В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 6

Для матрицы поворота вокруг оси х, вычисленной в последнем примере, имеем азг = з1пР, агз = — з1пуг, агз = аз! = 022 = агг = О. Следовательно, х = х1, у = О, з = О. Таким образом, в полученном решении следует оставить знак плюс. Собственные векторы для комплексно сопряженных собственных чисел Лг з = соз уЫз1п гг являются тоже комплексно сопряженными: Вгз — — Р ~20. Покажем, что три вещественных вектора В, Р, Я представляют собой правую, ортогональную систему векторов. Вначале вычислим произведение (АВ.1) В.г. С одной стороны, т (АВг) Вг = В.1 Вг.

С другой стороны, (АВг) Вг = В1 А Вг = ЛзВг Вг. Использован тот факт, что Вг есть собственный вектор матрицы А с собственным значением Л = 1/Лг — — Лз. Сравнивая оба результата, видим, что если Лз ф 1, то В.г В.г = т = О, откуда следует, что В.т Р = О и й Я = О. Поступая как в предыдущем случае, получим, с одной стороны, (АВ2) Вг = Л2В2~ Вг, Добавленное последнее уравнение вызвано желанием получить соб- ственные векторы единичной нормы. Эта система имеет два реше- ния, отличающиеся знаком: з 6. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА с другой стороны, (АКг) Вг = ЛзКг Вг Сравнивая результаты, видим, что если Лг ф Лз, то Кт .

В.г — — О или Рг — 11г+ 2гРТ(е = О, откуда Рг = ь1г и Р ь» = О. Случай Л1 = Лг = Лз — — 1 означает тождественное преобразование А = Е, для него все векторы собственные, так что всегда найдутся взаимно ортогональные. Осталось показать, что система Р, Ц, В. является правой, Для этого найдем собственные векторы для комплексных собственных значений для частного случая поворота вокруг оси и, рассмотренного в последнем примере. Система для нахождения Кг имеет вид АКг = ЛгВг, или (1 — сов~р — гв1п1о)х = О, -г'в1п1о у — в1п уг г = О, в1п~р у — гв1пуг г = О. Из нее следует: к=О, у=1, Так что собственный вектор В.г = Р— гь) имеет вид Вг= 1, Р= 1, Ц= О Система К= О, Р= 1, а= О является правой.

Поскольку общий случай отличается от рассмотренного преобразованием с положительным детерминантом, то доказанное верно и в общем случае. Сеопсигво 9. Любое ортогональное преобразование пространства эквивалентно повороту пространства вокруг собственного вектора В. на угол ~р. Действительно, перепишем уравнение АВ» = Л»К» для каждого собственного вектора в вещественной форме: АР = Рсоа»о+ Яв1п1о, А(3 = -Р в1п ~р + (3 сов уг. ГЛ.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 32 Если оси исходного триедра 1,1,(с выбрать направленными по век- торам В., Р, Сг, то В.= О, Р= 1, а= О и из полученных соотношений следует 1 О О (АН,АР,АС)) = А = О созР— з(пР О з(пР сову т.е. в базисе В.,Р,Сг ортогональная матрица имеет вид матрицы плоского поворота вокруг вектора В на угол Р, Следсгпвие (Теорема Эйлера).

Любое перемещение твердого тела с одной неподвижной точкой может быть заменено плоским поворотом вокруг некоторой оси па некоторый угол. В свойстве 9 вычислено иаправление этой оси и соответствующий угол. 3. Кватерниоиы. Рассмотрим четырехмерное векторное пространство иад полем вещественных чисел. Любой элемент этого пространства Л в каком-либо базисе го, гы 12, 1з имеет вид Л = Ао1о+ А111+ Аггг+ Аз1з Вещественные числа Ло, Лы Лг, Лз называютсЯ кооРдинатами вектора Л в заданном базисе. Векторное пространство превращается в алгебру, если в нем определено произведение двух векторов, ставящее им в соответствие третий вектор. Закон умножения должен быть ассоциативным: (Л о М) о Л/ = Л о (М о Л/') для любых трех векторов.

Оп должен быть дистрибутивиым: (Л + М) о (ЛГ + Е) = Л о Л~ + М о Л/+ Л о Е + М о й для любых четырех векторов. Наконец, этот закон обязан удовле- творять условию (ЛЛ) о (пМ) = ЛпЛ о М, где Л, р — произвольные вещественные числа, Л, М вЂ” произвольные векторы. Заметим, что это определение алгебры годится для векторного пространства любой размерности. При этом размериостью алгебры называется размерность ее как векторного пространства. Также заметим, что коммутативность операции умножения ве предполагается. 1 б. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 33 В силу этих требований для того чтобы знать произведение любых двух векторов, достаточно знать таблицу умножения векторов базиса.

Четырехмерные векторы назь$ваются,кватаернионами, если умножение их, удовлетворяющее сформулированным требованиям, задается следующей таблицей умножения ортов: 1О О 12 $О12 о1О = 1$, Л = О, 1, 2, 3, 1$ О1$ = — 1а, /$ = 1, 2, 3, 11 О $2 =$3, 12 О 13 = 11, $3 О 11 — 12, 12О11 = — 13, 13О12 = 11, 11О1З = 12 Введенная абстрактнаи алгебра кватернионов допускает различные интерпретации.

Для того чтобы помять, чем абстрактное определение отличается от интерпретации, обратимся к примеру алгебры комплексных чисел. Эта алгебра построена на базе двумерного векторного пространства Л = ЛО1О + Л11$ со следующей таблицей перемножения ортов: 1О О 1О = 13, 1О О 11 = 11 О 1О = 1$ 1$ О 11 = -1О Укажем три различные интерпретации комплексных чисел .

Геометрическая и$$терпрегпация. Каждый вектор Л понимается как направленный отрезок прямой в геометрической плоскости. Матричная и$$тлерпреягация. Если под 1О понимать матрицу 1 0$ Го -1Л , а под 1$ — матрицу $Л $, то векторное пространство матриц вида О 1 +Л' 1 О Л Л с обычным правилом произведения матриц подчиняется введенным выше правилам умножения в абстрактной форме. Числовая инп$ерпрегпация. Если под 1О понимать веществепмое число 1, а под 11 — мнимое число $/ — Т, то векторное пространство чисел вида л=л,+л„/:Т также подчиняется введенным правилам умножения.

Вернемся теперь к кватернионам. Важнейшей их интерпретацией является геометре-числовая интерпретация. В этой интерпретации орт 1О отождествляется с вещественной единицей, а орты 1$, 12, 13 являются ортами некоторого базиса трехмерного евклидова пространства. Таким образом, любой кватернион может быть записан так: Л = Ло + Л$1$ + Л212 + Лзгз = Ло + Л, Ло б Я , Л б Е . ГЛ. К КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 34 Если при этом определить правила произведения трехмерных ортов как 1ь о 1ь = — 1, 1г о ц = 1г х ц (А ф 1), то произведение любых кватернионов будет подчиняться введенным выше правилам в абстрактной форме (здесь 1г х ц — обычное векторное произведение в трехмерном пространстве). В дальнейшем в этой интерпретации мы будем часто использовать традиционные обозначения ортов: 11 = 1, 1г =1, )з = )с.

Эта интерпретация позволяет выписать формулу произведения двух произвольных кватернионов Л = Ла+ Л, М = па+ 1г, ЛоМ = Ла1го — Л 1г+ Ла1г+наЛ+Л х 1г Матричная интерпретация кватерниоиов (спиновые матрицы Паули) будет изложена далее. Для того чтобы векторное пространство превратить в алгебру, таблица умножения ортов может выбираться произвольно. Та конкретная таблица, которая предложена выше, обладает уникальным свойством: она и только она позволяет во введенной алгебре кватернионов построить деление, т,е.

определить операцию, обратную введенной операции умножения. Заметим, что в конечномерном пространстве алгебру с делением можно ввести только в трех случаях: алгебра вещественных чисел, алгебра комплексных чисел и алгебра кватернионов. При этом первые две коммутативны (Теорема Фробениуса). Введем понятие сопряженного кватерниона: л=л +л, л=л — л и нормы кватерниона ЦЛЦ=АоЛ=ЛоЛ=Лаг+Л1 +Лг +Лз Основные свойства операции умножения. Свойство 1. Введенное произведение некоммутативно: ЛоМфМоЛ, поскольку 1г о ц ф ц о ц, (/с ф 1). Своаство 2.

Сопряженный кватернион от произведения двух и более кватернионов равен произведению сопряженных кватернионов в обратном порядке: ЛоМ = М оЛ. Действительно: (Ло + Л) о (да+ 1г) =Лоро — Л 1г — Ло1г — аоЛ вЂ” Л х 1л, (да+ 1г) (Ла+Л) =Лоро — Л 1г — Ло1г — роЛ+1г х А. ~ 6. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ЗЗ Свойство 3. Норма произведения равна произведению норм: 'ОЛ о Мй = (Л о М) о (Л о М) = Л о М о М о Л = ((ЛО 'ОМО. Свойсшво 4. Операция произведения кватернионов инвариантна по отношению к ортогональным преобразованиям векторной части кватернионов.

Сказанное означает следующее. Пусть умножаются два кватерниона Л = Ло+Л и М = рэ+м и в результате получается кватернион А/ = па+и. Если перед тем «ак умножать, в векторной части осуществить ортогональное преобразование: Л' = АЛ, М' = Ам и после этого перемножить преобразованные таким образом кватернионы Л' = Аэ+ А', М' = Ив+ м', то получится кватернион, равный Лг' = ив+ Ап. То есть операции перемножения кватернионов и ортогонального преобразования векторной части можно переставлять местами.

Это свойство следует из того, что в формуле для произведения кватернионов скалярное произведение Л м не изменяется при ортогональных преобразованиях, а векторное произведение Л х м, как известно, обладает свойством инвариантности. Свойство 5. Для любого ненулевого (ОЛ)! 11 О) кватерниона существует обратный. Легко видеть, что этим свойством обладает кватернион Л '= —. 'ОЛ)! Кватернионы, рассматриваемые в числовой интерпретации, носят также название гиперкомплексных чисел, Для гиперкомплексных чисел основная теорема алгебры неверна. Пример.