В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики

ББК 22.21 Ж 91 УДК 531 Рецензенты: Кафедра теоретической механики Московского энергетического инсгитута (эав. кафедрой профессор Ю. Г. Мартыненко) Академик А. Ю. Ишлннскнй Доктор физико-математических наук, профессор А. П. Мсркеев ЖУРАВЛЕВ В.Ф. Основы теоретмческой механики. Изд. 2-с, перераб.— Мэ Издательство Физико-математической литературы, 2001.— 320 с.— 15В)4 5-94052-041-3. Книгу отличает болес глубокий, чем обычно принято в учебной литературе, анализ оснований классической и релятивистской механики, выполненный с единым для этих парадигм подходом. Курс включает изложение элементов теории групп Ли, достаточнос двя понимания особснностсй применения тсорстико-групповых идей в современной механике и физика Традиционные разделы теоретической механики подвергнуты ссрьсзной мстоднчсской псрсработке с целью, с одной стороны, максимально упростить введение основных понятий, доказательства теорем и основных методов, с другой стороны, заменить устаревшие представления более зффсктивными современными.

Последнее относится, например, к аппарату теории коночных поворотов. Длянаучных работников, преподавателей,аспирантов,студентов. Ил. 79. О В. Ф. Журавлев, 200! О Издательство Физико-математической литературы, 2001 15 ВХ 5-94052-041-3 Оглавление Введение 3 1. Проблема аксиоматизации классической механики ., 7 32. Инвариантность и ковариантность уравнений механики 1О Часть 1. КИНЕМАТИКА Глава 1. Кинематика точки 22 51 Часть П, ДИНАМИКА Глава 4.

Общие теоремы динамики 3 10. Определения 311. Теорема об изменении количества движения 2 12. Теорема об изменении момента количества движения 3 13. Теорема об изменении энергии 3 14. Первые интегралы 315. Теорема Кенига 316. Теорема о вирнале 217. Общее уравнение динамики системы связанных материальных точек 65 67 66 7О 71 71 72 74 3 3.

Основные определения,........,................ 14 34. Кинематика точки в естественной системе осей .... 15 35. Кинематика точки в криволинейных координатах .. 17 Глава 2. Кинематика твердого тела 36. Способы задания ориентации твердого тела ....., .. 23 1. Углы комечного врвпгения. 2. Ортогомвльмые матрицы 3, Кввтернмоны.

4. Спммовые матрицы Паули. 5. Дробнолинеймые преобразования 37. Сложение поворотов 41 Группе 60(3) 2. Кватермионмое сложение поворотов '3 6. Топология многообразия поворотов твердого тела ... 46 39. Угловая скорость твердого тела 1. Определение угловой скорости. 2. Сложение угловых скоростей.

3. Формула Эйлера. 4. Кинематические уравнемия Эйлера. 5. Уравнения Пуассона. 6. Теорема о телесмоы угле Глава 3. Кинематика относительного движения ОГЛАВЛЕНИЕ 75 93 95 Часть Ш. ЛАГРАНхКЕВА МЕХАНИКА Глава 6 323 324 325 Уравнения Лагранжа для голономных систем Основные определения Вывод уравнений Лагранжа Свойства уравнений Лагранжа 1. Ковариантность. 2. Калибровочная инвариантность. 3. Структура кинетической энергии. 4. Невырождеиность. 5.

Принцип наименьшего действия по Гамильтону. 6, Движение по геодезическим Понятие первого интеграла Первые интегралы лаграижевых систем Уравнения Рауса Преобразования Лежандра Уравнения Рауса Уравнения систем с дополнительными связями Классификация связей 1. Голономные связи. 2. Кинематические связи. 3 Неудерживаюшие (односторонние) связи. 4. Стационарные связи. 5. Виртуальные перемещения в случае дополнительных связей.

6. Гипотеза идеальности связей Уравнения Лагранжа с множителями Уравнения Аппеля Уравнения Лагранжа для систем с иеудерживакзп1ими связями 1. Удар в механических системах. 2, Негладкая регуляризация. 3. Система с канонической формой кинетической знергии.

4. Приведение к канонической форме. 5. Общие уравнения систем с неудерживвющими связями 106 106 111 115 3 26. 3 27. Глава 7 3 28. 3 29. Глава 8 120 121 125 125 126 129 330 129 331 332 333 133 135 139 Глава 5. Спепиальные задачи динамики ................

75 318. Задача двух тел 319. Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой...................................... 79 1. Геометрия масс. 2. Динамические уравнения Эйлера. 3. Решение в случае Эйлера (М=О) 4. Геометрическая интерпретация Мак-Куллвга. 5. Геометрическая интерпретация Пувнсо. 6. Уравнения динамически симметричного тела в наблюдаемых переменных. 7. Волчок Лагранжа 3 20. Реактивное движение 3 21. Теория удара 1. Понятие об ударе. 2.

Общие теоремы теории удара. 3. Удар материальной точки о препятствие. 4. Удар шаров. 5. Удар твердых тел 322. Теория рассеяния частиц .......................... 163 ОГЛАВЛЕНИЕ Частль 1Ч. КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ Глава 9. Равновесие и движение вблизи положения равновесия 334. Определение устойчивости положения равновесия 335. Корректность понятия устойчивости 3 36. Общие теоремы об устойчивости линейных систем 337. Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей 3 38 Устойчивость положений равновесия нелинейных систем 153 153 155 157 159 185 1. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости. 2 Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы 339.

Колебательная система с одной степенью свободы Г71 1. Амплитудно-частотная характеристика. 2. функция Грина 340. Колебательяые системы произвольного числа степеней свободы 1. Классификации линейных сил. 2. Овободныс колебания консервативных систсы. 3. Вынуждеиныс колебания. 4. Особыс направления в пространстве конфигураций линейных 174 консервативных систем 3 41.

Спектральные свойства линейных систем ). Поведение собственных частот при изыснении жесткости или массы. 2. Поведение собствсннык частот при изменении гироскопической связи 942. Нелинейные системы. Метод нормальной формы Пуанкаре 3 43. Свойства колебаний нелинейных систем 1. Нелинейная диссипвция ввергни колебаний. 2. Автоколебаиия. 3.

Вынуждениыс колебания 187 199 Чосгпь У. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ЛИ Глава 11. Элементы локальной теории 9 44. Понятие группы 345. Группа Ли. Примеры 3 46. Ипфинитезимальяый оператор группы. Алгебра Ли 9 47. Одцопараметрические группы. Теорема единственности 348. Уравнение Лиувилля. Инварианты. Собственные функции 207 гО7 208 215 218 218 Глава 10 Малые колебания в окрестности положения равновесия 171 ОГЛАВЛЕНИЕ 349. Линейные уравнения с частными производными 350. Канонические координаты группы 3 51 Формула Хаусдорфа.

Группы симметрий 352. Принцип суперпозиции решений в нелинейных системах дифференциальных уравнений 353. Теория продолжения 354. Уравнения, допускающие заданную группу 955. Симметрии уравнений в частных производных 356 Примеры интегрирования задач механики на основе вычисления симметрий 1 Движеиие материалвиов точки под действием следящев силы. 2 Задача Суслова 3.

Задача о траектории преследоваиия 3 57. Уравнения Пуанкаре 219 ггз 227 237 г4о 246 250 253 260 Глава 12. Группы симметрий уравнений классической механики 264 3 60. Постулаты релятивистской механики 3 61. Группа симметрий уравнений Максвелла 3 62.

Оператор второго продолжения. Дважды продолженная группа Лоренца 3 63. Инварианты группы 3 64. Релятивистские уравнения динамики точки 3 65. О неинерциальных системах отсчета 269 гм 272 274 276 277 Частпь Ч1. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 3 66. Уравнения Гамильтона 367. Связь законов сохранения со свойствами симметри гамильтоновых систем 368. Инварианты гамильтоновых систем 3 69. Канонические преобразования 3 70. Уравнение Гамильтона-Якоби 371. Теорема Лиувилля об интегрируемых системах 3 72.

Переменные "действие-угол" 3 73. Метод Пуанкаре — Цейпеля 3 74. Метод Биркгофа нормализации гамильтонианов 279 и 261 г64 292 296 361 зоз 304 ЗО6 Приложение Теория скользящих векторов З15 3 58. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы . 264 359. Второй закон Ньютона. Группа Галилея ......... г67 Глава 13.

Релятивистская механика .................... 269 ВвЕдение й 1. Проблема аксиоматизации классическо11 мехаиики Классическая механика представляет собой аксиоматическую систему. Понятие аксиоматической системы является общематематическим и состоит в следующем. Построение теории должно начинаться с введения основных для дальнейшего неопределяемых кашегорий, которые мы обозначим условно буквами А,В,С... Обычно эти категории имеют мазваяия, например, точка, сила и т.д.

Однако иа этой стадии роль названий минимальна. Индивидуальные свойства у обозначаемых ими объектов появляются ие тогда, когда опи вводятся, а тогда, когда они связываются друг с другом какими-то соотношениями, называемыми аксиомами. Дополнив введенную систему категорий и аксиом правилами логического вывода, мы можем как угодно глубоко развивать иа этой основе теорию, не прибегая ии к каким ссылкам на какую-либо практику или очевидность. Построемиая таким образом теория может показаться плодом чистого разума, никакой связи с природой не имеющей. Однако, если в этой природе, или какой-либо другой науке, или области человеческой деятельности, найдутся объекты, которые, будучи поставленными в соответствие с введенными А, В, С,..., окажутся в тех же отношеииях, что и предписываемые аксиомами, то все выводы построенной теории будут верны и для этих объектов независимо ии от каких других их свойств.

Установление соответствия между категориями аксиоматической системы и подобиымк объектами носит название реализации аксиоматической системы. Однако прежде чем подобную теорию строить, необходимо убедиться в "доброкачественности" фундамента, т.е. выбранной аксиоматической основы. В связи с этим рассматриваются три основные проблемы аксиоматики. 1) проблема непротиворечивости, 2) проблема мииимальпости, 3) проблема полноты. Непротиворечивость системы аксиом означает, что иа ее основе нельзя вывести посредством правильных рассуждений утверждение и отрицание одиого и того же факта. Решить проблему минимальности — значит доказать, что каждое положение системы аксиом не зависит от остальных положений, те. яе может быть получеио из иих логическим путем. Наконец, полнота системы аксиом означает воэможность доказать истинность 1или ложность) любого осмысленного утверждения, содержащего рассматриваемые объекты. ВВЕДЕНИЕ Требование построения физико-математических дисциплин на аксиоматической основе было выдвинуто Гильбертом в конце прошлого века (шестая проблема Гильберта) и рассматривалось им как необходимое условие достижения абсолютной строгости.