И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Однако мы поступим по-другому, для того чтобы ввести понятия, играющие очень важную роль в современной квантовой теории, а именно, операторы рсокдения и уничтожения. 5.3. Спектр оператора Гамильтона 93 а+а=- 5 — — 5+ — =- ~' —,— 1 Таким образом, коммутатор равен (а,а+) = аа+ — а+а = 1. (5.4) Кроме того, из выражения для а+а получаем Й(~) = йы а+а+— (5.5) т. е. оператор Гамильтона Й является линейной функцией от дру- гого оператора: Й = а+а.
(5.б) Поэтому, найдя собственные числа и собственные функции более простою оператора Й, мы автоматически получим собственные функции, а после линейного преобразования и собственные числа оператора Й. 5.3. Спектр оператора Гамильтона Рассмотрим задачу на собственные значения и собственные функции оператора Й (5.6): (5.7) 1. Собственные числа Л оператора Ж не онзрнцанзеяьны. Пействительно, считая, что у нормированы на единицу, получаем: Л = (1о)Й~~р) = (фа а)р) = (ЯД > О, где 1 = а~р. В данной формуле знак равенства может иметь место, только если 1 = О.
Таким образом, спектр оператора Ж, а следовательно, и оператора Й оераничен снизу. Это непосредственно следует из того, что оператор потенциальной энергии к'(х) ограничен снизу нулем. Пля этого исследуем в деталяк свойства оператора Ф. Сформулиру- ем ряд утверждений. Глава 5. Гармонический оспиллятор ратора ьт* с собств о нуль, либо собстп ьм числом Л вЂ” 1. у — собственная ф ственное число, есл утверждением 1. испо оператора Ю ч функцию черезро.П еньщее собственное Ои а 'ро = Уо = О.
является н средин Поэтому, — целые числьь которое собственное число оп + 1), а рл — соответ уя последовательно т ледовательность собст т, где т б И. Послед ое значение Л вЂ” т л щая собственная фун ператора а на ьрь „, ет быть согласно утв = О. Но вместе с тора Ф в состоянии ьр 2. Пусть р -- собственная функция опе числом Л. Покажем, что у = а р либ уьункция оператора ьтт с собстпееннь Действительно, используя коммутационные ния (5.4), получаем Й1' = а+ааьт = (а а+ — 1)аьр = ааьаьр — аьр = аьт'ут — ад = аЛьр — аут = (Л вЂ” 1) ( Таким образом, если Л вЂ” 1 > О, то ция оператора оь, а Л вЂ” 1 — его соб Л вЂ” 1 < О, то т' = О в соответствии с 3.
Обозначим наименьшее собственное ч Ло, а соответствующую собственную ноем, чтпо Ло = О. Действительно, так как Ло — наим то в силу утверждения 2 Ло — 1 < Собственное число Ло одновременно чением оператора ьт" в состоянии ро. Ло = (ьро!а~а(ьро) = (аьро~аьро) = (Уо!Уо) = 0 4. Все собстпеенные числа оператора ты Действительно пусть Л вЂ” не тора Ж, лежаьцее в интервале [т, т ющая собственная функция.
Действ оператором а на ры получаем пос ных чисел: Л вЂ” 1, Л вЂ” 2,, Л— этой последовательности собственн в интервале (0,1), а соответствую есть ьрь ы. Следующее действие о нам (Л вЂ” т — 1) < О, чего не мож нению 1. Отсюда следует, что аьрь (Л вЂ” т) есть среднее значение опера (Л вЂ” ткь) = (ьрз-,„~а а~~рл- ) = (аьрл-ы~аьрл ) = енным еенноя унии же ерез ',::;:~;.
ока-,:, ~5 ера- ствураз венное в ежит !й': кция даст ержл— О. '!Ф 5.3. Спектр оператора Гамильтона Следовательно, при каком-то значении т мы неминуемо попадаем точку нуль„и это есть наименьшее собственное число, и оно целое. А так как т Е И, то и Л тоже должно быть целым. Таким образом, мы делаем вывод, что Л = и, и=0,1,2, 5. Пусть <р — собственная функция оператора Ж с собственным числом Л.
Покажем, что функция.г = а+~р -- танисе я«ах«гася собственной функцией оператора Й с собственньья числом Л+1. Действительно, используя коммутационные соотношения (5.4) получаем Йу = а аа+р = а+(а "а+ 1)1в = =- а+Йу + а+~р == (Л + 1 ) а«~р = (Л + 1) ~. Отметим, что спектр не ограничен сверху, что следует из неограниченности операторов кинетической и потенциальной энергии Р(к) на бесконечности.
Операторы а+, а и Й широко используются в различных приложениях квантовой механики и получили названия операторов ронсдения, уничтожения и числа частиц соответственно. Термин частица означает не реальную физическую частицу, а просто квант энергии Вз.
Часто говорят, что оператор уничтожения а переводит систему из состояния с и «частицами» в состояние с и — 1 «частицей», а оператор рождения а+ — из состояния с и «частицами» в состояние с о + 1 «частицей». В то же время квантовомеханическое среднее оператора Й дает число частиц (квалтов) в рассматриваемом состоянии. Таким образом, задача (5.5) сводится к следующей задаче: (5.8) Следовательно, (5.9) Глава 5. Гармонический осциллятор где Е„=. Ьы и+в ормулы (5.5 к оператор м, мы наш еидистантпныв сп ), задающей уй. ли спе Это следует из ф а Ф (5.6) образо .
Это эк оператор Таким ра (5.10) нами пос ктр га ектр. р мович Рассто тоянно и равно Е„+1 — Е„= Ьы Отметим, что м а+ и ьзуя кон оотноше тр,не испол ая лишь их с раторов Поэтому свести к а+а<р = Л<р где аа+ — а+а собственные чи = 1, а конкретное содержание ела Л будут целыми. Напр породном магнитном поле , решение которого ссответств имер оп ,дв исыв электрон подобно ввод го вида (5.8), функ (5.9). ций ф, Нвм ос ,(С) и и ницу и (ФМ )=б, чтожен а15в = С„Д, 1 Отсюда ы нашли спек а, а учитыв если какую-нибудь квантовомех задаче вида 5.4. Собственные функции оператора Гамильтона Продолжим решение задач конкретный вид собственных считать, что все они нормированы на еди Тогда рассмотрим действие оператора уни лучим (5.10) ф '4' нейное преобразсиание '':,:,ф::.
еского осциллятояние между уровкретный внд опения коммутации ческую задачу можно $ операторов любое, то ..:ф':; ижение свободного ается уравнением ует уровням Ландау. ээ', 4 талось определить х свойства. Будем ортогональны: ия а на ф„(~). По- 5А. Собствешзые функции оператора Гамильтона й4 аай„) = (Ф !1~У ) = !С 1~, ~2 Выберем фазы у ф (С) так, чтобы С„было положительным, т. е. С„= ~/и, афо = сГпф -ы (5.11) Исследуем действие оператора рождения а г на ф„(~). Для этого перепишем уравнение (5.11) в виде Подействуем на обе части этого равенства оператором а+ о+аф„.ь~ —— Яф„+1 — — (и + Цф„+1 = ъЯ + 1 а+ф„. В результате получим а+ф„= з/и+ 1 4~„+м (5.12) Подставив сюда выражение (5.2), получим следующее дифференци- альное уравнение Итак, мы определили правила действия операторов рождения и уничтожения на общие собственные функции операторов Гамильтона и числа частиц.
При этом мы опять-таки не использовали явный вид операторов рождения и уничтожения. Однако, для нахождения ф„(~) нам придется задействовать определения (5.2), (5.3) этих операторов. Подействуем оператором уничтожения а на волновую функцию 4о(с), принадлежащую иаииизшему собственному значению п = О.
Согласно утверждению 3, приходим к уравнению Глава 5. Гармонический ослиллятор нциальное уравнение, решением которо- :Ф-::-'-: 15.14),:':ф',, (5.14) в ..$'' с помо-:="'ф,, Это обыкно го является венное диффере ФоЫ) =,' е-", ь непосредственной подстановкой тавлен для нормировки. Все ест атора Гамильтона можно найти роверит ель 1/фк пос ции опер ждения а+ что можно легко п (5.15). Множ собственны щью операт Лействи 1 1 ф„1с) = — а+фи ~(~) = о+а+~„з(~)— ь/и(п — 1) = — 1 Г~.ю ,Я (5 15) Чтобы сделать это выражение более удобным, рассмотрим оператор е зС а+е+зС = е зс — С вЂ” — е+1С Л~ К/ 1 т ° 1 /1с~ .1 з(1'1 1 = — с — е ~с — ~~ — с~к~ ~ + с~к~ — ! = — — —.
ъУ2 Л ~,~(К 1 ~! з/2сК Запишем выражение (5.15) в виде и подставим в него единичные операторы вида Х=е+з~е перед первым оператором а+, между каждыми двумя операторами а+ и после последнего оператора а+. Тогда каждый оператор а+ окажется стожцим между ехр( — -'Сз) и ехр(+-Ст), и каждая такая конструкция может быть заменена на ( — 1/чу)(фс1~).
В результате получим 5.4. Собствстьтые Функции оператора Гамильтона или (5 17) 1 Н вЂ” с+,— Ф. = з/пф -ы ~/2 — — — Ф„=,Я+ 1Фи,. ,/2 а( Из этих уравнений получим важные для приложений результаты: )и ~+1 'т' 2 ! +1 И~с " 'у' " 'у' 2 'у' 2 (5.20) (5. ) ( и) ГЯ Т2е Таким образом, собственные функции оператора Гамильтона для гармонического осциллятора можно записать в следующем виде: Ф.
(с) =,—; — „-Ф~(с)~ (с) где функция Фе(~) определена формулой (5.14), а функции (о Ни(С') = ( — 1)"Е+~ — Е ~ Д~зь (5.18) называются полиномами Эрмита. Они образуют полную ортонормированную систему. Нетрудно проверить, что система собственных функций (5.16) или (5.17) оператора Гамильтона также ортонормированаи полна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
