности обнаружить классическую н квантовую частицы в данной точке х. 4. В классически недоступной области (х > хе) плотность вероятности р (х) = ( ) = 0 в то время какквантоваяппотностьвероятности р,(х) затухает по экспоненциальному закону с показа- з/г телем пропорциональным — х У (6.7). Глава 7. Оспиллятор в однородном поле 7.1.
Постановка задачи. Решение в координатном нредставлении Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой гло, движущейся в поле упругой силы и однородном, например электрическом, поле. Потенциальная энергия частицы имеет вид $'(х) =- — йхг + Гх„ 1 2 гдв й — коэффициент жесткости, а à — напряженность поля.
На рис. 32 тонких ми линиями показаны потенциальная энергия однородного поля и потенциальная энергия гармонического Осцилляторар а жирная сплошная пирис. 32. Потенциальная энергия гармонического ния гоответгтвует ик осциллятора в одноролном поле. Уравнение Шредингера для стационарных состояний Ф(х) гармонического осциллятора в однородном поле запишем в вице ! — — — + -гном х + Гх Ф(х) = ЕФ(х), (7.1) г г 2гпо Нхг 2 где, как и в разд.
5.1, вместо коэффициента жесткости к введена круговая частота ю =,/й/юо . Выделим полный квадрат из второго Глава 7. Осциллятор в однородном поле 112 и третьего слагаемых в квадратных скобках ! г,, г 1 г г — + товг (г: хо) теы хе~ Ф(х) ЕФ(х) 2те Нхг 2 2 .Е' = Е + — те ы хв = Š— — Рхв = Е + г г 2 в 2 2теыг ! иг г 2те ~1эг Полученное уравнение есть стандартное уравнение для гармонического осциллятора (без внешнего поля). Его собственные числа и собственные функции были найдены в гл.
5. Используя формулу (5.10) для Е,'„получаем следующее выражение для энергии Е„стационарного состояния осциллятора в однородном поле: Еи= 8 и+ — — г Таким образом, спектр гармонического осциллятора во внешнем однородном поле остается чисто дискретным и эквидистаитиыл. Наличие однородного поля приводит лишь к сдвигу спектра как целого на величину — Рг/(2твыг). Отсюда видно, что сдвиг энергии осциллятора во внешнем поле квэдратичен по напряженности поля. Используя формулу (5.19) для Фи(э), мы получаем следующее выражение для волновой функции Фи(х) гармонического осцилля- ~"х ( = Жм~э Фи(х) = Фи(э) = Ф„( — ) = г/в ( — ) Н„( — ), (7.3) где Фв(г/а) определена формулой (5.14), а Ни(э/а) есть поли- пом Эрмита (5.18).
Функции Фи(х) нормированы на единицу при интегрировании по х. Здесь хв = — г'/(тем~), есть координата положения равновесия частицы в поле И(х). Произведем замену переменной х = х — хв, Ф(х) = Ф(х), Тогда уравнение Шредингера приводится к виду ::3! Т.2. Решение с операторами рожденн» и уничтожения 113 7.2. Решение с помотцью операторов рождения и унн ггожения Как видно из предыдущего раздела, задача об одномерном гармоническом осцилляторе в однородном поле легко решается в координатном представлении. Однако при этом используется в явном вцле оператор Гамильтона в координатном представлении. В то же время похожие, но гораздо более сложные задачи возникают в разных разделах физики, например, при рассмотрении взаимодействия электрона с электромагнитным полем, при учете электрон-фононного взаимодействия, при описании эффекта гигантского комбинационного рассеяния и других.
Эти задачи обычно решаются с помощью операторов рождения и уничтожения. Лостоинство такого подхода состоит в том, что в нем достаточно использовать только коммутационные соотношения между операторами. Покажем, как задачу об одномерном гармоническом осцилляторе в однородном поле (7.1) можно решить с помощью операторов рождения и уничтожения. Лля упрощения цоследующих вычислений целесообразно вместо напряженности поля Р ввести пропорциональный полю параметр Ь: Р а Ь = — —. Ьш( чг2 Перейдем к безразмерной переменной ( = х/а, где о = ~,ФУ(гло ш), и запишем оператор Гамильтона гармонического осциллятора в однородном поле в виде 1 / с(г гг(Ь) 5 + сг + Уя 5Д~ 2 з Н~г где оператор Й зависит от Ь как от параметра.
Воспользуемся результатами рази. 5.2 и введем операторы рождения а+ (5.3) и уничтожения а (5.2). Преобразуем с их помощью оператор Гамильтона Й(Ь) = Й(0) + гяяЬ(а+ а+), где Й(0) есть оператор Гамильтона гармонического осциллятора без поля в представлении операторов рождения и уничтожения: Й(0) = Ьш а+а + — ~ 2/ (см. формулу (5.5)). Покажем, что существует такой унитарный опе- ратор Ь7(6), который связывает оператор Н(6) осциллятора в поле с оператором Й(0) о«циллятора без поля простым соотношением Й(Ь) = 0(6)Й(0)Й" (Ь) + Лис(6), (7.4) ) есть некоторая числовая функция Ь.
Для этого подставим операторы Й(6) и Й(0) в явном виде, сократим справа и нергию нулевых колебаний (й г/2), поделим это равенство на репишем полученное равенство в виде Й(6)а+аО+(Ь) = о "а + Ь(а + а") — с(Ь). (7.5) -'7. Возьмем в качестве унитарного оператора Й(6) оператор Й(Ь) = е~~, где А есть оператор вида А = Ь(а — а+), который является антиэрмитовским (А = — А+). Преобразуем леву1о часть (7.5) с помощью операторного тождества Бейкера— Хаусдорфа: Л„= — ~А еайе = ~ Й„, Йо = В, В рассматриваемом случае В = а "а.
Поэтому 1~о = а+а. Вычисляя следующий член разложения Бз „находим где с(6 в (7.4) слева э Вы и пе з Глана 7. Осциллятор в однородном поле П1 — — ~А, Йо] =- 6 ~а — а+, а+а1) = 6(а + а ), (а,а а~ = аа а — а аа = (а,а ~ а = а 7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения И5 ~аь,ач а~ = а+а+а — ааааа+ = — а+ ~а,а+~ = -а+, Палее, Вг = — ~А Е?г~ = — Ьг (а — а+ а+а+1 = бг, '-2~ ° '~ -2' Поскольку Бг есть константа„то Бз и все последующие В„, и > 3, обращаются в нуль. Таким образом, ела+ос = а+а + Ь(а + а+) + Ьг, г — Лшб = — — бгя хе = -Гхе =— 2 2 2гле4 1г ' т.е.
вниз. Таким образом, для энергии гармоническою осциллятора в однородном поле получаем формулу (7.2). В то же время, сдвиг спектра как целого не меняет собственных функций оператора. Собственные функции Ф„(х) исходного оператора и собственные функции Ф„(х) подобно преобразованного оператора связаны между собой унитарным преобразованием Ф„(х) = б(б)Ф„(х). Рассмотрим это преобразование более подробно. Поскольку (7.6) а а — а+ = ч'2 — =ач'2 —, сК с(х' то унитарный оператор определяется выражением О(Ь) = ехр(б(а — а+)) = ехр1 абъ/2 — ) = ехр ~ — хе — ) .
.) ~ *) а это и есть уравнение (7.5), в котором с(б) = — бг. Первое слагаемое в правой части (7.4) представляет собой преобразование подобия с унитарным оператором, а второе слагаемое есть сдвиг начала отсчета энергии. Как известно, преобразование подобия не изменяет спектра оператора.
Поэтому спектр оператора Гамильтона осциллятора в поле есть спектр оператора Гамильтона осциллятора без поля„сдвинутый на величину Глава 7. Осцнллятор в однородном поле 1'-:",'! 116 1!окажем, что это есть оператор сдвига на — хе. действительно, раз- ложим полученный оператор в ряд о.(Ь) ч- ( — хе) и=О и пццействуем этим оператором на произвольную функцию 1(х) (не- прерывную вместе со всеми производными).
Получим ( — хо) о Х(х) п=е а это есть разложение функции 1 (х — хе) в ряд Тейлора относительно точки х. Следовательно, 0(Ь) Дх) — ~(х хе) Фп(х) Фп(х хе)~ т.е. для волновой функции гармонического осциллятора в однородном поле получаем формулу (7.3). 7.3. Некоторые свойства гармонического осциллитора в однородном поле 1. В разд. 5.5 было показано, что средние значения операторов координаты и импульса в стационарном состоянии частицы в упругом поле (без оаноропного поля) равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
