И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике, страница 10

Энергия ниже высоты барьера Рассмотрим значения энергии в интервале О < Е < Рш Введем обозначения т'2тао 2тио й=~ — — Е )О ст= — ($'о — Е) >О (3.2) '1' й \ ттг 7 где, как и раньше, берется арифметическое значение квадратного корня. Эту задачу можно решать так, как это было сделано для прямоугольной потенциальной ямы, заменив те -э — (то. При этом можно использовать прежнее значение параметра (,> 2 а Однако полезно рассмотреть эту задачу по-другому (получив, конечно, те же самые результаты).

Будем искать решение не в виде бегущих волн (падаюшей, прошедшей и отраженной), а в виде четного ту+ и нечетного ут решения (аналогично тому, как это было сделано в разд. 2.2). При этом мы выберем общий множитель так, фт(-а) = тттг(-а), фг( — а) = фг( — а), Фг(а) = Фз(а), (3.1) фг(а) = фз(а). 63 3.2. Энергия ниже высоты барьера чтобы амплитуды решений в областях 1 и 1П были равны единице. Запихнем такие решения с помощью тригонометрических и гиперболических функций: сов(йх — ц+), х 6 1, А ей ох, хб П„ Ф+(х) = соя(йх + и+), х 6 П1, — сов(кх — и ), х 6 1, Ввйах, х6П, ф (х) = соя(йх+г1 ), х61П- Условия сшивания (3.1) теперь можно рассматривать только в одной точке, например а, во второй точке (-а) условия сшивания будут выполнены автоматически благодаря симметрии.

Лля четных решений (З.З) мы получаем систему уравнений А сЬаа= соя(йа+ц+), аА яЬаа= — йвш(йа+г1+). Леля обе части второго уравнения на Й, возводя почленно каждое уравнение в квадрат и складывая, приходим к уравнению г А ~сЬ па+ — вЬ иа = 1 г/ ьг 1 где, согласно формулам (3.2), коэффициент при гиперболическом си- нусе связан с энергией Е: аг 'к' — = — — 1. йг Е С учетом этого равенства, выражение для амплитуды А запишется в анде 1 А= 1+ — вЬ аа 10 г Е где по-прежнему берется арифметическое значение корня, А > О. (Это уравнение можно полу чить из уравнения (2.13), если в последнем совершить замену Ре — з — Ъ'я.

Тогда и -+ 1а, и яшма -з 1в1з па.) Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер,."', Леля почленно второе уравнение системы на первое, находим урав-:„ нение для фазы а зЬаа Фб(йо+ и+) =— к ойаа откуда фазу и+ можно выразить элементарно. Аналогично для нечетного решения (З.З) можно написать свою систему уравнений: В з1заа= соз(йо+з1 ), аВ сй ао = — й з1п(йа+ и ).

Отсюда В 1 — сЬ аа — 1 Я асЬ аа Мй +1-) =-„„ кзЬаа Таким способом можно найти четное и нечетное решения для любой энергии, не превышающей высоту потенциального барьера. Ф- ф+ у)(х) Рис. 18. Четное и нечетное решения лля малой энергии (В = 0.2 'го). В качестве примера на рис. 18 показаны графики четного (толстая линия) и нечетного (тонкая линия) решений для барьера с парамет1юм Я = 0.5 и для энергии частицы Е = 0.2 Ъш Вертикальные пунктирные линии соответствуют границам барьера. 3.2.

Энергия ниже высоты барьера Найденные четное и нечетное решения являются линейно независимыми, т.е. они образуют фундаментальную систему, и общее решение ф(х) уравнения Шредингера для данной энергии Е можно представить в виде линейной комбинации четного и нечетного решений: ф(х) = С~.ф~.(х) + С ф (х). Лля анализа туннельного эффекта, надбарьерного отражения в резонансов удобно использовать коэффициенты прохождения Т (2.13) и отражения В (2.12). Однако последние были введены в разд. 2.2 с использованием базиса бегущих волн (пэдающей, прошедшей и отраженной). Покажем как Л и Т можно получить с помошью четного ф+(х) и нечетного ф (х) решений.

Лля этого выразим косинусы через экспоненты, представим функцию ф(х) в областях 1 и П1 в виде Рг е'вв + Сг е '~', ф(х) = Езееа + Сзе '", х еП1, где е-*я+ — С е-'в-) е'"+ — С е'"-), е'"+ + С е"'-), Сз = — — (Сее '"+ + С е 'Я ) 1 2 Если положить Рз — —. 1 и Сз —— О, т.е., если С е' "'+ — С е *"- = 2, + С е'"+.+С е Я-=О, + мы получим волновую функцию, описываюшую процесс рассеяния частиц, налетающих на барьер слева.

При этом ~Рз(~ задает коэффициент прохождения, а ~С~ ~з -- коэффициент отражения. Система Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер уравнений относительно коэффициентов С+ и С легко решается и ,' дает С = е'"+, + — езв— Таким образом, получаем Представляя фазы ц+ и б в виде 2г1+ — — (г1+ + и ) + (и+ — и ), 2б- = (1++и-) — (ц+ — Ч-), преобразуем выражения для коэффициентов Сг и Рз к виду У~ = 1ей"++" 1вш(г1+ — ц ). С1 —— — е'~"+~в-~ сов(г1+ — и ), Вычислим сначала в1п(п+ — и ).

Обозначая ~р+ — — йа + г1+, и используя условия сшивания, нахюдим в1п(г1+ — и ) = в)п(~р+ — у ) = вшу+сов1р — сову+ в1п~р = — АВ( — вЬ па+ей оа) = — АВ. о г г к к Используя выражении для А и В, получаем коэффициент прохожде- ния 1 7 = )рз)г = —, 1+ р' где Преобразуя аналогично сов(г1+ — и ), получаем коэффициент отра- жения В=)С(г= р 1+ р Сз = — — (е '"' + ег*"-), 1 2 Иг 4Е(Ъо — Е) гз (егьз+ ег'в ) 1 2 3.2. Энергия ниже высоты б рьера Эти выражения для Т и В можно получить из формул для коэффициентов прохождения и отражения частицы, налетающей на прямоугольную потенциальную яму, если в последних заменить 1е на — Уо.

Проанализируем зависимость от энергии коэффициентов отражения и прохождения, которая определяется величиной р. Мы видим, что для тех энергий, которые больше нуля, но не превосходят высоты потенциального барьера, р не обращается в нуль и при увеличении энергии монотонно убывает. При Е стремящемся к нулю р стремится к бесконечности из-за множителя Е, стоящего в знаменателе.

Следовательно, при уменьшении энергии коэффициент отражения возрастает и стремится к единице, а коэффициент прохождения убывает и стремится к нулю. При возрастании энергии р монотонно убывает. При стремлении Е к Ъе возникает неопределенность, раскрывал которую находим, что р стремится к конечному пределу, равному О.

Таким образом, при увеличении энергии коэффициент отражения монотонно убывает, а коэффициент прохождения монотонно возрастает. Кроме коэффициентов отражения и прохождения полезно рассмотреть и саму волновую функцию. На рис. 19 для барьера с 1~ = 0.5 и для энергии Е = 0.2 К~ (тот же вариант, что и на рис. 18) показана вещественная часть волновой функции ф(х) (тонкая сплошная линия), мнимая часть волновой функции (точечная линия) и модуль функции (жирная сплошная линия). ф ф(х) Рис.

19. Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для малой энергии (Е = 0.2 Уа). Из этого рисунка видно, что при малых энергиях частица находится, главным образом, слева от барьера. Именно там велик модуль волновой функции, где последняя представляет собой интерферен- Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер цию падающей и отраженной волн При увеличении энергии модуль волновой функции слева от барьера уменыпается, а справа от барьера возрастает, что соответствует увеличению коэффициента прохождения.

Это хорошо видно на рис. 20, где рассмотрен тот же самый барьер, что и на. рис. 19, но энергия частицы равна 0.91о. !Ф! Ф(*) Рис. 20. Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль лля энергии вблизи вершины барьера (Л = 0.9 го). Внутри потенциального барьера (физически запрещенная область) модуль волновой функции экспоненциально затухает (см. рис.

19 и рис. 20), однако в нуль не обращается даже для самых маленьких энергий. Таким образом, для квантовой частицы существует не нулевая вероятность прохождения сквозь барьер. 3.3. Энергия выше высоты барьера Теперь рассмотрим тот случай, когда энергия Е больше, чем высота барьера Ц.

Здесь мы можем непосредственно использовать формулы, найденные для потенциальной ямы в случае положительных энергий, конечно, с заменой Ъ'е на — 14. А именно, вводя обозначения запишем волновую функцию в виде З.Х Энергия вьцце высоты барьера ф~(х) = Аз е'"' + Вз е ы*, фз(х) = Аз е' + Вз е '"*, фз(я) =Аз е'~' + Взе '"' и найдем коэффициенты отражения В и прохождения Т 1 Т = 1+ р' В = 1+ р' где з ьз)з р = э1п 2иа. 1.0 резонансы Рис.

21. Зависимость коэффициентов прохожцеиия У и отражения Л от энергии частиц, налетающих ца потенциальный барьер. Вертикальная пунктирная линия показывает положение вершины потенциального барьера. При энергии ниже высоты барьера коэффициенты В и У ведут себя монотонно. Однако при энергии выше Таким образом, мы знаем коэффициенты отражения и прохожде- ния при всех положительных энергиях. Их графики лля барьера с Я = 1.75к изображены на рис.

21. 70 Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер высоты барьера наблюдаются осцилляции, и при некоторых значениях энергии коэффициент отражения оказывается равен нулю, т.е. барьер полностью прозрачен для частиц с такой энергией. Эти значения энергии лредставляюх собой резонансные уровни, аналогичные тем, которые наблюдалнсь в прямоугольной потенциальной яме. 3.4. Сравнение движения квантовой и классической частиц 1.