Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1, страница 8

Н, (20.4) Вычисляя векторное пронзведевне, имеем: го! ?, = — ((ига д Н,) ?, — (ягад Н,) гз), 1 г Чэ г ш но в силу формулы (20.1) предыдушей задачи 1 дН, 1 дН, (пгад Н,) = — — '; (пгад Н,) Н, дд,' з' Нэ доз и, значит, 1 дН, 1 дН, ! го! ?~ = — — ' ?г — '?з НэНз дэ?з Н~Нг д~73 аналогично 1 дНг . 1 дНг го! ?, = —— ??гН1 дэ?~ НгНз дэ?з дНз 1 дН, го! ?з = НзН, дэ?э Н,Н, дэ?г (20.5! Найденные выражения (20.5) для вихрей единичных векторов, отложенных по осям криволинейных векторов, дают возможность вычислить расхождения тех же векторов. В самом деле, в силу соотношения гэ =?, Х?з н известной формулы, имеем: д!ч ?г д!ч (?3 Х ?3) !3 го! 33 ?г ' го! ?3 и в силу соотношений ортогональности г', ° ?г = 0; ?г ?3 = 0; ?, ?г = 0 полтчаем: д!ч?, = дг?з н аналогично: (2олй гйч?г = д!ч гз = НэНз 1 й?3??г 1 дН, — '+ дэ?г дН, — + дрз Н,Н, ддг ' 1 дН, ЙЗНз ддз УПРАЖНЕНИЯ Нетрудно ~еперь перейти к выражению расхождения и вихря любого вектора а, разложив последний по ортам а = аз(з + аэ(з+ аэ(„ основываясь на известных формулах векторного анализа.

Таким образом получаем: ейз а = а, Йи з', + азд!т(з+аэ й!т(,+ (, егада, + !э пгадаэ+!э ° агадаз = а, дн, а, дН, а, дн,, а, дн, а, дн, Нэнз ду~ Изн~ доз Нзнэ ддз Н~нз дйз НзНэ йу аз дН, 1 да, 1 диз 1 даэ 3 з ) з ( з ) з Нэн, дзуэ Н, дд, Нз дэуз Нэ дз)з 1 Г д(а Н Нз) + д(а Н Н ), д(аэнзНэ) ) Полагая в последней формуле а = йгад у, получаем выражение для оператора )!апласа в криволинейных координатах: Н,Н,Н, др, Наконец, применяя формулы (20.5), находим для вихря вектора а выражение'. ! Г д(Нзаз) д(Нзаз) 1 . 1 Г з!(ИЖ) д(й(заз) ~ йэнэ с дйэ дзуз ! Йэнз г дйз д(з~ + ~ з!(з (209) 1 Г д(нза,) д(Н,а,) ) НН~ да, да, ГЛАВА ВТОРАЯ ОСНОВНЪ|Е УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 11ДЕАЛЬНОй ЖИДКОСТИ ф 1.

Силы массовые и поверхностные. Выделим в жидкости некоторый объем т, ограниченный замкнутой поверхностью Б (рис. 18). Силы, приложенные к вьщеленному объему жидкости, можно разбить на два класса. К одному классу мы отнесем силы, действующие на каждый эле- Р мент объеиа йт неззвисимо от того, сушествуют нли нет рядом с объемом другие части жидкости. Эти силы мы назовем массовыми; иногда не вполне правильно они называются объемными силами, П Если назвать через тт вектор массовой .т силы, отнесенный к единице массы, то Рнс. 18.

к элементу объема Нт жидкости, плотность которой р, будет приложена массовая сила )орйт; главный вектор массовых сил, приложенных ко всему объему т, выразится векторным интегралом распространенным по объему ъ а проекции главного вектора на оси декартовых координат Ох, Оу, Ог будут соответственно: где Х, 1', д суть проекции вектора А. Главный момент массовых сил, приложенных к объему. т, относительно начала координат выразится векторным интегралом овшвв тилвнение движения где г — ралиус-вектор частицы дт; проекциями главного момента на координатные оси будут соответственно служить интегралы: ~ (уй — аУ)рдт, ~ (хХ вЂ” хл)рдт, ~ (хУ вЂ” уХ)рс(т.

Примером массовой силы является сила тяжести, сила инерции и др. К другому классу сил, действующих на рассматриваемый объем т, мы отнесем силы взаимодействия между различными частицами жидкости. В силу принципа равенства действия и противолействия произойдет уравновешнвание спл взаимодействия между всеми внутренними частицами объема т, лежащими внутри поверхности 8, и, значит, могут остаться неуравновешенными тольно силы взаимодействия, псхолящие от частиц, лежащих снаружи поверхности 8, и приложенные н поверхностным частицам объема т; такие силы мы назовем ловерхносгпными.

Если через р„обозначить вектор поверхностной силы, отнесенной к единице площади, то на элементарной площадке с(о' поверхности о будет приложена к объему -. исходящая от внешних частиц сила р„д8; значок п указывает на то, что мы считаем вектор р„ зависящим от ориентировки площадки г(5, т. е. от направления внешней нормали (рнс. 18); кроме того, вектор Р„может зависет от коордшгат площадки йо, а также от времени. Если через — п обозначить противоположное направление нормали внутрь поверхности б, то это направление окажется внешней нормалью для той же площадки до' по отношению к наружным частицам жилкости; согласно нашему обозначению, поверхностная сила, действующая на элемент площзди до' наружного слоя частиц и исходящая от частиц, лежащих внутри поверхности Я, будет р „с(о; вслелствие принципа равенства действия и противодействия имеет место соотношение (1.1) Р-,= Рп Направление вектора поверхностной силы р„может вообще составлять некоторый угол с внешней нормалью и; проекция р„на внешнюю нормаль называется нормильным ристяжением нлн нормальным давлением, смотря по тому, будет ли Р„составлять острый нли тупой угол с внешней нормалью, проекция же Р, на площадку й5 носит название косого напряжения илн, иначе, силы пг ренин.

Главный вектор и главный момент поверхностных снл, прилолгенных к объему:, выразятся интегралами ~ Р„дл ~ (г )(Р„) д$, распространенными по всей замннутой поверхности 5. ф 2. Общее уравнение движения. Применим начало Даламбера, гласящее, что в каждый момент движения любой материальной 46 осиовиыа внлвиииня динамики идеальной жидкости 1гл. и системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются; тогда (2.1) где ш есть ускорение элемента Ит; при этом — ! твр йт выражает главный вектор сил инерции. 5 3.

Гндродиндмическое давление в идеальной жидкости. В идеальной жидкости не проявляются силы трения, и малейшее нормальное растяжение влечет разрыв сплошцости жидкости; следовательно, поверхностные силы, приложенные к элементам поверхности г(5 объема х идеальной жидкости, г представляют собою нормальные давления, направленные внутрь объемз; иначе говоря, вектор р„ направлен по внутренней нормали к элементу д5. Покажем, что для идеальной жидкости величина р, этого вектора не зависит от ориентировки площадки дВ. Для этого у расслютрим з жидкости элементарный объем тетраэдра КАВС (рис. 19), три грани которого КВС, КАС и КАЫ параллельны коордиРнс.

19. натным плоскостям, так что внеш- ние нормзли к этим граням направлены соответственно прогливополоакно осям Ол, Оу и Оз! обозначим далее через а, р, 1 косинусы углов, образованных с осями координат внешней нормалью Ол к четвертой наклонной грани АВС; пусть, наконец, плошадь грани АВС есть г(5, тогда плошади граней КБС, КАС, КАВ, являясь проекциями по, будут соответственно «~И, 'ргЮ, тджх. Применяя уравнение (2.1) к объему дт тетраэдра, имеем: (Р— то) р Ит+ Р „е с(8+ Р „3 гЮ+ Р,у ИБ+ р„а5 = О. (3.1) В силу свойства (!.1), можно произвести замену обозначая затем через л высоту КО тетраэдра, получим: сИ = — )!Ю, ! 3 $41 Овшие уРАВнения дВижения иделльнои жидкости 41 и таким образом уравнение (3.1) по сокрашении на г(8 примет вил 1 (Р— ) рй — р„— Вр,— (р, +р, О, откуда, переходя к пределу, при й-» О, мы приходим к основному свойству поверхностных сил: р.='р +рр,+ (р' (3.

2) откуда (3.3) Рк=рк=РУ Рк т. е. величина нормального давления лля идеальной жилкости не зависит от ориентировки площадки, к которой вно приложено. Вследствие этого можно отбросить значо« в обозначении, не указывая ориентировки площадки и помня, что гидродинамическое давление направлено по внутренней нормали к площадке. В 4. Общие уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение (2.1) для случая илеальной жилкости принимает вид: ~ ()Р— со) р ах + ) р гЮ = О, (4.1) причем вектор гилродинамического давления р направлен по внугпренней нормали к поверхнос гн о'.

Вводя в рассмотрение орг и внешней нормали, имеем: о = — рп, и предылушее уравнение принимает вил: (е — то)рйт — ~ рпао =О. (4.2) показывающему, что вектор р, при произвольной ориентировке внешней нормали и может быть опрелелен, коль скоро заданы трк основных вектора р, р, р„выражающих поверхностные силы для площадок, внешние нормали которых параллельны и олинаково направлены с осями Ох, Оу, Ог.

Свойство, выражаемое формулой(3.2), показывает, что совокупность векторов р„, получаемая при всевозможных ориентировках площадок, образует тензор; он называется глензором упругих напряженгги. Применим теперь формулу (3.2), справеллввую для любой жилкости. к случаю идеальной жидкости. В этом случае векторы р„, рка р„, р, булут направлены противоположно внешним нормалям Оп, Ох, Оу, Ол и, проектируя (3.2) последовательно на Ох, Оу, Ое, получим: — р. = — ир„; — р„р = — рр,; — р. ( = — ( ' 48 основные гялвнення динамики ндезльноп жидкости 1гл ы Прииеняя к послелнему интегралу преобразование Гаусса, получаем: (()г' — ш) р — (ггаД р) ггт = О.

или в проекциях: Л та г д 0 У се у 0 1Д,, 1Др Р " ' Р 'У (4.4) 1 Др 7 — ог, — — — = О. р дх й 6. Уравнения движения в форме Эйлера. а) гуекартовы координаты. Выражая проекции ускорения в переменных Эйлера по кинематическнм формулам (8.4) главы 1: Дог дпх Дог дог ,г ) х ~ ) г 1 .г ДГ Дх х Ду г ' Дг До„де, Дв де„ т = — "+ — ' о + — '-о +. о, г дт дх х ду у дз Дог Дгг Дог Дог тл = — '+ — го + — 'о + — 'о ДГ дх х ду У Д г и разрешая уравнения (4.4) относительно тг, яву, та„мы получаем так называемые гидродинамические уравнения Эйлера: 1 Х вЂ”вЂ” Р 1 )' —— Р 1 Š—— Р Др Дх Дог . Дсх — х+ дг дх о + —." До„ К ' Ду Дну о +— х Ду Дог х+ д У до о + — о Х у дг Др Ду ' Др Дх ' Доу Дв — '+ — ' де дх дв о + — о г Дх (б 1) Дьг Дог — '+ — '- ДГ Дх де о + — о г г Дг 6) Цилиндрические координаты.

Проекции скорости точки Л( на оси цилинлрических координат (г). (о), (х) будут как показывается в кинематике точки. Отложив по осям цилиндрических координат три елиничных вектора з,, йз, гз, мы можем вектор скорости точки М (рис. 20) представить в форме о = г3, + г Рг, + лез В силу произвольности рассматривасмого объема т подынтегрзльнос выражение лолжно быть равно нулю в каждой точке жидкости и в любой момент движения.