В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 9

Запишем результат вычислений в покоординатной форме: а д у .О.Р. Лв = СО — = СО — СО — СО — — В!П вЂ” ВШ вЂ” 8!П вЂ”, 2 2 2 2 2 2 2' р .а В 7 а.З.у А! = х 81П вЂ” = 81П вЂ” СО8 — СО8 — + Сов — 8!П вЂ” 81П вЂ”, 2 2 2 2 2 2 2' а . )У 7 а !1 7 Лз = У 8!П = СО8 — 8!П вЂ” СО — 81П вЂ” СО — 81П вЂ”, 2 2 2 2 2 2 2' а )У.7 .О.В Аз — з 81П вЂ” СО8 Сов 81П + 81П 81П СО8 2 2 2 2 2 2 2 5 5 ТОПОЛОГИЯ МНОГООБРАЗИЯ ПОВОРОТОВ ТВЕРДОГО ТЕЛА 4Э Из первого соотношения находится угол эйлерова поворота у, после чего из трех оставшихся находятся проекции единичного вектора оси зйлерова поворота х, у, 2. 3 8.

Топология многообразия поворотов твердого тела Рассмотрим множество положений твердого тела с одной неподвижной точкой, или, что одно и то же, множество всех ортогональных матриц с равным единице детерминантам. Введем здесь следуюшие обозначения для элементов ортогональной матрицы; Х1 — Х2 Гб Хб хз хб хб Напомним, что столбцы матрицы А представляют собой координаты образов единичных векторов при преобразовании с матрицей А.

Если известны первые два вектора — Х2 2 Х5 то третий определяется однозначно условием ортогональности и условием беб А = 1. Поэтому все множество ортогональных матриц может быть представлено пересечением трех гиперповерхностей в шестимерном пространстве: х1+ х2+ *3 г *4+ хб+ хб 2 х1г4 + хгхб + хзхб = о Это и есть геометрическое представление конфигурационного многообразия твердого тела с неподвижной точкой. Важнейшая топологическая характеристика многообразия заключается в понятии односвязности многообразия. Многообразие называется односеязнмм, если всякий замкнутый контур на нем может быть непрерывно стянут в точку.

Это условие очевидно выполняется для сферы в трехмерном пространстве и не выполняется для тора. Замкнутый контур на группе о0(3) соответствует непрерывному враШению твердого тела, которое заканчивается в начальном положении тела. Теорема, Группа о0(3) неодносвязна. Все замкнутые кривые на ней разбиваются на два класса: первому классу принадлежат кривые, стягиваемые непрерывной деформацией в точку, второму 5 За 255 ГЛ.

2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 50 классу принадлежат кривые, стягиваемые к кривой, соответствующей повороту тела на угол 2к вокруг фиксированной оси. Для Фоказагпельсшеа теоремы удобно сделать следующее представление для конфигурационного многообразия твердого тела. Всякий поворот по теореме Эйлера может быть задан осью конечного поворота е и углом правовинтового вращения вокруг нее ~р.

Образуем в трехмерном пространстве вектор уе, где О < у < я. Между множеством положений тела и точками введенного шара взаимно- однозначного соответствия нет, поскольку поворот вокруг е на угол л дает то же самое положение тела, что и поворот вокруг оси — е на угол я. Однако если мы отождествим диаметрально противоположные точки поверхности этого шара, то получим множество, находящееся с поворотами во взаимно однозначном соответствии, Все замкнутые траектории в шаре могут быть разделены на два типа: внутренние траектории (рис. 15а) и траектории с выходом на поверхность и последующим продолжением из диаметрально противоположной, тождественной точки (рис. 155).

Рис. 15 Траектории первого типа непрерывно стягиваемы в начало координат. Траектории второго типа из-за наличия в них разрыва (само вращение при этом непрерывно) в начало координат стянуты быть не могут. Они могут быть непрерывно стянуты к диаметру шара, соответствующему повороту тела на угол 2к вокруг этого диаметра. На рис. 15б изображена траектория с одним выходом на поверхность, Общий случай делится на два подслучая; четное число выходов на поверхность и нечетное.

Нетрудно понять, что при четном числе выходов на поверхность кривая непрерывно стягивается в начало координат, а при нечетном — к диаметру. Рассмотрим в качестве примера два выхода на поверхность (рис. 1ба). Первый выход состоялся в точке 1 и из точки 1' продолжился до второго выхода в точке 2, после чего он продолжился из точки й' и завершился в исходной точке. Очевидно, точку 2 можно непрерывно стянуть в точку 1' (при этом точка 21 з Э. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА Рис. 16 непрерывно переходит в точку 1) (рис. 16). После чего замкнутая петля в 1', х непрерывно стягивается в точку 1', в, а оставшаяся петля стягивается в ноль. Теорема доказана.

Представление поворотов при помощи кватернионов единичной нормы представляет собой многообразие, являющееся трехмерной сферой в четырехмерном пространстве: Л~~+ Л~~+ Л~~+ Л~ д— — 1. Это многообразие является односвязным, но оно не находится во взаимнооднозначном соответствии с группой 50(3); два кватерниона Л и — Л задают одно и то же положение твердого тела. Группа единичных кватернионов называется в математике односвязной накрывающей группы вращений.

Не входя в детали этого нового понятия, укажем, что накрывающая группа строится по заданной так: каждый ее элемент есть элемент исходной группы с указанием траектории, ведущей к этому элементу из некоторого, заранее фиксированного (обычно единица группы). Построение накрывающего многообразия называется развершкоп исходной группы. Например, разверткой окружности (группа 50(2)) является прямая 11'. 9 9.

Угловая скорость твердого тела 1. Определение угловой скорости. Пусть тело совершает непрерывное вращение вокруг неподвижной точки. Определим понятие мгновенной угловой скорости в мгновение времени 1 так. Положение тела в этот момент времени примем за начальное. Положение тела в близкий момент 1+ 1х1 по теореме Эйлера может быть получено из начального положения поворотом вокруг некоторой оси е(1+ Ы) на некоторый угол 1зу(1+ Ы). То есть это положение может быть описано введенным в ~8 вектором конечного поворота Ьу(1+ Ы)е(1+ Ь1). Мгновенной угловой скоростью твердого тела называется предел Ьр(1+ Ь1) (ппп е(1+ Ь1), си-+О 1Х1 если такой предел существует.

ГЛ. 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Угловую скорость тела удобно связать с производной от положения тела, задаваемого одним из приведенных в 26 способов. Лучше всего соответствует введенному определению задание текущего положения тела кватернионом Л(1) = соз — + е(1) з1п —. р(1) р(1) 2 2 В момент времени 1+ Л1 тело находится в положении Л(1+ Ь1) = соз + е(1+ Ы) з1п 1о(1+ Ь1) 1о(1+ 2з1) 2 2 Кватернион малого поворота, переводяший тело из первого поло- жения во второе: Лр ЬЛ = соз — + ез1п — = 1+е —. 2 2 2 Закон сложения поворотов (активная точка зрения); Л(1+ 2АС) = Ьло Л(1) = 1+ а — ) о Л(С). Л р'1 2 ) Отсюда получаем Л(1+ Ы) — Л(1) 1 Л= !пп = -ш о Л(1), ас- о Ь1 2 То есть угловая скорость выражается через производную от кватерниона так: = 2ЛоЛ.

И вектор иг, и кватернион Л определены здесь в неподвижных осях. В случае пассивной точки зрения на поворот закон сложения поворотов дает Л(1+ Ь1) = Л о ЛЛ = Л о 1 + е— Ьр'1 Отсюда получаем ° =гЛол. Здесь и вектор ш, и кватернион Л определены в осях, связанных жестко с телом. Как ранее уже отмечалось, кватернион Л имеет одинаковый вид в обоих случаях.

~ 9 УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА 53 2. Сложение угловых скоростей. Постановка вопроса следующая. Относительно неподвижной системы координат худ совершает произвольное вращение тело, представляемое жестко связанной с ним системой х'у'х'. Кватернион, определяющий положение триедра х'у'х' относительно триедра хух, — Л(~), а угловая скорость триедра х'у'х' равна ы1 — — 2Л о Л (в осях хуг). Относительно этого тела вращается некоторое другое тело, представляемое триедром х"у" г". Кватернион, определяющий положение триедра х"у" х" относительно триедра х'у'х', есть М(1), а угловая скорость вращения триедра х" у" гл относительно триедра х'у'х' есть ыэ — — 2М о М (в осях х'у'г').

Ставится вопрос, чему равна угловая скорость триедра х"угхл относительно исходного триедра хух. В соответствии с правилом сложения поворотов (пассивная точка зрения) имеем А~=Лом, а искомая угловая скорость есть а = 2Л/о У = 2 (Л оМ+ Л о М) оМ о Л = 2Л о Л+ 2Л о М о М о Л. Первое слагаемое есть ы1 в проекциях на хух, второе слагаемое есть ыз в проекциях на х'у'х', перепроектируемое на оси худ. Таким образом, для угловых скоростей ы1 и щж заданных в одних и тех же осях, имеем ~" — щ1 + щ2. 3, Формула Эйлера.

Формула Эйлера определяет закон распределения линейных скоростей точек твердого тела, совершающего вращение. Пусть некоторая точка тела г'(1) является образом какой-то неподвижной точки г в пространстве хую г'(1) = Л(1) о г о Л(~). Скорость этой точки есть г'(С) = Л(М) о г о Л(С) + Л(1) о г о Л(С). Чтобы выразить эту скорость через положение самой точки, под- ставим в эту формулу равенство г = Л о г' о Л: г' = Л о Л о г' + г' о Л о Л = — (ы о г' + г' о й) = ы х г'.

2 Формула распределения скоростей ГЛ. 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРЛОГО ТЕЛА и называется формулой Эйлера. В силу инвариантной формы ее записи она верна не только в системе еут, как это следует по выводу, но и в любой другой системе. Формулу Эйлера можно представить в матричной форме г =Йг, где Й называется матрицей угловой скорости, определяющей оператор векторного произведения. Эта матрица является кососимметрической и обычно ее рассматривают в двух вариантах: в проекциях на неподвижные оси хуг Й= ы, Π— ые в проекциях на связанные с телом оси ~О~ Й= г Π— р где р, д, г — традиционные (следуя Эйлеру) обозначения для этих проекций.

4. Кииематические уравнения Эйлера. Эти уравнения определяют связь между проекциями угловой скорости тела ва оси, с ним жестко связанные, и производными от углов Эйлера. Связь легко установить, представив произвольное вращение как составленное из трех плоских вращений, воспользовавшись установленным выше законом сложения скоростей (рис. 17) эуг -+ я'у'г' -+ я"у" эл -~ щ. Скорости составляющих вращений имеют вид О Ф = О в осях э'у'г', Ф 0 О = О в осях г"у"г О О Ф= О в осях Щ.