И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике, страница 5

Рассмотрим обе возможности: а) уровень Е не вырожден. В этом случае функция ф( — х) может лишь множителем отличаться от функции ф(х): ф( — х) = Сф(х). Изменяя в этом равенстве знак у х, получаем Их) = СФ(-х). Следовательно, ф(х) = Сзф(х), С =1, С =х1. Это означает, что собственная функция оператора Й есть либо четная функция х: И-х) = Хх) либо нечетная функция х: Ф( — *) — — Ф(х); б) уровень двукратно вырожден.

Если найденное решение таково, что ф(х) и 9( — х) линейно зависимы, то мы приходим с случаю а). Если же ф(х) и ф( — х) линейно независимы, то любая их линейная комбинация, в частности, их сумма или разность, является нетривиальным решением уравнения (1.15), т.е. собственной функцией оператора Й.

При этом ф(х) + ф( — х) — четная функция х, ф(х) — ф( — х) — нечетная функция х. 1.4. Энергетический спектр 25 Таким образом, при наличии инверсии собственные функции оператора Гамильтона либо автоматически имеют определенную четнссть, либо могут быть преобразованы в функции, имеюгцие определенную четность. Во всяком случае, собственные функции всегда можно искать в виде функций, имеющих определенную четность. В частности, можно решать уравнение лишь на половине интервала, например, (О, хг), а решение на оставшейся части интервала ( — хг, О) находить с помощью симметрии, строя либо четное решение, если ф(0) ф О, либо нечетное, если ф(0) = О.

1.4. Энергетический спектр Рассмотрим стационарные состояния частицы, которая может двигаться в бесконечном интервале — со < х < оо: ьг дг — — — ф(х) + Ъ'(х)ф(х) = Еф(х). (1.17) 2пга дхг Предположим, что потенциал Ъ'(х) не сингулярен, но может иметь конечное число разрывов первого рода.

Раз потенциал не сингулярен, он может обращаться в бесконечность только при х -э хоо. Обозначим наименьшее из Р'( — со) и Ъ'(со) через Ъ', а наибольшее через У+. Пусть Ъ" = — оо. В этом случае у задачи нет дискретного спектра. Спектр чисто сплошной и занимает всю ось энергий от — со до +со. Чтобы показать это, воспользуемся теоремой сравнения (и. 11 разд.

1.1). Сравним решение ф(х) уравнения (1.17), которое запишем в виде Ф + Ог(х)Ф = О, 0г(х) = — (Š— ~'(х)), с решением ф(х) уравнения ф" + (~г(х)ф = О, Яг(х) = 1. Предположим для определенности, что потенциал стремится к — оо только справа, т.е. при х -+ сю.

Тогда для любого Е < О можно найти такое х+, что бг Ъ'(х) < Š— —, если х > х+. 2пга Глава 1. Одномерное движение Таким образом, при х > х ь справедливо следующее неравенство: (',1з(х) > (~~(х), и из теоремы сравнения (п. 11 разд. 1.1) следует, что между двумя нулями функции ф(х), расположенными при х > х+, будет находиться, по крайней мере, один нуль функции ф(х), причем независимо от выбора частных решений ф(х) и ф(х) при рассматриваемом значении Е. Возьмем конкретное частное решение ф(х) = з(лх. Число нулей этого решения, расположенных правее х+, бесконечно велико.

Следовательно, любое решение ф(х) также имеет бесконечное число нулей. Однако волновал функция, соответствующая первому (наинизшему) дискретному уровню энергии, не должна иметь нулей при конечных х (и. 21 разд. 1.1), она обращается в нуль только при х -+ хоо. Следовательно, в рассматриваемом случае не существует ни одного дискретного уровня энергии.

В то же самое время если нулевые граничные условия поставлены при любых, сколь угодно больших по абсолютной величине, но конечных значениях хз и хз, то существует бесконечно много дискретных уровней энергии (п. 20 разд. 1.1). Расстояние между соседними уровнями уменьшается при увеличении длины интервала [хм ха), и при хз -+ — оо, хз -+ +со дискретный спектр перейдет в сплошной спектр„заполняющий всю вещественную ось энергий.

Палее мы будем рассматривать тот случай, когда величина У конечна. В этом случае потенциал К(х) ограничен снизу: (х) > Кпы ~ Отметиъа что г' и Ъ'„,м, вообще говоря, не совпадают. Вследствие ограниченности потенциала энергетический спектр частицы также ограничен снизу величиной К .„. Лействительно, энергия частицы в состоянии, описываемом волновой функцией Ф(х), есть сумма кинетической 1 4. Энергетический спектр и потенциальной Ея = Ф*(х) Г(х)ф(х) пх энергии. Здесь предполагается, что волновая функция нормирована на единицу: ~Ф(хнз(1х =.

1. Рассматривая кинетическую энергию, беря интеграл по частям и учитывая, что внеинтегральный член обращается в нуль, получаем Поскольку оператор потенциальной энергии есть оператор умноже- ния, для потенциальной энергии можно написать Е„= Мх)~зт/(х)с(х > Р' ь, !ф(х)12бх = 1мм, так как волновая функция нормирована на единицу. Таким образом, Е = Еь + Е, > 1г;„. Покажем теперь, что при Е > Ъ' существует только сплошной спектр. Предположим для простоты, что г' соответствует правой границе, т.е. К(х) -+ Ь' при х — ~ со. Тогда при больших т в уравнении (1.17) можно заменить К(х) на его предельное значение Ъ' и получить фя( ) + 'ах) = б, = †...'(Š— 1'-) > Здесь под корнем стоит положительная величина и берется арифметическое значение корня. Общее решение этого уравнения имеет вид ф(х) = Аэш(мх) + В соя(мх) Глава 1.

Одномерное движение 28 с произвольными коэффициентами А и В. Никаким выбором коэффициентов А и В нельзя получить квадратично интегрируемое решение, следовательно, при Е > У точек дискретного спектра нет. В то же время при любом Е > У решение остается ограниченным при х -+ оо. Это указывает на то, что каждое Е > У является точ- '!. кой сплошного спектра. Более аккуратно это можно показать, поставив нулевые граничные условия на конечном интервале и устремив границы интервала к со и — оо.

Лискретный спектр может существовать только при Е < У . Лля таких значений Е уравнение (1.17) при х -г оо может быть записало в виде гр"1х) — о~ф(х) = О, а = — (У вЂ” Е) > О. лг Здесь под корнем опять стоит положительная величина и берется арифметическое значение корня. Обшее решение этого уравнения имеет вид у)(х) = Аге *+ В1е ", х — >со.

Отсюда видно, что сушествует решение экспоненциально убывающее справа, т. е. при х -+ оо. Оно получается, если положить А1 = О. Аналогично при х -+ — оо уравнение (1.17) может быть записано в виде Фн(х) — р'41х) = О, Р = 2„, (у — Е) >О. Поскольку Уе > У, под корнем стоит также положительная вели- чина. Общее решение этого уравнения имеет вид 4(х) = Агед* + Вге н~, г: -г — со. Решение, экспоненциально убывающее слева 1при х -> — оо), получается, если положить Вг = О. Если можно найти такое значение Е, при котором решение, экспоненциально убываюгцее слева непрерывно и гладко (с непрерывной производной) перейдет в решение, экспоненциально убывающее справа„то при данном Е сушсствует квадратично интегрируемое решение уравнения (1.17), следовательно, это значение 1.5. Сравнение движения кввнтсяюй в классической частиц 29 Е соответствует точке дискретного спектра энергии.

Существуют лн дискретные уровни энергии для рассматриваемого потенциала У(я) и если существуют, то каково их число, определяется конкретным поведением потенциала У(х) на всей оси х. В частности, если Уы„= У, т.е. если У(х) > У, то дискретных уровней в таком потенциале нет. Действительно, для любой квадратично интегрируемой функции значение энергии не может быть меньше У, так как значение кинетической энергии положительно, а значение потенциальной энергии в этом потенциале не меньше У . Для существования дискретного уровня энергии необходимо, чтобы наименьшее значение потенциала У -,„было строго меньше его предельных значений У( — со) и У(со).

Если это услсвие выполнено, то независимо от вида потенциала в нем существует хотя бы одно связанное состояние (существуют квадратично интегрируемая волновая функция и соответствующий ей дискретный уровень энергии). В этом состоит особенность одномерной задачи. В трехмерном случае для того, чтобы в потенциальной яме появилось связанное состояние, яма должна быть достаточно большой. Число дискретных уровней энергии определяется тем, как потенциал У(х) стремится к своему предельному значению У . Если он стремится к У сверху или если он стремится к У снизу, но разность У(х) — У убывает быстрее чем 1/кз, то число уровней дискретного спектра конечно.

Если У(я) стремится к У снизу и разность У(я) — У убывает не быстрее чем 1/хз, то число уровней дискретного спектра бесконечно велико. Так„например, обстоит дело в случае потенциала, который на больших расстояниях ведет себя как потенциал притяжения и убывает по кулоновскому закону. 1 5 Сравнение движения квантовой и классической частиц Движение классической частицы мы описываем с помощью траекторий, а квантовой частицы — с помощью волновой функции. Вследствие соотношения неопределенноси Гейзенберга у квантовой частицы нет траектории. Тем не менее мы можем и квантовую, и классическую частицы описывать в одних и тех же терминах, поскольку для классической частицы можно ввести понятие плопзности вероятности найти частицу в данной точке, т.

е. понятие, кото- Глава 1. Одномерное движение рое является естествеш|ым для квантовой частицы. Таким образом, мы можем сравнивать, как зависит от координаты х плотность ве- роятности обнаружения классической частицы р„„(х) и квантовой частицы р (х)- Исследуем движение классической частицы с полной энергией Е, в потенциальной яме, изображенной на рис. 1. Частица будет совершать колебания между двумя точками х1 и хэ.

Э'ги колебания будут периодическими, хотя в общем случае они не будут гармоническими. Рассмотрим частицу, находящуюся в некоторой точке х внутри ямы, справа от точки минимума потенциальной энергии, как показано на рис. 1. И(х) 0 х1 Рис. 1. Потенциальная яма. Полная энергия частицы есть сумма кинетической и потенциальной энергии: я = яь + яя = — 'й( ) + р ( ). 2 Отсюда мы находим абсолютную величину скорости частицы Гг и(х) = ~/ — (Е- р'(х)). то Пусть скорость положительна и частица движется слева направо. По мере приближения к точке хз потенциальная энергия возрастает, а кинетическая энергия и скорость частицы уменьшаются покуда частица не достигнет точки хэ, где ее скорость обратится в нуль.