И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике, страница 2

2та Коэффициент Р; зависит от х через потенциальную энергию У(х) и содержит вещественный параметр Е (полную энергию). Каждому фиксированному значению параметра Е соответствует свое дифференциальное уравнение. Непрерывность коэффициента Рз означает, что потезщиал )г(х) не имеет особых точек внутри интервала (хь хз], сингулярности потенциала, если они существуют, могут быть только на концах интервала. Далее мы кратко опишем те свойства и особенности решения дифференциальною уравнении (1.2), которые нам понадобятся при решении одномерного уравнения Шредингера (1.1).

1.1. Линейные дифференциальные уравнения Свойства линейного дифференциального уравнения второго порядка и его решений 1. У уравнения (1.2) существует бесконечное множество решений. В силу однородности уравнения (1.2) одним из решений является тривиальное решение: ф(х) = О. В дальнейшем мы будем рассматривать только нетривиальные решения. 2. В силу линейности уравнения (1.2) любая линейная комбинация его решений так же является решением. 3. Напомним, что функции ~р1 (х),..., 1о„(х) называются линеино независимыми, если равенство Сздг(х) + Се~72(х) + ' '+ Снами(х) = О имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты в нем равны нулю; С = С =".= С„=О.

4. Из множества решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка всегда можно выбрать два линейно независимых решения, г. три любых его решения дг(х), уз(х), ~рз(х) обязательно оказываются линейно зависимыми: Сгюрд(х) + Сз~рз(х) + Сзсрз(х) = О, Сз ф О, Сз ф О, Сз ~ О. 5.

Из и. 4 следует, что если у1(х) и срз(х) есть два лннейнонезависимых решения уравнения (1.2), то функция ф(х) = Ар1 (х) + В~рз(х) (1.3) при любых значениях коэффициентов А и В является решением уравнения (1.2), и, наоборот, любое решение уравнения (1.2) может быть представлено в виде (1.3). Решение уравнения (1.2), записанное в виде (1.3) с произвольными коэффициентами А и В, принято называть общим решением. Любое конкретное решение, соответствующее определенным значениям коэффициентов А и В, принято называть частным решением. Глава 1.

Одномерное движение б. Совокупность двух линейно независимых решений уг(х) и рг(х) уравнения (1.2) называется фундаментальной саспгемов. Очевидно, что фуццаментальную систему можно выбрать бесконечным пылом способов, и переход от одной фундаментальной системы (рг(х), уг(х)) к другой (Згг(х), фг(х)) осугцествпяется с помощью линейного преобразования с несингулярной матрицей 5. 7. Определитель Вронского, составленный из функций фундаментальной системы и их производных первого порядка И'(х) = с1е$[ ]'Р1(х) 'Р2(х) является в общем случае функцией х.

Определитель Вронского фундаментальной системы не обращается в нуль ни в одной точке внутри интервала [хм хг]: И'(х) ф О Чх с (хмхг)- Я. Теорема Грина. Если в уравнении (1.2) коэффициент при первой производной равен нулю во всех точках интервала [хм хг], то значение определителя Вронского не зависит от тсвгки в которой оно вычислено (т.е. равно константе, отличной от нуля): И" (х) =:- сонями ф О Кт.

В уравнении (1.2) Р, (х) = О, и условие теоремы Грина выпол- нено. 9. Из вещественности коэффициентов уравнения (1.2) следует, что в качестве фундаментальной системы решений можно всегда выбрать систему вещесгавеииых частных решений. 10. Теорема Шгпума. Рассмотрим вещественные решения ф(х) уравнения (1.2). Если х, и хыа представляют собой два последовательных нуля какого-нибудь 1>ешения фг (х) этого уравнения, то у любого другого решения Фг (х), линейно независимого с фг(х), существует в точности один нуль между х, и х, ~ы 1.1. Линейные дифференциальные урэлнення 11.

Теорема сравнения. Рассмотрим два однородных уравнения фг' + (,)г(х)Фд = О, грг + 1)г(х)грг = 0 и их вещественные решения. Если Яг(х) > Яг(х) на интервале (а, 6), то между двумя нулями тобаго решения первого уравнения в этом интервале найдется, по крайней мере, один нуль каждого решения второго уравнения. )1ифференциальное уравнение (1.2) имеет бесконечное множество решений.

Однако чаще всего из физической задачи следует не только дифференциальное уравнение, но также и некоторые дополнительные требования, которым должно удовлетворять решение уравнения. Наиболее естественно формулировать эти дополнительные требования в виде условий, накладываемых на коэффициенты А к В общего решения (1.3) уравнения (1.2).

Поскольку в (1.3) имеется два произвольных коэффициента, то, чтобы получить определенное решение, необходимо наложить два дополнительных условия. Обычно различают два способа задания дополнительных условий в зависимости от того, в одной или разных точках интервала (хмхг) они поставлены: а) оба условия налагаются на общее решение дифференциального уравнения в одной точке хз., такие условия называются начальными условиями, а отыскание частного решения удовлетворяющего начальным условиям называется задачей Коши; б) можно условия наложить в двух точках хы хг, такие условия называются граничными условиями, а задача решения дифференциального уравнения с граничными условиями называется краевои задачей, Задача Коши Наложим на решение уравнения (1.2) в точке х| начальные условия вида уз(хз) = Сы гй'(хз) = Сг.

(1.4) 12. Если коэффициенты уравнения удовлетворяют весьма слабым условиям (так называемым условиям Липшица), то задача Коши всегда имеет решение, причем единственное (теорема Глава 1. Одномерное движение !2 Коти). Если решение 4(х) изобразить в виде кривой на плоскости (х, ф), то высказанное утверждение означает, что через выбранную точку (хы Сд) плоскости проходит одна и только одна кривая г.

заданным наклоном к оси х (тангенс угла наклона равен Сг). 13. Из теоремы Коши следует, что среди всего многообразия фунпаментапьных систем существует такая, функции ~рз(х) и аког(х) которой удовлетворяют условиям ~рз(хь) = 1, уьг(. г) = О, р~(х ) = О, р'(х ) = 1. (1.6) Такая фундаментальная система называется нормальней йЗрндоментвльной системой. Она является наиболее удобной для использования. Очевидно, что определитель Вронского нормальной фундаментальной системы в точке х1 равен единице: ~уз(хз) дг(х~)~ ~дз(хз) 1вг(хь)~ Краевая задача Наложим на решение уравнения (1.2) граничные условию, т.е.

в двух точках х1 и хг наложим условия вида аз4(хз) + Дф'(хз) = См агф(хг) + Щ/(хг) = Сг, (1.6) аыФ(хз) + азгф'(хг) + аьзф(хг) + агля'(хг) = См аюф(хз) + агФ'(хь) + аггее(хг) + агльь'(хг) = Сг. где хотя бы одна из констант ам Д б С и хотя бы одна из констант аг, (3г Е з.', отлична от нуля. Если константы Сз —— Сг = О, то граничные условия называются однородными, в противном случае — - неоднородными. Граничные условия с Д =,бг = О называются условиями первоео родо (условиями Лирихле), граничные условия с аь —— - аг — — О называются условиями второго родо (условиями Неймана). Обцше условия вида (1.6) еще называют условиями трегвьего рода. В некоторых случаях граничные условия ставятся так, что в одно и то же условие входят обе граничные точки: 13 1.1.

Линейные дифферевгпгальные уравнения В этом случае задача Коши может рассматриваться как частный случай краевой задачи. Может показаться, что замена двух начальных условий Коши (1.4) двумя граничными условиями (1.6) или (1.7) не вносит никакой дополнительной неопределенности в задачу, так как у нас по-прежнему имеются два «свободных» параметра (параметры А и В в общем решении (1.3)), с помощью которых необходимо удовлетворить двум дополнительным условиям. Однако теорема существования и единственности решения, доказанная для задачи Коши (теорема Коши), не имеет места в случае краевой задачи.

Лля некоторых граничных условий решения нет вообще, а существуют и такие граничные условия, которым соответствует бесконечное множество решений. Для того чтобы исследовать краевую задачу, возьмем общее решение (1.3) и подставим его в граничные условия (1.6) или (1.7). В результате для определения коэффициентов А и В получим систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений (1.8а) (1.86) УыА + усгВ = Сы 7ю.4 + 7ггВ = Сю где величины уг имеют вид уй — — адСву(хс) + а ганг(хс)+ м а,уу(х;) + Д~р'-(х;), (условие (1.6) ), (1.9) + агзсг (хг) + а чргс(хг), (условие (1.7)), и образуют матрицу Г = 6 уз'6, определитель которой обозначим Ь: Ь = деС(Г1.

14. Если матрица Г не сингулярна,т.е., если определитель 44 не равен нулю, то в соответствии с теоремой Крамера система (1.8) имеет только одно решение (А, В) для любых значений констант Сс и Сг. Однако в случае однородных граничных Вопрос. о том, сколько решений имеет краевая задача и существует ли решение краевой задачи вообще, равносилен более простому вопросу о том, сколько решений имоет алгебраическая задача (1.8).