В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 5

Значит, вторым поворотом триедра ху» вокруг оси ! (или у) можно совместить ось г с осью ~. Поскольку необходимо обеспечить и совпадение направлений этих осей, то минимальный угол этого поворота лежит в пределах 0 < !у < 2к. После второго поворота плоскости ху и (а! Рис. б Рис. 5 2 зак 233 ГЛ. 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРЛОГО ТЕЛА 2б оказываются совпавшими, и для полного совмещения трехгранников достаточно повернуть триедр куз вокруг оси з па угол 0 < Т < 2|г. Теорема доказана. На рис. 6 изображен параллелепипед, у которого противоположяые грани отождествлены и каждой точке которого соответствует единственное положение твердого тела.

При этом в силу доказанной теоремы оказываются исчерпанными есе положения тела. Между тем взаимно однозначного соответствия между положениями тела и точками изображенного параллелепипеда иет. Если угол Д равен я/2 или Зя/2, то ось з после второго поворота занимает положение оси я и третий поворот складывается с первым поворотом, образуя единый плоский поворот а+Т. Иными словами, множеству точек а+Т = сопз~, ф = я/2 соответствует одно положение твердого тела. Если ф = 3я/2, то этим свойством обладает множество а — у = сопзк Этот факт является общим для углов конечного вращения первого рода.

Для углов второго рода плоскостями, в которых нарушается единственность представления положений твердого тела тремя углами, являются плоскости 9 = 0 и ~у=я. Это неудобство углов конечного вращения заставляет искать другие способы задаиия положений твердого тела, не имеющих указанных вырождений. 2. Ортогопальные матрицы. Поворот твердого тела математически может быть задан как линейное отображение трехмерного евклидова пространства в себя, при котором расстояния между произвольными точками неизменны. Такие отображения называются орпзогомальимми. Пусть вектор хь задан в триедре яуз (нам удобно здесь его представлять как матрицу-столбец): Преобразованием поворота этот вектор отображается в вектор Н'.

=Я Само преобразование в триедре куй задается матрицей А: В.' = АН, имеющей вид < ам аю а за а21 агз азэ 8 6. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 27 Из определения поворота следует равенство скалярных квадратов векторов В. и В.': К К=В.' К', откуда вытекает К К АК АК К АТАК И, следовательно, А А = Š— произведение транспонированной ма- т трицы на саму эту матрицу равно единичной матрице. Это условие означает, что столбцы матрицы А представляют собой ортонормированную систему (сумма квадратов элементов столбца равна единице, а скалярное произведение различных столбцов друг на друга равно нулю). Такие матрицы называются орпгогоиальнмми.

Пример. Рассмотрим преобразование поворота на угол 1о вокруг оси х. Поскольку первая координата вектора В. при этом не изменяется, будем считать, что он целиком лежит в плоскости уг (рис. 7), Для установления связи координат преобразованного вектора у', г' с координатами исходного вектора у, г повернем треугольник О О у' у Рис.

8 Рис. 7 ОуК на угол р так, чтобы К совместилось с В.' (рис. 8). Из полученного рисунка непосредственно видно, что у' = усов 1о — г 81п 1о, г' = у81п1о+гсо81о. Если вектор К не лежит в плоскости поворота, то к этим двум соотношениям следует добавить х' = х и матрица поворота вокруг оси х принимает вид 1 О О А = О сову — 81п1о О 81п 1о соа ~р Аналогично можно установить, что матрицы поворотов вокруг осей у и г соответственно имеют вид < сову О 81п 1о со8 ~ — 8!п 1о О О 1 О, 81п~р сову Π— 8!п1о О с0898 О О 1 ГЛ.2.

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 28 Здесь учтено, что в плоскости гг положительным является поворот от оси г к оси х. Отметим важнейшие свойства ортогональных матриц. Свойство 1, Из равенства бег (АТА) = 1 вытекает бе1А = ~1. Свойсп2во 2. Из алгебры известно, что если с(ег А ф О, то существует и единственна матрица, обозначаемая А ' и удовлетворяющая свойству А 'А = АА ' = Е. Это означает, что в случае ортогональных матриц Ат = А ' и ААт = Е, т.е.

не только столбцы представляют ортонормированную систему, но и строки тоже. Свойсозва 3. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Действительно, пусть А и  — ортогональные матрицы, и рассмотрим С = АВ, Тогда С = (АВ) = В" А". Что влечет С С = В А" АВ = Е. Свойство 4. Поскольку операция произведения матриц является ассоциативной, то из предыдущих двух свойств вытекает, что множество всех ортогональных матриц образует группу.

(Напомним, в алгебре группой называется любое множество элементов, в котором есть единица и для каждого элемента существует обратный в силу единственной ассоциативной операции. См. гл. 11.) Эта группа имеет стандартное обозначение 0(3). Множество ортогональных матриц с положительным детерминантам образует подгруппу. Ее обозначают 50(3). Читается это обозначение так: специальная, ортогональная группа преобразований трехмерного пространства в себя.

Свойстиво 5. Между всеми ортогональными матрицами (дегА = = 1) и всеми поворотами твердого тела существует взаимнооднозначное соответствие. Действительно, рассмотрим образ первого единичного вектора триедра гуг: 1' = А1 = аг~ а22 а28 0 = а21 т.е. образом первого орта является первый столбец матрицы А Аналогично для остальных. Но это значит, что если задана ортогональная матрица, то однозначно определяется положение нового триедра. И обратно, если задано положение нового триедра, то, выбирая его орты в качестве столбцов матрицы А, получаем однозначное определение этой матрицы. При этом номер столбца соответствует номеру орта, что влечет за собой с(е1А = 1. Итак, группа о0(3) является основной математической моделью множества всех поворотов твердого тела. Она представляет собой конфигурационное многообразие твердого тела с одной неподвижной точкой.

2 З. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 2Э Свойсгпзо 6. Элементы ортогональной матрицы равны их алгебраическим дополнениям. Действительно, используя правило вычисления обратной матрицы, имеем А 1 = (Ац) /г(еГА. Рассмотрим лишь матрицы с дегА = 1 и, учитывая, что Аг = А 1, находим а1 — — А; . Свойство 7. Определим действие ортогонального преобразования на комплексный вектор: А (Р + 111) = АР + 1Аь1, где Р и ь1 — вещественные векторы.

Если определить норму комплексного вектора как (Р+1Щ = то свойство ортогональных преобразований сохранять норму вектора распространяется и на комплексные векторы. (Звездочкой обозначен эрмитово сопряженный вектор, получающийся иэ исходного транспонированием и заменой 1 на -21) Свойсгнво 8. Собственные векторы и собственные числа ортогональных преобразований. Собственные векторы удовлетворяют условию АК = ЛР, где Л— числовой коэффициент.

Поскольку ортогональное преобразование не изменяет длину вектора, то (Л) = 1. Собственные числа находятся из уравнения бес (А — ЛЕ) = О, которое, используя свойство 6, можно получить в виде Лз — Л212А+ ЛсгА — 1 = О. Здесь след матрицы гг А = а|1+а22+азз. Это уравнение имеет очевидный корень Л1 — — 1, Для двух других получаем 'зг А — 1 (сг А — 1) Л23= ~ — 1. Поскольку модуль равен единице, то тригонометрическая форма этого выражения в общем виде такова: Л 2, з = соз 22 ш 1з(п у.

Следовательно ггА — 1 сов 22 = 2 Для нахождения трех собственных векторов Кь (к = 1, 2, 3), соответствующих трем собственным числам Лю следует решить три однородные системы Айь = ЛьЯы Первое собственное число— вещественное, вещественным будет и первый собственный вектор ГЛ.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА зо для нахождения которого имеем (аы — 1)х + аггу+ агах = О, аых+ (агг — 1)у+ агзг = О, азгх+ азгу+ (азз — 1)г = О, х +у+а =1, 032 — 023 х=~ 2з)п10 агз — азг ащ — ащ у=х, г=~ 2з1п уг ' 2з1п уг Выбор знака определим условием: поворот вокруг координатной оси на положительный угол должен осуществляться против часовой стрелки, если смотреть на него со стороны положительного направления оси.