И.В. Абаренков, С.Н. Загуляев - Простейшие модели в квантовой механике, страница 7

Нечетные решения Лля того чтобы решение было нечетным, необходимо положить Аз = -Вз, Вз = О. Тогда опять-таки можно рассматривать условия сшивания только в точке х = а: Аззшни= Взе нАз соз ма = — оВзе Х'лава 2. 11рямоугольная потенлншгьлэя яма '4 Теперь вместо (2.4) получаем другое уравнение у = — с сФй~. (2.7) Переменные С и гг по-прежнему связаны условием (2.5). Решение системы уравнений (2.7) и Ц (2.5) графическим методом проводится аналогично а случаю четных решений.

3 Соответствующие кри- вые гу = ~Я) изображены о на рис. б. Из рисунка 1 3 видно„что точка порея/2 и Згг/2 сечения кривых есть не сг всегда. Она существует, Рис. б. Графическое решение уравне- если радиус окружности ния (2.7). больше я/2 (окружность а), т. е., если параметр г (2.6) удовлетворяет неравенству г',г > к~/4. Если же зто неравенство не выполнено (окружность о), то кривые не пересекаются.

Таким образом, мы приходим к следующим выводам: 3. В яме находится хотя бы один нечетный дискретный уровень, если паранетр ямы Я достаточно велик. 4. При любых конечных значениях а и 'гге число дискретньгх нечет- ных уровней е яме конечно (или нуль). В случае потенциальной ямы конечной ширины 2а > 0 и конечной глубины Ре > О легко найти общее число дискретных уровней: четных и нечетных.

Зля этого достаточно подсчитать число пересечений окружностей радиусом з/Ц с вертикальными прямыми линиями, абсциссы которых кратны гг/2г (2.8) где [х) означает целую часть числа х. Сравнение поведения квантовой и классической частиц в потенциальной яме. Энергия частьщы отрицательна Первое отличие состоит в возможных значениях энергии.

Классическая частица может иметь любую энергию в интерва- 2,1, Отрицательные энергии ле -К~ ( Е < О. Квантовая частица может находиться только на одном из конечного числа И (2.8) дискретных уровней энергии. Р () Р (*) Гнс. б. Классическая плотность ве- Рнс.

7. Квантовая плотность верор эятностн. ятнсстн. Первое четное состояние. Второе отличие касается плотности вероятности найти частицу в данной точке. Ппя классической частицы, согласно формуле (1.3), плотность вероятности найти частицу в любой точке вне ямы равна нулю. Плотность же вероятности найти частицу в любой точке внутри ямы постоянна, как это изображено на рис. 6. Лля квантовой частицы плотность вероятности найти частицу в какой-нибудь точке внутри ямы непостоянна, как это видно нз рис. 7 и рис.

8, на которых изображен квадрат модуля волновой функции частицы, находящейся на первом четном (рис. 7) и первом нечетном (рис. 8) уровнях. Ркв(и) Ркь(Х) х — а О а О Рнс. 8. Квантовая плотность вероРнс. 9. Квантовая плотность вероятности. Первее нечетное состояятностн. Яма малой ширины. нне. Кроме того, как видно из рис.

7 и рис. 8, у квантовой частицы вероятность оказаться вне ямы отлична от нуля. Это особенно заметно, если яма такова, что первый четный уровень лежит вблизи нуля. Такая ситуация может иметь место, если яма имеет конечную Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма-). 40 глубину, но очень малую ширину. Распределение плотности вероят-."., ности нахождения частицы в такой яме показано на рис. 9, Видно, ! что в этом случае вероятность найти частицу вне ямы гораздо боль-", ше, чем вероятность обнаружить ее внутри ямы. Классическая час- -.:: тица даже с малой отрицательной энергией будет всегда нахоциться:, внутри ямы независимо от ширины ямы. Яма с бесконечными стенками ъз ~2 2гпо где (1 — координата точки пересечения в первом квадранте окружности радиусом ъЯ с ветвью кривой С гкС (четные решения) или -С сФкг (нечетные решения).

Теперь можно рассмотреть яму с бесконечными стенками, Рнс. 10. Прямоугольная потенциаль- ная яма. Начало отсчета ввергни сдвинуто на дво ямьь устремив Ъ'~ к бесконечности. При этом радиус окружности будет также стремиться к бесконечности. 11ля четных решений, как видно из рис. 4, координаты точек пересечения в пределе имеют внд ~, = -. + (Š— 1), К = 1,2, 2 Аналогично для нечетных решений (рис. 5) в пределе получим с = 1,2, Обе эти формулы можно объединить, написав я / 21+ 1 (для четных решений) 2 ' )( 28 (для нечетных решений). В тех случаях когда глубина ямы велика, удобно перенести нача- ': ло отсчета энергии на дно ямы, как это показано на рис. 10.

Тогда,:; выражение для энергии с'-го,. уровня преобразуется к виду 2 2, Положительные энергии Отсюда для энергии следует выражение: Е„= ( — ) пз, п = 1,2, (2.9) Особенностью спектра является то, что по мере увеличения энергии расстояние между уровнями увеличивается: Еь.ы — Е =- Я (2п + 1) 2.2. Положительные энергии Решение уравнении. Коэффициенты прохождения и отражения Рассмотрим теперь состояния с положительной энергией Е > О. Введем обозначения й: — ~/ — Е > О, и = — (Ъо+Е) > О, (2.10) 2гпе 2пзе где, как и раньше, берется арифметическое значение квадратного корня.

Напишем общее решение для каждой из трех областей: фг(х) = А1 е""" + В1 е """, ф( ) .А азсе+ — 1ея 4'з(х) = — Азе'"* + Взе гь . (2. 11) Как и следовало ожидать (см. разд. 1А), ни при каком выборе констант А и В не удается получить квадратично интегрируемой функции,т.е. уровней дискретного спектра при положительных энергиях не существует. Возможен только сплошной спектр, и стремится к бесконечности при неограниченном увеличении п. Сравнивая положение уровней энергии в прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины и положение соответствующих уровней энергии в яме конечной глубины (и той же ширины), видим, что в конечной яме уровни располагаются систематически ниже, чем уровни той же четности в яме с бесконечными стенками. 42 Глава 2.

Прямоугольная потенциальная яма причем любое значение Е есть точка спектра. Построим решение. У нэс имеется шесть постоянных А и В и только четыре условия сшивания (2.1). Таким образом, в постановке этой задачи присутствует неоднозначность. Пля того чтобы понять, с чем она связана, рассмотрим плотность тока вероятности й /,И И„'1 у' = —. ~Ф' — Ф вЂ” Ф вЂ” Ф*') 2те1 1, ~Ь Ых для волновой функции вида ф(х) = Ае'вх + Ве и*. Вычисляя., находим И Кх — ф(х) = 1ЙАе' ' — 1кВе ' *, ф* — ~ = зй ~Щз — )В(з + АВ*ез"* — А" В , ~1 Их Следовательно, , = "'(щз-(В)з) те По определению плотность потока равна скорости, умноженной на плотность частиц в потоке.

Учитывая, что бй/те есть скорость частицы, величину ~А~з можно трактовать как число частиц в единице объема, двигающихся в сторону положительного направления оси х, т.е. слева направо, а ~В(з можно трактовать как число частиц в единице объема, перемещающихся в отрицательном направлении оси х, т. е. справа налево.

Теперь вернемся к нашим трем областям. Пусть источник частиц находится слева от ямы, а справа от ямы источника нет. Тогда (А1 ~ з определяется мощностью источника, т. е. задано, а Вз = 0 (если источник находится справа, то Вз задано, а А1 = 0). Четыре оставшихся коэффициента можно выразить с помощью условий сшивания (2.1) через Аь Привезем результат для модугюй коэффициентов Аз и В~ (коэффициенты Аз и Вз нас сейчас не интересуют): (Аз(з (А (з (В ~г 1+р ' 1+р 2 я, Попожнтвьтьные энергии где ( я йг)г Р = (2 ь)г гйв 2ма.

Таким образом, имеется падающий поток частиц с плотностью 1 = (йк/тв)~Аг)з, отраженный — сплотностьюфь = (йк/пзв))Вг(з и прошедший с плотностью,уь — — (йк/тв)(Аз)~. Введем коэффициент отражения гь', определив его как отношение плотностей потока отраженных и падающих частиц Ф (' 1, )Аз)з 1+ р' (2 12) в коэффициент прохождения л (Аз)г 1 2 1 ~АзР 1+р' (2.13) Очевидно, что выполняется соотношение Л+т =1, которое представляет собой условие сохранения числа частиц. Мы рассмотрели случай, когда источник частиц находится слева от ямы.

Можно рассмотреть и тот случай, когда источник частиц находится справа. Вычисляя коэффициенты прохождения и отраженвя, получаем те же значения, что и для источника, расположенного слева от ямы. Оказывается, что значения коэффициентов прохождения и отражения не зависят от положения источника не только для рассмвчпренного самлегаричного прямоугольного потенциала, но и для вегцественного потенциала любой формьь Это утверждение остается справедливым и для трехмерного потенциала, если только он остается постоянным на бесконечности. Ванное утверждение является следствием принципа микроскопической обратимости, или принципа детального равновесия, в квантовой механике.

Приведем доказательство для случая произвольного одномерного потенциала, такого, что ь'(х -+ +со) = Ъь и Ъ'(х -+ — оо) = Фю причем Ъ~ ф Ъю Обозначим уу+(х) решение уравнения Шредингера Глава 2. Прямоугольная потенциальная ямсз для случая, когда источник находится слева, а 1й (и) — решение,:!, когда источник находится справа от потенциала: Ьз с1з — — 4~а(х) + Ъ'(я)4я(т) = Ьс)гь(я), 2спе сиз причем оба решения соответствуют одной и той же энергии.

Асимп--'. тотики этих решений на хоо суть Ас е'я* + В1 е 'я*, Ф+(т) = я А есйя Зс з х -~ — оо, х -+ +ос, з В 1е ср (х) = А сска + В е — айх зс ' зе Иг(+ос) = 2сйАзВз, И"( — оо) = 2сйАзВм Однако в силу теоремы Грина (см. и. 8 разя. 1.1) определитель Врон- ского не зависит от точки и: Иг(+ос) = Иг( — со). Отсюда йАзВз = ЙАгВм Выражаем из этого равенства амплитуду Аз и подставляем ее в определение коэффициента прохождения (2.13).

В результате полу- чаем 2 ЧАз! я 1 )с АсВ1 я!Щ ус ЧАзР Ус !АгР Йз Вз й 1Вз)з у', т.е. равенство коэффициентов прохождения. Для коэффициентов отражения (2.12) выполняется аналогичное равенство, что непосредственно следует из условия постоянства числа частиц: Л + Т = 1. 3 й =,2~те — в)о с =,2,(е — в)!Й, А,В,,А,! и ВПАз, Вз суть амплитуды падающих, отраженных и прошед- ) ших волн на хсо.