И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Проверим, остается ли справедливым этот результат при наличии внешнего однородного поля. Используя (7.3), получаем х.. == (Ф (х)!х!Ф.(х)) = (Ь К)!а( + хо!Ф К)) = хе, Таким образом, оператор О(Ь) аналогичен введенному в разд. 4.1 оператору трансляции, с тем отличием, что Т есть оператор сдвига на период а, а оператор 0(Ь) есть оператор сдвига на — хе. Поскольку б(Ь) есть оператор сдвига, формула (7.6) может быть записана в виде 7.3. Свойства осциллятора в однородном поле Таким образом, наличие внешнего однородного поля нс из- меняет среднего значения импульса осциллятора, но приво- дит к смешению среднего значения его координаты в точку яв = — Г/(таю).
В=дж„,= —, Я таю (7. 7) который равнялся нулю при отсутствии поля. Знание диполь- ного момента (7.7) позволяет нам рассмотреть линейный от- клик системы на воздействие внешнего электрического поля, характеризуемый элекгаричесной восприимчивостью (7.8) которая, как следует из формулы (7.8), всегда положительна вне зависимости от знака заряда д. Важно отметить, что с ростом частоты осциллятора ы (или энергии Е„) его восприимчивость к внешнему полю квэдратично стремиться к нулю. Этот факт легко обьясняется тем, что большие энергии (или частоты) соответствуют большому коэффициенту жесткости Й квазиупругой силы, поэтому полю все труднее деформировать осциллятор. 3. Вычислим средние значения кинетической и потенциальной энергии.
Лля среднего значения кинетической энергии имеем Ея = — = — — Ф„(т) — з Ф„(х) 2. Ло сих пор мы нигде не оговаривали природу однородного поля. В данном пункте под однородным полем будем понимать именно элекп1ричсскос поле: Р = дЕ, где д — заряд частицы, а с. — напряженность электрического поля. Наличие у заряженного гармонического осциллятора в однородном электрическом поле ненулевого среднего значения координаты соответствует появлению дипольного момента Глава 7. Ослнллятор в однородном поле. 4 -з 4 +г Фл-з — 4+з = — Ьа и+— Здесь мы воспользовались формулой (5.21).
Найдем среднее потенциальной энергии гармонического осциллятора в однородном попе. Получаем К(х) = — гол хз + Ех. 2 Среднее значение х„, уже было вычислено. Найдем х": *з. = (ф.(*)~*')ф.()) = ( .()И.+*.)') .()) = = (фаз) Ифя(х)) + 2хо(фп(хПя!фя(х)) + хо(ф *(я)1ф (з)) = = оз(ф„(~))~'ф„(()) + хез(ф,,~Ч+.яу = оя п + — + х~о. Здесь мы использовали результат п.З разд. 5.5. Следовательно, г(х) = глеы О (и+ ) + гпош хе+ гхо = 2 (, 2) 2 = — йь ~п+ -) +-Гхе. 2 ~, 2) 2 Таким образом, среднее значение кинетической энергии осциллятора в поле остается таким же, как и в случае отсутствия поля, а среднее значение потенциальной энергии получает добавку Рхе/2,которая и определяет изменение полной энергии гармонического осциллятора при наложении однородного поля. Список иллюстраций Рис.1 Потенциальная яма. Рис.2 Классическая плотность вероятности..
30 32 33 Зб 38 39 50 51 51 Рис.17 Прямоугольный потенциальный барьер Рис.18 Четное и нечетное решения для малой энергии (Е = 0 2 Ъо). Рис.19 Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для малой энергии (Е = 0.2 К>)....., ., Рис.20 Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для энергии вблизи вершины барьера (Е = 0 9 Ре)- б7 Рис.З Прямоугольная потенциальная яма.......,... Рис.4 Графическое решение уравнения (2.4). Рис.5 Графическое решение уравнения (2.7).
Рис.б Классическая плотность вероятности.......... Рис.7 Квантовая плотность вероятности. Первое четное состояние.................,...... 39 Рис.8 Квантовая плотность вероятности. Первое нечетное состояние. 39 Рис.9 Квантовая плотность вероятности. Яма малой ширины. 39 Рис.10 Прямоугольная потенциальная яма. Начало отсчета энергии сдвинуто на дно ямы............... 40 Рис.11 Квадрат амплитуды волновой функции внутри потенциальной ямы. Рис.12 Уровни энергии и их четность в прямоугольной потенциальной яме конечной и бесконечной глубины... Рис.13 Первый четный резонанс. Рис.14 Второй нечетный резонанс.
Рис.15 Волновые функции для энергии Е', лежащей между первым четным и вторым нечетным резонансами, 52 Рис.16 Волновая функция частицы в б-образной яме.... 54 Список иллюстраций 120 Рис.21 Зависимость коэффициентов прохождения Т и отражению Л от энергии частиц, налетаюших на потенциальный барьер Рис.22 Периодический потенциал из прямоугольных барьеров. Рис.23 Графическое решение уравнения (4.14). Рис.24 Спектр энергии частицы в одномерном периодическом потенциале. 82 87 Рис.29 Потенциальная и полная энергии системы в однородном поле. 105 Рис.30 Функция Эйри.
109 Рис.31 Относительные шютности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в данной точке х. 110 Рис.32 Потенциальная энергия гармонического осциллятора в однородном поле. 111 Рис.25 Потенциальная энергия гармонического осциллятора. 91 Рис.26 Основное состояние осциллятора........,... 103 Рис.27 Первое возбужденное состояние осциллятора.... 103 Рис.28 Высоковозбужленное состояние осциллятора.....
103 Предметный указатель А Амплитуда 47, 49, 52, 91, 108 — вынужденных колебаний 48 — — единичная 47, 63 В Волновал функция 42„67 — блоховская 78 — вещественная часть 67 — мнимая часть 67 — модуль 67, 76, 77 -- непрерывность 22 — нормировка 18, 19, 27, 78, 80 — скачок производной 55, 56 — сплошного спектра 22 — условия гладкого сшивания 29„34,35,37,42, 47,49,62,63,83 — фаза 20,64,97 Г Граничные условия 11, 12,35, 42, 81 — Дирихле 12 — Неймана 12 -- второго рода 12 — неоднородные 12, 14 — — однородные 12, 14 — первого рода 12 — периодические 14,17,81 — третьего рода 12 Гребенка Дирака 85 Л Дило ный мо~ен~ Г17 Дифференциальное уравнение 8,92, 98,106 — решение 9, 98, 106 — — — вещественное 10 — — единственность 12 — — линейно независимые 9,81 — — непрерывное 34 — — общее 34,41,47,65, 81 — — ограниченное 22, 73 — — тривиальное 9 — — частное 12 3 Задача — Коши 11, 12 — краснел 11, 12 — на собственные значения 16, 92,93 Зона 87 — — запрещенная 87, 89 — разрешенная 87, 89 И Интерференция 68 К Квант 95 Кинетическая энергия 27,30, 46 Коммутатор 72,93 Коэффициент 43 — жесткости 91, 111, Г17 — отражения 43, 45, 46, 65-69 122 Предметвый указатель — прохождения 43,45,46, 65- 69 Л Линейный отклик 117 М Модель Кронига — Пенни 85 Мощность 42, 52 — источника 42 — потенциальной ямы 52, 54 Б Надбарьерное отражение 70 Напряженность поля 105, Ш, 113,117 Начальные условия 11 Нулевые колебэ,ния 100 О Оператор — Гамильтона 7„71, 93 — — гармонического осциллятора 92, 99 — — — — собственные функции 96-99 — -- спектр 80,96,108 — антиэрмитовский 92, 114 — единичный 98 — импульса 19, 99, 106 — среднее значение 100, 102,116 —.- интегральный 8 — кинетической энергии 19 — — среднее значение 117 — координаты 99, 106 — — среднее значение 100, 102,116 — неограниченный 19 — — область определения 21 — обратный 72 — ограниченный 93 — потенциальной энергии 27, 93 — — среднее значение 118 — рождения 92, 96, 98, 113 — самосопряженное расширение 19 — симметричный 21 — трансляции 71, 72 — — явный вид 116 — умножения 7, 27, 106 — унитарный 72, 114 — уничтожения 92, 96, 113 — числа частиц 93 — — собственные функции 94,95,97 — — собственные числа 93 Определитель — Вронскою 10,12,44,81 — линейной системы 13, 14, 16, 17 Осциллятор гармонический 91,93, 96,99,100,102 — квантовый 100-102 — классический 100 — 102 П Плотность вероятности 23,30,31, 39,102 — квантовая 30,39,102,110 — классическая 30,32,39,102, 110 Плотность потока частиц 42 Плотность тока вероятности 42 Полиномы Эрмита 99 Потенциал 7 123 Предметный указатель --.
5-образный 53,84,85, 88 — — связанное состояние 53, 54 — нулевого радиуса 53 — ограниченный сверху 89 — ограниченный снизу 33, 61 — периодический 71, 82, 84, 85, 87 — четный ЗЗ Потенциальная яма -- прямоугольная 33, 53 — — бесконечно глубокая 40 Потенциальное поле 7,33,61, 91,105,111 — локальное 7,87,89 — нелокальное 8 Потенциальный барьер — — прямоугольный 61, 82 Преобразоваяие — Фурье 57, 59 — интегральное 57 — — ядро 57 -- линейное 96 — масштабное 91 — пслобия 115 — сдвига 115 Принцип — летального равновесия 43 — микроскопической обратимости 43 Р Резонанс 46, 48, 51,52, 70 С Сила 31, 48, 111, 117 Система линейных уравнений 13, 14 — однородная 14, 35, 81 Скорость 30,42,46,70,89, 109 Собственные функции 16,93— 96 — нечетные 25, 33,35, 37-39, 48-52,62,64 — ортогональныс 96, 99 — четные 25, 33, 35, 37, 39, 47, 48, 50-52, 62, 64 Собственные числа 16, 92 — вырожденные 24, 25 — наименьшее 94, 97 — положительно определенные 93 — целые 94 Соотношение неопределенности Гейзенберга 30, 102 Состояние в яме малого ралиуса 40 Спектр 25,80 — лискретный ЗЗ, 38„41, 76, 112 — зонный 87 — - непрерывный(сплошной) 23,33, 42,61,73,108 — ограниченный снизу 61,93 — эквидистаитный 96, 100, 112 Среднеквадратичное отклонение 101 Т Теорема — Блоха 78,80 — Грина 10,44, 81 — Коши 12, 13 — Крамера 14 — Флокс 73, 76 — Штурма 10 124 Предметный указатель — вириала 101 — сравнения 11 Тождество Бейкера — Хаусдорфа 114 Точка поворота 31, 91, 102, 105, 109, Ш Трансцендентное уравнение 35,38, 85 — графическое 36,38, 86 Туннельный эффект 70 Ъ' Уравнение Шредингера 7, 71 — стационарное ЗЗ, 34, 61, 62, 91,105,111 — — в импульсном представлении 57, 58, 106 — — в координатном представлении 55, 106 — — с сингулярным потенциалом 55 Ф Фундаментальная система 34,41,47, 65 — нормальная 12, 81 Функция — Эйри 107, 108 — от оператора 93 Ч Частота 48, 108, 117 — вынуждающей силы 48 — круговая 91, 111 — собственнел 48 Э Электрическая восприимчивость 117 Литература 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
