В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 8

Важнейшей задачей кинематики твердого тела является задача сложения двух или нескольких поворотов, т.е. задача вычисления по параметрам составляющих поворотов параметров результирующего поворота. Пусть, например, положение некоторого трехгранника х'у'х' определено углами Эйлера фп йп у1 относительно неподвижного трехгранника хух, а положение твердого тела, с которым жестко скреплена система щ определяется углами ~ум Ом ух относительно трехгранника х'у'х'.

Требуется найти углы 4з, Оз, уз, определяющие положение тела относительно исходной системы хух. Эта задача в углах конечного вращения вообще и в углах Эйлера в частности имеет очень громоздкое решение. Между тем в ГЛ.г. КИНЕМАТИКА ТВКРДОГО ТЕЛА матрицах или в кватернионах операция сложения поворотов есть основная операция соответствующей группы (группы 50(3), или группы единичных кватернионов). 1. Группа 50(3). Если после преобразования поворота В. + К' с матрицей А В'=Ай осуществляется новое преобразование В' -+ В» с матрицей В К" = ВВ.', то результирующее преобразование  — ~ В!', очевидно, получается так: К" = ВВ.' = ВАВ..

Матрица С = ВА, равная произведению матриц составляющих поворотов в обратном порядке, и есть матрица, задающая суммарный поворот. До сих пор мы смотрели на ортогональное преобразование как на оператор, отображающий пространство в себя. Система координат, в которой записывалась матрица этого преобразования, была неизменной. Это так называемая ахпсивнал точка зрения на преобразование. Можно, однако, образы единичных векторов с, ), 1с, т.е. Г,)',1с', рассматривать как базис новой системы х'у'х', а ортогональное преобразование — как преобразование координат.

Сами векторы при этом считаются неизменными (пассивная точка зрения). Чтобы подчеркнуть, что рассматриваемый вектор В неизменен (меняются только его координаты по отношению к новому базису) мы будем пользоваться обозначением В~'). Выясним, как подсчитываются координаты вектора К в новом базисе. Образы ортов исходного базиса имеют вид 1' = Ас, 3' = А3, 1с' = А1с. Подставляя их обратное преобразование ; — Ат 3 — Ат3' в разложение В = х)+ у3 + г1с, находим Ат)~+ УАт1 + хА 1,~ — А~сх1~+ У1с+ хь~) В новом базисе матричная форма записи самих ортов такова. с'= О,,осе 1, 1с'= 0 1 7. СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ 43 В новом базисе матричная форма записи самих ортов такова: 1'= О, )'= 1, 1с'= О позтому последнее соотношение можно переписать как НИ ~( Ат у ВО) Атн Пусть теперь осуществляется переход к новому базису 1', )', 1с' — > 1", )",1св посредством ортогонального преобразования В: = В1',3" = Вз',)с" = В)с'. Тогда, в соответствии с изложенным: хь~'О = В хьи = В А Н = С 8., т.е.

матрица полного преобразования координат есть С= АВ. Это и есть формула сложения поворотов с позиций преобразования координат. Подчеркнем принципиальные различия двух точек зрения при сложении поворотов. Акшивиав точка зрения. Матрицы последовательных поворотов перемножаются в обратном порядке. Все матрицы вычисляются в общем для всех базисе 1,,), 1с. Пассивная точка зрения. Матрицы последовательных поворотов перемножаются в прямом порядке. Каждая матрица рассматривается в поворачиваемом ею базисе (А в 1,,), 1с, В в Г,2', 1с' и т.д.) Пример. Тело повернули вокруг оси з на угол к/2, затем вокруг оси у на угол к/2 (рис.

12). Найти матрицу результирующего поворота. По смыслу постановки задачи здесь речь идет об активной точке зрения на преобразование. Матрица первого поворота 1 О О А = О сову — визу, у = —. 2 О в1пу сову ГЛль КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 44 Матрица второго поворота В= О 1 О у=2 Матрица результирующего поворота С=ВА= 0 1 0 0 0 -1 = 0 0 — 1 Например, вектор диагонали параллелепипеда переходит в новое положение К'=СЕ= 0 0 -1 2 = -1 Этот же пример может быть решен и при помощи пассивной точки зрения на преобразование 1рис. 13), Матрица первого поворота та же, что и в предыдущем случае. У' Рис.

13 Матрица второго поворота В должна быть записана в новых осях: сову — вшу 0 В = в1пу сову 0 0 0 1 Матрица результирующего поворота С=АВ= 0 0 — 1 — 1 0 0 = 0 0 — 1 З г. СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ 45 В рассмотренном примере оба способа вычисления матрицы С оказываются эквивалентными по сложности. В разных задачах могут оказаться предпочтительными разные подходы, Пример. Выразить матрицу конечного поворота через углы Эйлера. Напомним (см.

З 6) последовательность поворотов в данном случае: хуг — ~ х'у'г' — ! х"у" г" — ~ Щ, при этом угол !р есть угол поворота вокруг осн з, угол д — угол поворота трехгранника х'у'г' вокруг оси х', угол !р — угол поворота трехгранника х"у"г" вокруг оси х" (см, рис, 3), При решении этой задачи также можно воспользоваться как активным, так и пассивным представлением ортогонального преобразования, Однако в этом примере пассивное представление намного удобнее, поскольку матрицы составляющих поворотов здесь выглядят намного проще в промежуточных осях, чем в общей, исходной системе хух. Матрица первого поворота сов !д — в!и Ф О Ф = япф сов!д О О О 1 Матрица второго поворота 1 О О 0 = О совд — япд О в!Пд совд Матрица последнего поворота сов гг — яп !р О Ф = в!пя сов!р О О О 1 Матрица результирующего поворота Аг! Агг Агз А = ФОФ = Ая Агг Агз Аз! Азг Азз ГЛль КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА где А ы — — сов 1а сов 4~ — в1п 1о сов д в 1п ф, А1з = — в1п ф сов ф — сов у сов д в1п ф, А|з —— в1п дв1п Ф, Аз1 —— сов 1о в1п ф + в1п у сов д сов й, Азз = — в1п у в1п ф + сов Рсоа д сов Ф, Авз = — в1пд сов Ф, Аз1 = в1п зо в1п д, Азз = сов ав1п д, Азз = совд.

2. Кватернионное сложение поворотов. Как и в случае матриц, сложению поворотов отвечает произведение кватернионов, при этом активная и пассивная точки зрения на преобразования имеют существенные отличия. Активная точка зрения. Пусть первый поворот задан кватернионом Л: В' = Л о В о Л, после чего выполнен второй поворот (кватернион М) В." =М.В."М. Следовательно, результирующий поворот В.н = М о Л о В.

о Л о М = М о Л о В. о (М о Л) задается кватернионом ЛГ = М о Л. Как и в случае матриц, сложению поворотов в случае их активного представления отвечает произведение кватернионов составляющих поворотов в обратном порядке. При этом все кватернионы заданы в исходном базисе 1в (к = 1, 2, 3), Пассивная точка зрения. Выясним вначале, как изменяется запись вектора при переходе к новому базису 1'.

= Л о1в о Л. Пусть в старом базисе имеем разложение вектора В. = х11 + у1з + з1з. При переходе к новому базису получаем ВР1 = хЛ о з( о Л + уЛ о уз о Л + зЛ о уз о Л = = Л о (т(+ Урз + здз) о Л = х'з1 + У'Уз+ *'Уз. 1 7. СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ Поскольку направляющие косинусы оси конечного поворота одииаковы как в исходных осях, так и в повернутых, то Л = = ЛО + Л111+ Л212 + Лззз = ЛО+ Л11', + Л212+ Лзгз и в последнем равенстве можно считать все кватернионы заданными в осях 1'„. Пусть кватерииои М задает очередное преобразование базиса: 1'„' = М о 11 о М, тогда по аналогии с предыдущим имеем: 1с~~ 1 = М о (х'11' + у 12 + з 13 ) о М = М О Л о (З11' + у12 + щз ) о Л о М, Кватерниоп результирующего поворота получился таким: Ф=Л т.е.

он равен произведению кватернионов составляющих поворотов в прямом порядке. При этом в соответствии с изложенным компоненты кватернионов заданы в поворачиваемых ими базисах. Несмотря на то, что перемиожаемые кватерпионы заданы в разных базисах, их перемножение осуществляется при формальной записи их в одном базисе — последнем. Результат оказывается записанным в исходном базисе гю поскольку Ф = ПО + П111 + П212 + ПЗ13 = ПО + П111 + П212 + ПЗ13. Пример.

Рассмотрим пример из предыдущего пункта (см. рис. 12). Требуется найти угол и эйлерову ось результирующего поворота. Первый поворот задается кватернионом гг . л Л = сов — + 11 3!и —, 4 4' второй поворот — кватернионом М = сов — + 12 вгп —. 4 4 Кватернион результирующего по- ворота есть Л(=М Л= — + 12 — Π— + 11— 1 (1 + 11 + 12 13) 2 Рис.

14 т.е. эквивалентный эйлеров поворот осуществляется вокруг вектора е = (11+ 12 — 13)/АЗ на угол 120' (рис. 14). Выполним это же вычисление, используя пассивную точку зрения. Кватериион первого поворота тот же: гг . гг Л = соз — + 11 31п —. 4 4 ГЛСК КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 48 Кватернион второго поворота, заданный в повернутых осях, имеет уже иной вид: !г ., !г М = сов — — гзвш 4 4 Кватернион результирующего поворота ЛОМ +11 о 18 'о 'л 'о 2 — 1!+'! +'1 'з) = !1+11+11 — 1з). 2 Сложение поворотов можно выполнять и в параметрах КейлиКлейна. Сумме поворотов соответствует произведение соответствующих матриц или композиция соответствующих дробно-линейных преобразований.

Все правила выполнения произведений аналогичны вышеизложенным. Пример. Найти связь,углов конечного вращения первого рода (см. рис. 4) с параметрами эквивалентного эйлерова поворота. Кватернионы последовательных поворотов в данном случае наиболее просто выглядят в пассивном представлении. В соответствии с вышеизложенным при вычислении произведения их в прямом порядке их формально следует записывать в исходном базисе; а ..а )У ..В А = сов — +1! в!и —, В = сов — +118!и —, С = сов — + !88!и —. 2 2' 2 2' 2 2 Результирующий поворот определяется кватернионом Л: Л= АоВоС.