В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 4

Рассматривая в формуле замены переменных г = г(д1, дг, дз) по очереди каждую из переменных дг в качестве параметра при фиксированных оставшихся, получим три семейства кривых, называемых координагпммми линиями. Сами координаты дь называются криволинейными кординатами. Рассмотрим касательные к координатным линиям в текушем положении наблюдаемой материальной точки (рис.

2), Векторы, определяющие направления этих касательных, выражаются следующим образом: дг дх . ду, дг — = — 1+ — ) + — 1с = Н1е1, де1 д11 дд1 дд1 дг дх . ду . дг — = — 1+ — ) + — 1с = Нгег, дуг дуг дуг дуг дг дх . ду . дг — = — 1+ — г + — 1с = Нзез. ддз ддз ддз дуз Р..г Коэффициенты Нг ()с = 1, 2, 3) представляют собой норму векторов дг/дую а векторы ег являются единичными векторами направлений, задаваемых векторами Эти коэффициенты называются коэффициентами Ляме.

Криволинейные координаты называются ортогональнмми, если следующие скалярные произведения равны нулю; (е1 ез) =. (ег . ез) = (е1 ез) = О. Эти условия эквивалентны следующим: дх дх ду ду дг дг + — — + — — — О, если 1 ф гп. дд1 де де1 де де1 де 2 з. кинемАтикА тОчки В кРиВОлинейных кООРДинАтАх 12 Дифференциал дуги произвольной кривой дз =1|2 +ду +1|2 может быть выражен через диффереициалы криволинейных координат после подстановки сюда выражений дх ' дх дх 1|Х вЂ” 1|Ц1 + отг + отз, дд1 дуг ддз ду ду ду оУ вЂ” 41 + оуг + оЧЗ дд1 ддг ддз дх дх дх Пх = — пу1+ — газ+ 42 ду1 дуг дуз Результат подстановки приводит к квадратичной форме называемой мепгрихей ПроСтраНСтВа, вЫРаженной в координатах дь (по иидексам | и пг подразумевается суммирование ), тл = |, 2, 3). Если система криволинейных координат ортогональна, то метрика диагональна и имеет вид |зг Нгдуг | Нг дуг | Нгдуг Найдем скорость движущейся точки пг дг .

дг, дг, ч = — = — д1+ — дг+ — дз = Нгугег+ Нгдгег+ Нзузез. 1|2 ду| ддя ддз Скорость оказалась разложенной по единичным векторам еь: т = оге1 + огег + езез с компонентами гь = Ньуь Модуль скорости о = ~/ч т = Если криволинейные координаты ортогональны, то это выражение принимает вид „г + „2 + ег 1 2 3' ГЛ. П КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 20 Ускорение движущейся точки также может быть выражено через производные по времени от криволинейных координат и представлено в виде разложения по единичным векторам еь.. тт = ш1е1 + шзе2 + шзез. Для того чтобы найти компоненты шю нужно исходить из равенства д2х ~2у дгг 12г ж = — 1+ — 3+ — 1с = —, ,~12 ,112 д12 Щ12 в котором производные от декартовых координат следует выразить через производные от криволинейных координат; <~~* д х, .

дх., а дЕду "'"+ а~,дп дгу дсуде ~ ~ + дф» ' <Рх дзх ., дх „ НР ду~дд», дф (по 1 и гп суммирование). После этого надо выразить векторы исходного базиса 1, ), 1с через векторы базиса еы ем ез из системы линейных уравнений: дх . ду . дх — 1+ — ) + — 1с = Ньеь (1с = 1, 2, 3). доь ддь ддь Получающиеся таким образом компоненты ускорения шь имеют достаточно громоздкий вид и далее нигде не используются.

Более удобными оказываются ортогональные проекции вектора ускорения на единичные векторы еь. ш,„= ж . еь (/с = 1, 2, 3). Скалярные произведения здесь понимаются в обычном, евклидовом смысле. Если базис еь ортогонален, то ш„= шь Вычислим указанные проекции ш,„в общем случае.

Используя выражения для ею получим дч дг д / дг 1 д дг д1 дуь й (, ддь) огддь 1 в. кинемАтикА тОчки В кРиВОлинеиных кООРдинАтАх ы Поскольку дг, дг, дг у д1 + д2 + Чв дв1 двв двз та дт дг дув двь Кроме того, легко видеть, что поэтому д / дт '1 дт Наш„= — ~ч —,( — т <11 1, дав( два' Введем обозначение Т = гптв/2. В дальнейшем (Часть 11) для этой величины будет введено название кинетической энергии материальной точки. Используя это обозначение для проекции вектора ускорения ш на направление, задаваемое вектором еы получим Одним из приложений полученного результата является запись второго закона Ньютона гпвг = г в обшековариантной форме. Действительно, проецируя это векторное равенство на три оси еы получим — — — — = НьР„(Й = 1, 2, 3) д дТ дТ п1 дув дйь где Т = те~/2, Термин "общековариантны" означает, что эти уравнения не меняют своей формы при переходе к любым другим допустимым системам криволинейных координат.

Допустимыми считаются такие координаты, в которых могут быть выполнены все потребные операции дифференцирования и которые не нарушают взаимно однозначного соответствия между точками некоторых открытых областей в пространствах (х, у, в) и (йн вв> дз). промер. Сферические координаты: х = т сов ш сов О, у = г в(п у сов и, г = т в1п д. гг ГЛ.2.

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Роль переменных О1, е2, дз играют у, В, г, изменяюшиеся в пределах 0 < у < 2х, -я/2 < В < и/2, 0 < г < со. Коэффициенты Ляме: и,= = гсов В, и,= и Локальный базис: = ( — вшу,сову,О), = ( — совув!пВ, -в!и ув!ОВ,сов В), = (сОв усов В,в!п усОЗВ,в!ОВ). е! Е2 ез в! = гусов В, з2 = гВ, Оз = г. Модуль скорости; Функция Т: Т = — ~жатву сов'В+ г'Вг+ г2) 2 ~ 1в„= 2гусовВ+ гусов — 2гуВв1пВ, в„= 2гВ+ гВ+ гу~ сов Ваш В, 1в„= Ё — г (у2 2 В+ В2) Глава 2. Кинематика твердого тела Совокупность материальных точек, состояшая из более чем одной материальной точки, называется п2вердзсм и!елом (иногда абсолютно твердым телом), если расстояние между любыми двумя точками этой совокупности неизменно.

Вращением твердого тела называется Нетрудно видеть, что базис ортогонален. Разложение скорости в локальном базисе: з В, СПОСОВЪ| ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ЗЗ такое его движение, при котором по крайней мере одна точка тела все время неподвижна в выбранной системе отсчета.

Произвольное движение твердого тела в пространстве складывается из движения какой-нибудь одной точки этого тела и вращения тела вокруг этой точки. Кинематике точки была посвящена предыдущая глава. Настоящая глава посвящена кинематике вращательных движений твердого тела. й 6.

Способы задания ориентации твердого тела 1. Углы конечного вращения. С любым твердым телом может быть жестко связан координатный трехгранник (триедр), в котором все точки тела неподвижны. Начало этого координатного трехгранника удобно поместить в неподвижную точку. Ориентация твердого тела определяется как ориентация одного триедра, (жестко связанного с телом), относительно другого, принимаемого за неподвижный.

Исторически первый способ задания ориентации — углы Эйлера (рнс. 3). Углы 4,0 и у, задающие ориентацию подвижного триедра (г~~ относительно неподвижного сух, представляют собой углы в* Рис. 4 Рнс. 3 плоских поворотов, на которые надо было бы мысленно повернуть неподвижный триедр до совмещения его с подвижным. При этом первый поворот осуществляется в плоскости ху на угол ф, второй в плоскости ух на угол 0, третий — снова в плоскости ху на угол у. Заметим, что плоскость ух после первого мысленного поворота изменила свою ориентацию по отношению к неподвижному пространству. То же можно заметить и про плоскость яу в связи со вторым поворотом, Угол 4 носит название угла прецессии, угол 0 — угол нутации, угол у — угол собственного вращения, Важно иметь ввиду ГЛ. 2.

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА следующее обстоятельство. Три числа ф, 0 и 1о, определяющие ориентацию твердого тела, не являются наблюоаемммщ как это имело место в случае декартовых координат материальной точки. Указанные повороты, наполняющие конкретным содержанием углы ~Р, О, 1о, представляют собой воображаемую конструкцию, которая может быть и иной. Например, одной из распространенных в настоящее время последовательностей поворотов является изображенная на рис. 4 (углы Крылова — Булгакова). Здесь углы а, 13 и т позволяют мысленно совместить неподвижную систему с подвижной, совершая первый поворот вокруг первой оси на угол а, второй поворот вокруг второй оси на угол (г и третий поворот вокруг третьей оси на угол т.

Символически эту последовательность можно изобразить так: 1-2-3. Можно представить себе и другие последовательности поворотов; например, последовательность 3 — 1 — 2 означает, что первый поворот выполнен вокруг третьей оси, второй — вокруг первой и последний поворот вокруг второй оси.

Последовательность, образующая углы Эйлера, записывается так; 3-1-3. Совокупность возможных последовательностей называется сисгпемой углов конечного вращения. Все последовательности поворотов могут быть разбиты на четыре класса: 1 1-2-3, 3-1-2, 2-3-1; П 1-3-2, 2-1-3, 3-2-1, 1П 1 — 2 — 1, 2-3 — 2, 3-1-3; !Ч 1 — 3 — 1, 3-2 — 3, 2-1 — 2. В 1 и П классах повороты осуществляются вокруг всех трех осей, в П1 и 1Ч классах одна из осей пропущена. Для удобства описания свойств выделенных классов в П! и 1Ч классах изменим обзначения последовательностей поворотов; на первом месте будет стоять номер оси, вокруг которой поворот осуществляется дважды, а на третьем месте — номер оси, вокруг которой вращения нет. Например, в случае углов Эйлера 3-1-3 обозначение этой последовательности принимает вид 3-1-2.

Так что последние два класса переписываются в виде П! 1Ч В этих обозначениях в один класс попадают все последовательности поворотов, которые получаются одна из другой четной подстановкой (напомним, подстановка называется четной, если она состоит из четного числа инверсий двух соседних элементов). Переход от класса ! к классу П, а также от класса П1 к классу 1Ч осуществляется нечетной подстановкой. Все последовательности поворотов, принадлежащие одному классу, являются эквивалентными между собой в том смысле, что при одних и тех же числовых значениях углов а, ф, т положение тела, задаваемое одной последовательностью, отличается от положения 1 6, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 23 тела, задаваемого другой последовательностью, поворотом тела вокруг биссектрисы координатного угла на угол ж120а.

Таким образом, из двенадцати возможных последовательностей поворотов вокруг координатных осей существенно различными являются лишь четыре. Последовательности из 1 и П класса называются углами конечного вращения первого рода. Последовательности из 1П и Ю~ — углами конечного вращения второго рода, Нижеследующая теорема доказывает, что для определения положения твердого тела трех углов достаточно. Теорема. Любое положение твердого тела может быть получено тремя последовательными плоскими поворотами из любого начального положения любым из указанных выше способов, ,1уоказательство проводится одинаково для любого из четырех классов, Для определенности остановимся на 1 классе (углы Крылова — Булгакова).

Обратимся к рис. 5, Пусть триедр Щ произвольно ориентирован относительно триедра хуг. В общем случае плоскость уг пересекается с плоскостью (О по прямой Если плоскости совпадают, то это означает частный случай, когда триедр хуг удается совместить с триедром (0~ двумя или даже одним плоским поворотом. Если случай общий, то прямая 1 существует и поворотом триедра хуг вокруг оси х ось у можно совместить с прямой 1. Поскольку на прямой ! не определено направление, то минимальный угол этого поворота лежит в пределах 0 < гг < к. В новом положении триедра хуг его ось у перпендикулярна оси ~ (поскольку прямая ! перпендикулярна оси Г).