В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 2

Впервые основные аксиомы механики в систематическом виде были сформулированы в 1687 году Ньютоном. Их исследование с целью решения трех вышеперечисленных проблем было предпринято уже в нашем веке. Это потребовало изменить форму представления аксиом механики для того, чтобы максимально приспособить ее к применению методов математической логики. В настоящее время имеется несколько форм представления аксиом механики. Есть аксиоматические системы, основанные на рассмотрении дискретных совокупностей материальных точек. Есть системы, в которых уже в аксиоматике отражена идея континуума.

Некоторые системы были созданы под влиянием идей Маха, который утверждал, что в науку нельзя вводить понятие, не допускающее конструктивной проверки на практике. Поэтому все понятия такой метааксиоматической системы строятся так, чтобы нми можно было воспользоваться для выполнения конкретных измерений. В системах этого типа непременным является требование соответствия между первоначальными понятиями на формальном, аксиоматическом уровне и наблюдаемыми величинами на эмпирическом уровне. Наконец, известна аксиоматизация в чисто гильбертовском духе, когда первичные категории просто перечисляются и их содержание определяется лишь вводимыми аксиомами. Заметим, что изложение любой формальной аксиоматизации классической механики в курсе механики неуместно, поскольку составляет фактически главу математической логики, а не собственно механики.

Точно так же аксиоматизация арифметики не является предметом самой арифметики. По этому поводу уместно процитировать А. Пуанкаре а, который, анализируя проблему аксиоматизации арифметики в главе "Математика и логика", пишет: . Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом 1 = е Т'(Ко (и, 7е)е(иеУп)). Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышалир'. Так и в механике, имеет смысл предполагать наличие у читателей достаточной физической интуиции, чтобы не перегружать изложение основ избыточным формализмом. Аксиомы классической механики. 1. Первая группа аксиом целиком заимствована из геометрии и определяет понятие евклидова Пуа аре А.

О науке. — МнНаукалэаэ, ~ К ПРОБЛЕМА АКСИОМАТИЗАЦИИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 9 пространства Е и геометрических объектов в ием (точки, прямые, з плоскости). 2 Объекты в Е полагаются зависящими от скалярного парамез тра ~, называемого временем Сказанное означает, что в механике рассматривается отображеиие Я' — ~ Ез, называемое двилсенпем. 3 Материальмая точка — геометрическая точка, которой поставлен в соответствие скаляр, называемый массой (г, т), г — — вектор в евклидовом пространстве, отиесеииом к какой-либо декартовой системе координат.

Масса полагается постоянной, независящей ии от положения точки в пространстве, ии от времени 4. каждой паре материальных точек (гп т1) и (гз, тз) может быть поставлена в соответствие пара векторов Р1 и Рз, удовлетворяющих условию Р1 — — — Рз))(г1 — га). При этом говорят, что сила Р приложена к материальной точке или что оиа действует иа материальную точку. Материальные точки, которым поставлены в соответствие удовлетворяющие приведеииому условию силы, называются взаимодействующими.

Если рассматривается совокупность взаимодействующих материальных точек, то к одной материальной точке может быть приложено иесколько сил. Их векторная сумма называется равнодействующей. (Эта аксиома одновременно с категорией "сила" вводит и третий закон Ньютона.) 5 В евклидовом пространстве можно найти такую декартову систему координат и такой способ параметризации — 1, что тг'= Р (по традиции, идущей от Ньютона, производная по времени обозначается точкой над буквой: г = дг/й). Такие системы координат в Е и такой параметр 1, для которых справедливо написанное уравнение (второй закон Ньютона), иазываются инерциальными системами отсчета. Такова аксиоматика классической мехамики. Обратим внимание иа двойственный характер всех основных категорий механики; с одной стороиы, поиятия "сила", "масса", "ускорение" — суть абстрактные категории аксиоматической системы, для которых второй и третий законы Ньютона служат их определением, с другой стороны, эти понятия апеллируют к реальным объектам, с которыми имеет дело человеческая практика и иа которых осуществляется реализация аксиоматической системы механики.

"Сила" при атом представляет собой меру физического взаимодействия тел, измеряемую любыми физическими средствами, "материальная точка" — тело достаточно малых размеров. Реализацией понятия "евклидова пространство" является пространство неподвижных звезд, лучи света — реализации категории "прямая линия". Декартовы координатные трехгранники, с помощью которых можно задавать положение любых тел в пространстве, могут ВВЕДЕНИЕ 10 связываться с неподвижными звездами при помощи оптических приборов.

Реализация категории "время" осуществляется посредством сравнения наблюдаемых процессов с каким-либо одним, обычно содержащим повторяющиеся фазы, например, обращение Земли вокруг Солнца. Употребляющиеся в механике термины "однородность" и "изотропность" пространства и "однородность времени" лежат вне аксиоматической схемы, поскольку они там не нужны.

Эти понятия относятся к сфере реализации и определяют свойства реального физического пространства и конкретных способов измерения времени. Пространство называется однородным и изотропным, если физические законы не зависят ни от места в пространстве, где протекают соответствующие явления, ни от направлениЯ в нем. Однородность времени означает возможность выбора таких часов, по которым любая движущаяся материальная точка, на которую не действуют никакие силы, проходит одинаковые отрезки пути за одинаковые интервалы времени. Обратим внимание на то, что вне аксиоматической системы классической механики лежат и такие житейские словосочетания как "время течет", "время течет в точке". Время является аргументом функции и ничем больше. Иногда формулировке второго закона Ньютона предпосылают формулировку первого закона: "в евклидовом пространстве всегда можно найти такую декартову систему координат и такой способ параметризации ~, что любая свободная материальная точка (г = 0) движется прямолинейно и равномерно или неподвижна".

Такой способ введения аксиом механики содержит противоречие (см. 8 58). Завершая обсуждение проблемы аксиоматизации классической механики, заметим, что программу аксиоматиэации физико-математических наук, сформулированную Гильбертом, как известно, в полной мере осуществить не удалось. Геделем было показано, что любая достаточно мощная аксиоматическая система (классическая механика к таким системам относится) не может быть полной, т.е. она допускает истинное недоказуемое высказывание. Отсюда следовала и невозможность установить непротиворечивость системы средствами самой системы Появилось, однако, понятие относительноЯ непротиворечивости. Например, классическая механика непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

Для целей обоснования механики подобный аргумент представляется достаточно убедительным. 8 2. Инвариантность и ковариантность уравнений механики Основные законы механики сформулированы Ньютоном в труде "Математические начала натуральной философии". Понятие инерциальной системы отсчета в этой работе отсутствует. Вместо него Ньютон говорит об "абсолютном пространстве" и об "абсолютном времени". Например, он пишет' "Абсолютное пространство у г. инвлрилнтность и ковлрилнтность урлвнкний по самой своей сущности безотносительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда одинаковым и неподвижным".

Такое определение ясностью не отличается, однако в конкретных ситуациях Ньютон в качестве "абсолютного пространства" рассматривает пространство неподвижных звезд. На то, что законы механики не измемяются при переходе от той системы отсчета, где они верны, к другой, движущейся относительно исходной равмомерно и прямолинейно, впервые указал Галилей. Поэтому преобразования, осуществляющие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, носят название преобразований Галилея. Математически эти преобразования могут быть выражены следующим образом (С, х, у, 2) -+ (С, х, у, х ).

С' = С + г, х' = а + и,С + аых + вшу+ асзг, у' = Ь+ и„С + амх+ аггу + агзг, х' = с + и,С + азгх + азгу+ аззг СгУ1 с, ч, ч, ..., ч ) = 0, г = 1,, и. Независимая переменная С вЂ” время, зависимая переменмая ч вектор, содержащий и компонент. Старшая производная, входящая (") в систему, Ч: — а~Ч/еСС~. Пусть над зависимыми и независимыми переменными совершается преобразование (С, Ч) -+ (С', Ч'): с = с(с', ч'), ч = ч(с', ч') Здесь постоянные г, а, 5, с характеризуют смещение начала отсчета времени и координат, постоянные о, о„, о, определяют равномерное, прямолинейное движение начала новой системы координат относительно старой, постоянные числа ась определяют матрицу поворота (см.

З 6) осей мовой системы координат относительмо старой. Поскольку независимых коэффициентов в произвольной матрице поворота только три, то множество всех преобразований Галилея содержит 10 произвольных параметров и представляет собой 10-параметрическую группу Галилея (см 158) На современном языке все сказанное выражается следующими словами: законы классической механики инвариантны по отношению к группе Галилея. Это утверждение носит название принципа относительносгаи Галилея.