И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике (1129333), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Здесь имеется несколько вариантов в зависимости от того, является матрица Г сингулярной или нет и являются граничные условия олнородными или нет. Глава 1. Одномерное движение условий это единственное решение представляет собой тривиальное решение А = О, В = О. Таким образом, в рассматриваемом случае нетривиальное регпенис уравнения (1.2) с граничными условиями (1.6) или (1.7) сушествует только для неоднородных граничных условий, и это решение единственное. 15. Пусть матрица Г сингулярна (Ь = О), и более того пусть матрица Г нулевая.
Такое может быль в том случае, когда обе функции фундаментальной системы удовлетворяют однородным граничным условиям. Примером является уравнение с постоянным потенциалом г'(и) = гэ и периодическими граничными условиями гу(тг) = ф(т1), ф'(тг) = ф'(т1) (частный случай граничных условий (1.7)). Если матрица Г нулевая, а граничные условия неоднородны, то система (1.8) решений не имеет, а следовательно, и уравнение (1.2) с неоднородными граничными условиями решения не имеет. Если граничные условия однородны, то каждое из уравнений системы (1.8) является тождеством 0 = О, и коэффициенты А и В полностью произвольны.
Следовательно, уравнение (1.2) с однородными граничными условиями имеет два линейно независимых решения, в качестве которых можно взять функции фундаментальной системы. 16. Пусть матрица Г сингулярна (Ь = 0), но не нулевая. В частности, матрица Г будет ненулевой в случае граничных условий (1.6).
Если граничные условия однородны(С1 = О, Сг = 0), то система (1.8) также является однородной и обладает бесконечным множеством решений. Однако все эти решения имеют специальный вид. Вследствие равенства нулю определителя Л = 711722 — 712721 = 0 имеют место равенства 722 (711 '1 + 71 2 В) = 71 2 (721 А + 722 В), 721(7ц А + 712 В) = 711 (721 А + 722 В) . Эти равенства означают, что (1.10) 7цА+712В = р (умА+722В) О 1. Линейные дифференциальные уравнения при любых А и В.
Здесь д есть константа, играющая роль коэффициента пропорциональности. Если все четыре матричных элемента 7,ь отличны от нуля, то написанные выше равенства дают один и тот же коэффициент пропорциональности д. Если же отлична от нуля только одна пара матричных элементов (7ы, 7ы или 7гг, 77г), то коэффициент пропорциональности д определяется одним из написанных вылив равенств, а второе является тождеством 0 = О. Легко проверить, что других вариантов нет. В результате указанной про1юрционвльности каждое из уравнений (1.8а) и (1.8б) есть следствие другого, и если величины А и В найти, решая одно из этих уравнений, например, уравнение (1.8а) уыА+7ггВ =- О, то второе уравнение, в данном случае уравнение (1.86), будет выполнено автоматически.
Поскольку две неизвестные величины А и В должны удовлетворять одному линейному однородному уравнению, то они определяются не однозначно, а с точностью до произвольного множителя. Следовательно, в рассматриваемом случае уравнение (1.2) с граничными условиями (1.6) или (1.7) имеет бесконечно много решений. Все эти решения пропорциональны друг другу, т.е. они образуют одномерное функциональное пространство. 17. Если матрица Г сингулярна (Ь = 0),но не нулевая и граничные условия являются неоднородными, то система (1.8) также является неоднородной и у нее либо нет решений, либо существует бесконечное множество решений. В рассматриваемом случае соотношение пропорциональности (1.
10) по-прежнему имеет место. Следовательно, если не выполнено равенство Сг =- дСг, то система (1.8) оказывается несовместной и не имеет решений. Если же это равенство выполняется, то, как и в предыдущем случае, каждое из уравнений (1.8а) и (1.86) является следствием другого и для нахождения А и В необходимо рассматривать только одно из уравнений, например, (1.8а): 7ыА + 7ггВ = Сы Рлава 1. Одномерное движение Таким образом, и здесь две неизвестные величины А и В подчинены одному линейному уравнению. Следовательно, в рассматриваемом случае уравнение (1.2) с граничными условиями (1.6) или (1.7) имеет бесконечное множество решений.
Все эти решения образуют одномерное функциональное пространство. Задача на собственные значения Ло сих пор мы рассматривали решения дифференциального уравнении (1.2), поскольку именно такой вид имеет уравнение Шредингера для стационарных состояний в одномерном случае. При этом мы считали коэффициенты Рг(т) и Рз(т), входящие в уравнение (1.2), заданными функциями. Однако уравнение Шредингера это не просто дифференциальное уравнение, а уравнение для волновой функции. На волнову|о функцию из физических соображений накладываются некоторые дополнительные условия, которые в одномерном случае можно сформулировать в виде однородных граничных условий (1.6) или (1.7) (см.
следующий раздел). Как мы видели, уравнение (1.2) с однородными граничными условиями имеет нетривиальное решение только если определитель Ь обращается в нуль. В то же время в уравнение Шредингера входит энергия Е, которая заранее не определена. Изменяя Е, можно подобрать такие значения Еь, при которых определитель сз обращается в нуль, и, следовательно, соответствующие этим Еь решения 1гь удовлетворяют необходимым дополнительным условиям. Такие Ея и фь называются собственными значениямв (собствеанььми числама) и собстпвенныли функвиквв уравнения Шредингера. Если одному и тому же Еь соответствует несколько линейно независимых решений, то говорят, что собственное число Еь является вьцюждевнмм, а число соответствующих линейно независимых решений называется храглностью вырождения.
Аналогичная задача в теории обыкновенных дифференциальных уравнений называется задачей Штурма — Лиувилля, которая в применении к нашему случаю состоит в исследовании решений уравне- ния К1. Линейные дифференциальные уравнения с однородными граничными условиями а14'(хг) + Дф'(хг) = О, агф(хг) + ргф'(хг) = О, (1.116) или аыф(х1) + ашф (хг) + агзф(хг) + аыф (хг) = О, аггф(хг) + аггф(хз) + агзф(хг) + аг4ф (хг) = О, где интервал [хыхг] может быть конечным или бесконечным. Как правило, в задаче Штурма — Лиувилля рассматриваются вещественные решения. Возьмем конечный интервал (хм хе). Результаты для бесконечного интервала могут быть получены путем соответствующего предельного перехода.
18. В соответствии со сказанным в и. 14 — 16 уравнение (1.11а) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее однородным граничным условиям (1.116) или (1.11в), только если определитель Ь матрицы Г (1.9) равен нулю. Зафиксировав некоторое значение Е, можно найти фундаментальную систему ~рм дг, вычислить матричные элементы 7, (1.9) и определитель Ь. Повторяя эти вычисления при разных значениях Е, мы получаем функцию Ь(Е).
Тогда собственные числа будут решениями уравнения Ь(Е) = О. Для каждого собственного числа Бь собственные функции образуют одномерное илн двумерное функциональное пространство. Поэтому собственные числа задачи (1.11) либо невырождены, либо двукратно вырождены.
В случае граничных условий (1.116) все собственные чигла являются невырожденными. Однако при использовании граничных условий (1.11в) уравнение Штурма — Лиувилля может иметь дважды вырожденные собственные числа. Примером является уравнение с постоянным потенциалом Ъ'(х) = ре и периодическими граничными условиями ф(хг) = ф(хг)~ ф (хг) = ф (хз). 19. Расстояние между любыми соседними собственными числами уравнения Штурма — Лиувилля конечно (не бесконечно мало), Глава 1.
Одномерное движение т. е, спектр является чисто дискретным (напомннм, что здесь рассматривается интервал [тм тз[ конечной длины). 20. Спектр ограничен снизу (для интервала конечной длины), но не ограничен сверху. 21. Собственная функция„оютветствующая наименьшему собственному числу„не имеет нулей внутри интервала (хм хе). Нули могут быть только на границах интервала (если того требуют граничные условия).
22. Вследствие однородности уравнения и граничных условий в качестве собственных функций можно выбрать функции, нормированные на единицу: 23. Собственные функции ф, н фу, принадлежащие разным собственным числам Е, ф Е„ортогональны 24. Будем увеличивать длину интервала [хы хз[, которую обозначим д, и предположим, что при этом потенциальная энергия остается ограниченной сверху: р'(т) < ~о, 'ут с [хз,яя[, причем верхняя граница $е потенциала не зависит ни от хы ни от хз.
Тогда при увеличении д расстояние Еяез — Еь между соседними высоковозбужденнымн уровнями Ея >) Ц будет убывать обратно пропорционально и'. Это означает, что если мы ставим граничные условия на интервале бесконечной длины, то у частицы спектр энергий может быть сплошным частично нли гюлностью. В следующем разделе мы рассмотрим условия, накладываемые на волновую функцию исходя из физических особенностей рассматриваемой задачи. О2.
Волновая функция 1.2. Волноваа функния В квантовой механике на волновую функцию ф(х) из физических соображений нахладываются дополнительные условия. Во-первых, гюскольку квадрат модуля волновой функции в точке х имеет смысл плотности вероятности найти частицу в этой точке, то волновая функция должна быть нормируемой (интегрируемой с квадратом модуля). В глучве бесконечного интервала †< х < со для сходи- мости нормировочного интеграла волновая функция должна стремиться к нулю, причем достаточно быстро, при стремлении (х( к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
