И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При энергии ниже высоты барьера классические частицы не могут пройти сквозь него и отражаются, т. е. коэффициент отражения равен единице, а коэффициент прохождсзшя равен нулю. Как мы видим, квантовые частицы могут пройти сквозь барьер несмотря на то, что их энергия меньше, чем его высота (см. рис.
19 и рис. 20). Это так называемый туияельямв' эффекпь Вероятность туннелирования мала при низких энергиях и возрастает с увеличением энергии. 2. Когда энергия частицы возрастает и проходит через вершину барьера, движение классической частицы резко меняется. При энергии, сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера и меньшей, чем высота барьера, частицы полностью отражаются. При энергии, сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера н большей, чем высота барьера, все частицы проходят над барьером.
Поведение же квантовых частиц почти не меняется, когда энергия проходит через вершину барьера. 3. При энергии вьвпе высоты барьера классические частицы полностью проходят над барьером. Единственное, на что влияет барьер, — это скорость частицы: над барьером ско1юсть меньше, чем вне барьера. Квантовые частицы в общем случае лишь частично проходят над барьером, часть нх может отразиться.
Это так называемое надбарьеркое отпражение. Лишь при некоторых, реэананск х, энергиях квантовые частицы полностью проходят барьер. Глава 4. Частица в периодическом потенциале. Периодически расположенные потенциальные барьеры. Модель Кронига — Пенни (гребенка Дирака) 4.1. Трансляционная симметрия Рассмотрим стационарные состояния частицы в периодическом поле. Волновая функция частицы удовлетворяет уравнению Шредингера для стационарнык состояний Й(х) ф(х) = ЕЯх), (4.1) где оператор Гамильтона имеет вид а У(х) есть периодическая функция (4.2) Ъ'(х+ а) = Ъ'(х) с периодом а.
для исследования свойств волновой функции удобно ввести опералюр трансляции Т„, который действует на любую функцию Дх) следующим образом: Тв У(х) = У(х+ а). (4.3) Поскольку потенциал есть периодическая функция, Т.Р(х) = Р(х). Функцию, обладающую этим свойством, принято называть транс- ляционно инвариантное Глава 4.
Частица в периодическом потенциале Рассмотрим свойства оператора трансляции Т . Оператор трансляции (4.3) определен во всем гильбертовом пространстве, так как если ф(х) есть функция, интегрируемая с квадратом модуля, то и ф(х+ а) также интегрируема с квадратом модуля. Лалее, оператор трансляции является ограниченным, так как ЙТ фй = ~ф(х+а)~ Их = (ф(х)~ бх = (Щ .
— 1 Очевидно, что оператор Т,, обратный оператору Т„, есть Т „так как Т,Т, = Х. Найдем оператор Т,', эрмитовски сопряженный с оператором трансляции. Для этого рассмотрим матричный элемент Фд!Т (Фз), где чч и ч'з -- две произвольные функции из гильбертова пространства, и преобразуем его: (4Ь Тамаз) = з фДх)ТаФ2(х)ох =,/ 'фз (х)фз(х + о)ат =У К( -а)4 (х)~ = У К(х)р( -о)( =(4 Ф-.Мз)*- Согласно определению оператора, эрмитовски сопряженного с дан- ным, получаем т+=Т„=Т Таким образом, оператор Т есть унитарный еперапюр.
Вследствие трансляционной инвариантности потенциала, оператор Гамильтона коммутирует с оператором трансляции т.Й = Йт.. действительно, операция взятия производной не зависит от выбора начала отсчета: ~Р,~ Ф вЂ” = — зйх+ о) а потенциал коммутируег с оператором трансляции Т г'(х)у(х) = К(х+ а)Дх+ а) =- У(х)Т Дх). 4.1. Трансляционная симметрия Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать не только функции, принадлежащие гильбертову пространству, но и такие решения уравнения Шредингера, которые не интегрируемы с квадратом модуля, т.е. гильбертову пространству не принадлежат.
Тем не менее по-прежнему будут использоваться операторные обозначения. Это делается потому, что не интегрируемые с квадратом модуля, но ограниченные на всей оси х функции соответствуют сплошному спектру оператора и могут рассматриваться как волновые функции, описывающие инфинитное движение частицы, т.е. такое движение, прн котором частица приходит из бесконечности и уходит на бесконечность (см. предпоследний абзац разд. 1.2 «Волновая функцияэ). Из коммутации оператора Гамильтона и оператора трансляции следует, что у уравнения Шредингера (4.1) с периолическим потенциалом (4.2) и заданной энергией Е существует либо одно решение ф(х), либо два линейно независимых решения фг(х) и уЗз(х), каждое из которых удовлетворяет уравнению вида (4.4) Т,Ях) = Лф(х).
Если при заданном потенциале и энергии существует только одно решение, удовлетворяющее уравнению (4.4), то второе решение Э (х), линейно независимое с ф(х), всегда можно выбрать так, что оно будет удовлетворять уравнению Т,Цх) = Лф(х) + 15(х). Высказанное утверждение известно как теорема Флокс (здесь она приведена для дифференциального уравнения второго порядка). Покажем это утверждение. Фиксируем в уравнении (4.1) значение энергии Е и возьмем какую-нибудь фундаментальную систему ~рз(х), рз(х) решений уравнения Шредингера Йу (х) = Е<р (х), у =- 1, 2.
(4.5) Подействуем на правую и левую части уравнения (4.5) оператором трансляции Т,Й~р,(х) = ЕТ,~р,(х), У = 1,2. Пользуясь тем„что Т„и Н коммутируют друг с другом, получаем ЙТ, р,(х) = ЕТ, ру(х), 3 = 1,2. Глава 4. Частица в периодическом потенциале Т,~,=Впал + В„,;г, Тауг = огддддд + оггуг. Конкретные значения коэффициентов Ям определяются потенциалом и величиной энергии Е. Воспользуемся теперь тем,что любая матрица может быть приведена к жорданоивднормальной форме с помощью преобразования подобия с неособенной матрипей.
Напомним, что у матрицы, имеющей вид (нижней) жордановой нормальной формы элементы, расподюженные над главной диагональю, равны нулю. Также равны нулю элементы, расположенные под первой поддиагональю. Элемент первой поддиагонали равен нулю, если соседние с ним диагональные элементы различаются. Если эти диагональные элементы совпадают, то поддиагональный элемент может быть равен либо нулю, либо единице. Таким образом, существует неособенная (двухрядная) матрица К, которая приводит двухрядную матрицу 5 к жордановой форме Здесь Лд и Лг --- корни секулярного уравнения (Ядд — Л)(Ягг — Л) — ЯдгЯгд = О. Если Лд ф Лг, тод = О.
Если Лд — — Лг„толибод = О, либо д = 1. Беря в качестве ф (х) линейные комбинации функций фунцаментальной системы фд(т) = 1дд Уд(х) + Рдг ддгг(х), ,7' = 1, 2, видим,что могут реализоваться два случая. В первом из них фд(х+ а) = Лд удд(х), дддг(х + а) = Лг дуг(х) (4.6а) причем Лд и Лг могут оказаться совпадающими. Во втором случае Следовательно, функции Т,у~, (х) также являются решениями урав- .:..' нения (4.5), а значит, они могут быть записаны в виде линейной::;: комбинации функций фундаментальной системы 75 4.1. Трансляционная симметрия фг(х+ а) = Лбч(х), Фг(х+а)=ЛФг(х) + б~г(х).
В качестве примера, показывающего, что вариант (4.66) может реализоваться, рассмотрим случай пустой решетки и нулевой энергии. Потенциал И(х) = О можно рассматривать как периодический с перислом а, поскольку в этом случае при любых х имеет место равенство У(х+ а) = Р'(х). Полагал Е = О, приводим уравнение Шредингера с нулевым потенциалом к виду лг 4г — — — ф(х) = О.
2гло 4хг Линейно независимыми решениями этого уравнения являются функ- ции 1 ф,(х) = 1, фг(х) = -х, которые преобразуются при трансляции, согласно формуле (4.6б), с Л = 1. Далее, оказывается, что величины Лы Лг в случае (4.6а) и величина Л в случае (4.66) должны удовлетворять некоторым условиям. Действительно, определитель Вронского И', вычисленный с линейно независимыми решениями уравнения Шредингера (4.1), отличен от нуля и не зависит от х. В то же время, вычисляя определитель Вронского с функциями фг(х) и бч(х), получаем И'(я+а) = ЛгЛг И (х) в случае (4.6а) и И"(х+а) = Л И'(х) в случае (4.6б).
Следовательно, Л Л в случае (4.6а) и Л =1 Глава 4. Частица в периодическом потенциале в случае (4.6б). Таким образом, мы показали, что в качестве функций фундаментальной системы уравнения Шредингера с периодическим потенпиалом всегда можно взять функции, удовлетворяющие теореме Флоке, т.е. преобразующиеся при трансляции, согласно (4.6а) или (4.66). Однако не все функции, удовлетворяющие теореме Флаке, могут быть взяты в качестве волновых функций физической системы. Псйствительно, рассмотрим те функции ф(х), которые удовлетворяют уравнению (4.4), т.е. функции фз(х) и фз(х) из (4.ба) и функцию ф1(х) из (4.66). Представим параметр Л, являющийся комплексным числом, в виде где к — — некоторое комплексное число вида к = и + мс Тогда урав- ! пенне (4.4) примет вид ф(х+а) = е'"' ""ф(х).
Повторяя операцию трансляции н раз и вычисляя модуль функции ф(х), приходим к равенству: рр(х+ по)! = е ""'рр(х)!. Отсюда видно, что если е ф О, т.е. если к — не чисто вещественное число, то функция ф(х) неограниченно возрастает на одном из концов оси х. Пействительно, при положительных о модуль волновой функции экспоненциально возрастает при х -з — оо, при отрицательных е модуль волновой функции экспоненциально возрастает при х — > со. Если к — чисто вещественное число, то модуль волновой функции является периодической функцией х.
Таким образом, ни при каких Й функция уЗ(х) не является квадратично интегрируемой. Уравнение (4.4) имеет вид уравнения на собственные числа и собственные функции оператора трансляции. Следовательно, дискретного спектра у оператора трансляции нет. Рассмотрим теперь функцию фз(х) из (4.6б). Покажем, что нн при каких Л эта функция не является ограниченной на всей оси х. Пействительно,повторяя операцию трансляции и раз,получаем Фз(х+па) = Л"фз(х) + пЛ '41(х). 77 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
