И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике, страница 6

Однако в этой точке на частицу действует сила, направленная налево (~Л~/дх~„> О), и частица отразится от точки хз и начнет ускоренно двигаться влево, пока не достигнет минимума потенциальной энергии, где ее скорость максимальна, затем она начнет замедляться, дойдет до точки хы отразится от нее и начнет двигаться вправо. Таким образом, частица будет совершать периодические колебания между точками х1 и хэ с периодом Т.

Точки х1 и хз называются точками поворота. 1.5. Сравнение движения квантовой н классической частиц 31 Для того чтобы вычислить плотность вероятности нахождения частицы в точке х отрезка [хы хя], возьмем небольшой интервал ох около точки х и определим время й, за которое частица проходит этот интервал. Беря отношение длины интервала к скорости частицы, получаем ех Ц1 = —. и(х) Пусть частица совершает движение в течение большого промежутка времени 1м такого, что $1 — — пТ+Тз|, где е г « Т.

За это время частица будет находиться в интервале ех в течение времени 1з = 2пе1 (множитель 2 появился из-за того, что за период Т частица дважды проходит этот отрезок, один раэ слева направо, а другой — справа налево). Поэтому вероятность йе того, что частица будет находиться внутри отрезка Их, определяется следукацим выражением: 2иег 2йх йи =- 11ш и — +со пТ+ Ы Ти(х) Следовательно, искомая плотность вероятности найти частицу в точке х есть х < хз, 1 2те 1'(х? ою р(х) = — =- ох (1.18) О, х) хз. График плотности вероятности для потенциальной ямы, которая изображена на рис.

1„и для значения энергии Е, которое там ука- зано, приведен на рис. 2. Глава 1. Одномерное движение Плотность вероятности найти частицу в точках поворота оказывается максимальной, так как в этих точках скорость частицы обращается в нуль. Плотность вероятности найти частицу минимальна в точке, где потенциальная энергия принимает свое минимальное значение, так как в этой точке скорость частицы максимальна. Классическая Ркл(т) частица нс может находиться в хэ областях с координатамн х ( тз Рис.з.Клэссяческаяплотвостьве и т > хз, так как при этом роятностн. скорость классической частицы оказывается комплексной. Как следствие,и плотность вероятности обнаружить классическую частицу в этих областях станет комплексной, что не имеет физического смысла.

Поэтому в выражении (1.18), которое является определением классической плотности вероятности, за границами интервала (хы кз) плотность вероятности положена равной нулю. Глана 2. Прямоугольная потенциальная яма Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой те, двн„.кушейся в поле с потенциальной энергией вида (сы. рис. 3) 1, П, П1 х < — а, ~х~ < а, О, х > а. Рис. 3. Прямоугольная потенциэльвая яма.

Здесь а — полуширина, а 1'е — глубина потенциальной ямы. Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в видо В данной задаче потенциал ограничен снизу величиной — Ц, а следовательно, и спектр энергий ограничен снизу: Е > — Ц. Потенциал на бесконечности обращается в нуль. Следовательно, дискретный спектр может быть только при отрицательных энергиях. При положительных энергиях спектр только сплошной.

Далее, потенциал является четной функцией х, а следовательно, можно считать, что собственные функции уравнения Шредингера являются либо четными, либо нечетными. Разобьем ось х на три области: 1: х< -а, П: — а<х<а, П1: х>а, Глава 2.

Прямоугольная нотснинальная яма: для которых а и — а являются граничными точками, и представим,,: волновую функцию в виде фг(х), х е 1, Фз(х), х е П, язз(х) х е П1 'ф(х) = ! + — Е ф1(х) — О, 2то .т е 1, ! ~1з 2тс , + —,Е Фз(~) = О х е Ш. Поскольку волновая функция должна быть непрерывной вместе с первой производной, функции фь фз и Ч'з оказываются связанными так называемыми условиями сшивания ~1( — а) = фз( — а), 1Ь(а) = 4з(а), (2.1) 4~~~( — а) = фз( — а), ф'(а) = 1Я'(о), 2.1. Отрицательные энергии Рассмотрим область отрицательных знергий — зе < Е < О, возьмем некоторое произвольное значение энергии Е и введем обозначе- ния к: — — ()ге+Е) ) О.

(2.2) 2тс нг 2те ага — — Е >О нз Ф Н формулах (2.2) берется арифметическое значение квадратного корня. Напишем общее решение в каждой из трех областей: (,) 1 енн + В е аЯ фз(х) = Ая вш кх + Вз соз кх, фз (х) = Аз е"* + Вз е '™. Тогда уравнение Шредингера для стационарного состояния можно .; записать в виде 35 2.1. Отрицательные энергии В этих выражениях имеется шесть коэффициентов: Аы Аг, Аз, Вм Вг и Вз Йля их определения необходимо использовать условия спшвания в точках а и — а (четыре условия) и граничные условия (1.12) на хоо (два условия), т.

с. шесть условий. Однако, требуется еще удовлетворить условию нормировки, которое оказывается седьмым. Следовательно, при произвольной энергии Е всем необходимым условиям удовлетворить не удается. Однако можно считать энергию Е седьмой неизвестной величиной. Тогда число уравнений будет совпадать с числом неизвестных, и эта система уравнений уже может иметь решение, хотя и нс всегда. Поскольку волновая функция должна быть нормируемой, т.е. интегрируемой с квадратом модуля, коэффициенты Вз и Аз„стоящие при возрастающих экспонентах, должны быть положены равными нулю.

Палее, как говорилось ранее, мы можем выбрать в качестве собственных функций такие решения, которые обладают определенной четностью. 'Четные решения Лля того чтобы решение было четным, положим Аг=Вз, Аг —— О. Условия сшивания можно рассматривать только в точке х = а, в силу симметрии условия сшивания в точке т. = — а будут выполнены автоматически: е — оа Вгсозка= — кВг з1п ка = — аВз е '"'. Мы получили систему двух линейных однородных уравнений относительно двух неизвестных: Вг и Вз.

Эта система имеет нетривиальное решение только если определитель системы равен нулю. Вычисляя определитель и приравнивая его к нулю, получим трансцендентное уравнение кубка = а. То же самое уравнение можно получить, если разделить почленно второе уравнение из системы на первое. Из данного трансцендентного уравнения мы должны найти энергию Е. Преобразуем уравнение к более удобному виду. Для этого введем две величины: г.=ка, л=аа.

(2.3) Глава 2. Прямоугольная потенциальная «ма Поскольку н и гг положительны, с и гг также положительны. С их помощью трансцендентное уравнение можно записать в виде гг = с сбс. (2.4) Помимо этого уравнения величины С' и г1 связаны еще одним условием, которое можно получить, вычислив сумму Сз + г1з. В результате приходим к уравнению ~2+ 2 (2.5) где параметр ямы Г„г определен формулой 2тоа О=а(яг +а)= ро. (2.6) Теперь мы можем рассматривать с' и гг как независимые переменные, связанные двумя уравнениями: (2,4) и (2.5).

Решить эти уравнения удобнее всего графическим методом, как показано на рис. 4. Построим два графика функции гг = ц®, которые соответствуют уравнениям (2 4) и (2.5) Достаточно рассмотреть только первый квадрант, так как ~ и гг положительны. Криазя гг = ц(~), задаваемая уравнением (2.4), Ц представляет собой бесконечный набор ветвей, причем 8-я ветвь (1 = 1,..., оо) начинается со значения гг = О в точке С =. (с' — Ця 1 1 и монотонно возрастает ! 3 до бесконечности в точ- О я З г2 сг н/2 ке С = (с — 1)Я + Ягг2. Кривая, соответствующая Рис. 4. Графическое решение уравне- (2 4) уравнению (2.5), представляет собой окружность, радиус которой равен оЯ. Точки пересечения кривых дают значения с и гз, при которых выполнены оба уравнения ((2.4) и (2.5)), т.

е, дают искомые решения. Зная значение ~г, соответствующее 1-й точке пересечения, мы с помощью формул (2.2) и (2.3) находим энергию с-го состояния ~2 Ег = -ро + — -сг 2пгоаз 2.1. Отрицательные энергии Рассматривая график, можно сделать следующие выводы: 1. Яля четньсх ре1аений при любых значенилх а и Ьо имеется хоты бы одна точка пересечения кривых. Поэтому в яме с любой шириной и глубиной сушествуст, но крайней мере, один четный дискретный уровень.

2. При любых конечных значениях а и Ъо число дискретных четных уровней в .кне конечно. Описанный способ был удобен для исследования трансцендентного уравнения. Для того чтобы найти численное значение энергии М-го уровня, удобно преобразовать систему уравнений (2.4) и (2.5). Беря уравнение (2.5) и подставляя в него у из уравнения (2.4), получаем С'(1+сй'~) = 4). учитывая, что мы ищем 8-й уровень, произведем замену переменной + (с — Ц' так, что новая переменная х будет изменяться в интервале 0 < х < я/2. Используя тригонометрическое тождество, извлекая квадратный корень и учитывая, что сове в рассматриваемом интервале положителен, приходим к уравнению х + (с' — 1)я = Яссах, которое легко решается, например, методом деления промежутка по- полам.