Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики

В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 10

DJVU-файл В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 10 Теоретическая механика (2704): Книга - 4 семестрВ.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики: Теоретическая механика - DJVU, страница 10 (2704) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 10 - страница

5 Э. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА 55 -.'..:.'.:) (!). + — 51пу сову О О + О со = — 51пу сову О О р р = ~Ввспув|пд+ дсову, со = в ', е = усовув!п — Вв!пу, г = усовВ+ у. Если нам задана угловая скорость тела р(С), в(й), г(М) и необходимо найти его положение в углах Эйлера, то следует решить систему дифференциальных уравнениЯ рв1пу+ усову Фс" В Ф'= 51п В В = р сов у — е 51п у, у = г — (раппу+ д сов у)стйВ. Ф Перед нами система нелинейу ных уравнений с переменными У" коэффициентами, имеющая осо- В В бенность в точке В = О. Ф у' Более удобными уравнения- х М ми для решения задачи нахо- х,х ждения положения тела по его скорости являются Рис. 17 5.

Уравнения Пуассоиа. Пусть вращение тела описывается в основных переменных, определяющих положение тела с одной неподвижной точкой, т.е. в элементах группы оО(3): А(1). Тогда положение любой точки тела в пространстве яуг есть г' = А(1)г, а ее скорость г' = А(М)г = А(М)А (С)г'. Воспользовавшись формулой Эйлера в матричной форме, получим Пг' = А(~)Ат(~)гг Эти скорости надо сложить, предварительно спроектировав их на оси Щ: ГЛ. 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА откуда следует А = ЙА Это и есть уравнения Пуассона в проекциях на оси луг.

Для записи его в проекциях на оси (0~ достаточно заметить, что ш, 0 — ы, =А г 0 — р А И в проекциях на собственные оси получаем А = АП, Эти уравнения обладают существенными преимуществами по сравнению с кинематическими уравнениями Эйлера — ояи линейны и не имеют особенностей. Их недостатком является более высокая размерность по сравнению с последними. Линейные кинематические уравнения минимальной размерности можно получить в кватернионах. Как следует из п. 1 настоящего параграфа, эти уравнения имеют вид 2Л=ыоЛ в осях вух, 2Л = Лош в осях Щ.

Основным свойством уравнений Пуассона является то, что в отличие от общего случая линейных систем, когда для построеиия общего решения яеобходимо знать столько линейно независимых частных решений, каков порядок системы, здесь для построения общего решения достаточно знать единствениое частное. Покажем зто. Пусть известно какое-то частное решение А,(1). Будем искать общее решение в виде А(1) = САг(1), С вЂ” некоторая постоянная ортогональная матрица.

Общее решение будет найдено, если можно найти С так, чтобы удовлетворить любым наперед задаяиым начальным условиям А(0) = Ао.. А(0) = СА (О) = Ао => С = АаАТ(0) Следовательно, общее решение имеет вид А = АоА~(0)А,(1). 1 9. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА Таким образом, оказывается, что все решения конгруэнтны друг другу, поскольку получаются одно из другого преобразованием поворота, б. Теорема о телесном угле*. Как следует из изложенного выше, кинематические уравнения твердого тела, записанные в любой форме, имеют существенно более сложную структуру, чем кинематические уравнения материальной точки 1 = о,(г). я = о,(г), у = ор(г), Если проекция скорости точки на какую-либо ось равна нулю (например, о,(г) = 0), то и изменение соответстующей координаты (в данном случае я) отсутствует.

Не так дело обстоит с твердым телом. Если угловая скорость тела в проекции на какую-либо ось равна нулю, то тело вокруг этой оси неподвижным не остается. Прежде чем сформулировать этот факт точно, заметим, что он связан с тем, что в отличие от материальноЯ точки, конфигурационное многообразие которой есть трехмерное евклидово пространство, многообразие положениЯ тела с одной неподвижной точкоЯ евклидовым не является.

Теорема. Если некоторая ось 1,жестко связанная с телом, описала в процессе движения тела замкнутую коническую поверхность и при этом проекция угловой скорости тела на эту ось была равна нулю; 1 ог = О, то после возвращения оси 1 в исходное положение $ тело оказывается повернутым во- Е круг нее на угол, равный телесному углу описанного конуса. Г М Доказательство удобно про- Ф вести, воспользовавшись для задания подвижного триедра Щ "географическими" координатами (рис.

18) . Положение подвижно- У го триедра Щ относительно неподвижного яуг задается тремя углами: Ф вЂ” долгота, у — широта и — азимут. Чтобы не загромо- Рис. 19 ждать рисунок, центр подвижного трехгранника смещен из центра неподвижного. Ось 1, о которой идет речь в теореме, совпадает с осью г, и описывает на поверхности единичной сферы замкнутую кривую Г. Внарвыа доказана А.Ю,Иоганновны в 1952 а 4 Зак 233 ГЛ, 2.

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Выразим явно через введенные углы 4~, 1о, т условие ы 1 = = О. Воспользуемся правилом сложения скоростей. Скорость у перпендикулярна плоскости меридиана и, следовательно, проекции на ось ч не имеет. Проекция скорости 4~ на эту ось равна 4в1пу. Скорость ( проектируется в натуральную величину. Следовательно, ы 1= г = у+ 4з1п~р = О. Отсюда имеем х = — ~з1п уды.

уг Воспользовавшись теоремой Грина, получим к = ~/ ~~~~1 = /~ Ы5 = Я вЂ” площадь участка поверхности сферы внутри кривой Г. По определению это и есть телесный угол конуса с образующей Г. Теорема доказана. Теорему нетрудно проиллюстрировать. На рис. 19а изображено тело в начальном положении. Жестко связанная с телом ось будет описывать замкнутую коническую поверхность.

Полное движение, в котором ось ~ возвращается в исходное положение, состоит из трех простых поворотов (рис. 19б — г). На каждом этапе выполнено ы.1.Г. Кривая Г, которую описала ось ~ на единичной сфере, представляет собой восьмушку сферы. По доказанной теореме поворот вокруг оси ~ должен быть равен х/2, что хорошо видно на рисунке. Доказанная теорема допускает небольшое обобщение. Если в условиях теоремы проекция абсолютной угловой скорости ш на ось 1 является известной функцией времени. ы 1=ьч(1), то уравнение для нахождения угла поворота тела имеет вид т+ фз1пу = ьч(1).

Отсюда гт т = — ~з)п~оН4+ / ьЛ(1)й, уг Л где Т вЂ” время обхода контура Г. И, окончательно гт Х = ~+ / ьч(!)сй. о Результат, аналогичный доказанному, имеет место и в том случае, если ось, в проекции на которую угловая скорость тела задана, является неподвижной не в теле, а в неподвижном пространстве. 9 9. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА Рис. 19 Теорема. Если тело движется так, что некоторая неподвижная в пространстве ось (например, г) описала в теле замкнутую коническую поверхность и проекция угловой скорости тела на эту ось задана: ы, = м,(1), то угол поворота тела вокруг этой оси равен т ы,(1)й — о, о где о' — телесный угол конуса, описанного неподвижной осью в теле, а Т вЂ” время обхода конуса.

,0оказотельстео легко получается, если принять неподвижным вращающееся тело и считать вращающимся вокруг него ранее неподвижное пространство. Тогда угловая скорость пространства ео ГЛ. 3, КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЪНОГО ДВИЖЕНИЯ относительно тела равна угловой скорости тела относительно пространства, взятой с обратным знаком; — ш. Для определения положения пространства относительно тела справедлива доказанная выше теорема: т Х = о "'*(~)ш о а поскольку угол поворота пространства относительно тела равен углу поворота тела относительно пространства, взятому с обратным знаком, то это и завершает доказательство.

Глава 3. Кинематика относительного движения Рассмотренные выше раздельио кинематика точки и кинематика твердого тела сочетаются в настоящей главе, в которой мы задаемся вопросом; как подсчитать скорости л и ускореиия материальной точки относительно некоторой неподвижной системы отсчета яуг, если мы г знаем, как движется точка в неко- торой подвижной системе отсчета О Щ, причем движение Щ относи- тельно яуг тоже известио (рис. 20). гО Мы будем полагать известными 4 в проекциях иа подвижные оси (система отсчета наблюдателя) следующие величины; х у тв(~) — скорость точки О; р.го шэ(~) — ускорение точки О; ы(1) — угловая скорость системы Щ отяосительио системы зуг; Ы г = и — положение точки в подвижной системе; М ч„„= г = и — скорость точки в подвижной системе; С Ы эг„„ = г = й — ускорение точки в подвижной системе.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее