А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 73
Текст из файла (страница 73)
го поля обусловливает постоянство индуктнвностн Жесткого контура с тоном? Индуктмвности и Взаннмые мндуктивности зависят только от геонвтрнческнхкарактеристик контуров с током н ик взаинного расположения. ?зерезгенпог? гиле токи, арал?екающего по экесткому леподважпо.ыу кояпгуру, картина ттовых ливий оспюется прежней, а индукции в каждой точке растет пропорционально силе тока. А это озпачпет, чпш поток магпитпоо пндую?тч Ф сквозь фикс?м ровапную неподвижную площадь пн?лже пропорционален силе ?пола, н поэтому Ф = Е1, (47.3) где Š— постони??ь?й коэффиписнт пропорциональности, не завися?ций от силы тока н индукции магнитного поля, Этот коэффициент называется иидукгивиостыо контура.
Подставляя (47.3) в (47.2), находим с) )4 — 1 1 д1 д ( з 1 1 ). (47.4) Интегрируя обе части (47.4) от 1 = О до некоторого значения I, получаем формулу И = '1зЫз, (47.5) которая определяет энергию ма? нитно? о поля, создаваемого током силы 1, текущим по контуру с индуктивностью 1.. Э нергня магнитно? о поля нескольких кон?уров с током.
Аналогично можно найти энергию магнитного поля двух контуров с током (рис. 183). При этом надо, учесть, что э. д. с. ппдук??пп в калсдом контуре возникает не только за счет изменения потока индукции магнитного поля, создаваемого током этога контура, по и за счет изменения потока индукции магнитного лоля, создавае.мого током, текущим в другом контуре, Обозначим: 1, и 11 — силы токов в первом и втором контурах, Ф„н Ф,з — охватывасмыс первым контуром потоки магнитной индукции полей, создаваемь?х соозветсгвенно токами 1, и 11.
Аналогичные величины ДлЯ втоРого ко?г?УРа обозначим Фзг и Фго Полныс потоки, охватываемыс каждым из контуров, равны Ф, = Ф„+ Ф,з, Фг = Фз, + Фзз. (47,6) Пусть Е,, и 1.зз — индуктивности контуров. Тогда [см. (47,3)3 Ф„= ЕИ1„Фзз = 1.зз!з. (47.7) 47 Энергии маснигного поля 372 Вг с аз К ввсчисвении2 энергии магнитного оолв лвув «авгуров с тонам ! где 122 — постоянная, называемая взаимной иидукгивностью первого и второго контуров. Аналогично, для второго контура получаем Ф2с = 1211с. 147.9) Поэтому ) см. (47.6)1 Фс = 1 с 212 + 1 221г, Фг = Ь2212 + Ь2212. (47.10) Э. д. с, индукции в первом и втором контурах равны: бФс )' 412 . 41, ') 1'11 + 1" 22 бс ), бс бс ,)' с)Ф2 22 с)1, с)1, 52 ~2 ) 1'2! + 1"22 бс )с с)г с)с /' (47,1!) Вся работа, совершаемая источниками сторошснх э.д.
с, контуров в течение с)г, аналогично 147.1) равна с)А = бА 2 -ь с)А2 — -- — г72"'л1, с)г — йги'12 с)с = = сьс 212 с)12 + 1.сг)с с)1г + 1 2212 с)12 + ~-2212 с)1г) (47. 12) где использованы соотношения 147.10). Для дальнейших вычислений докажем, что 1.22 = 1.22. С этой целью вычислим Фг, и Ф„: Ф22 = ) Вс ббг, Фсг = ) Вг'сБс 5, 5, 147.13) где В, и Вг — индукции полей, создаваемьгх соответственно токами 1, и 12; 52 и 32 — поверхности интегрирования, натянутые на контуры. Индукция поля в каждой точке равна В, + Вг.
Обозначив А, и Аг— векторныс потенциалы, описывающие поля В, и Вг, имеем В, = гос Ас, Вг — — гос Аг С1в Из тех же соображений, которые бьши изложены при получении формулы 1473), заключаем, что поток Ф,г, охватываемый первым контуром, за счет магнитного ноля, создаваемого током во втором контуре, пропорционален силе тока 12 во втором контуре: Фы = 1 сг)г 147.8) 324 8. Электролсагнвтнаа инлукцяя и кввсиссаоиооарные переменные токи и, следовательно, равенства (47.13) принимают вид: Ф„= ) гог Аг 6Яг = ) Аг сй,, Ф,г= )го!Аг Жс= )Аг сйг (47.14) Но " 611 Но " с!12 4я ~ г ' 41с (47.15а) Полставляя (47.15а) в (47.!4), получаем: Фм Но 1, 611 'сйг фм Но 1, 61 '61 (47.15б) где г,г = гг, — расстояние между элелсентами сП, и сй, первого и вто- рого контуров.
Сравнивая (47.156) с (47.8) и (47.9), получаем: Но сйг сП1 1 Но «Пг сП. 21 4~11 г, ' 422 )1 (47.16а) Формулы (47.16а) показывают, гго взаимная индуктивность зависит только от геометрических хариктеригтик контуров и от их вгЬимного расиоложенссл. Поскольку 61, и 612 — нюависимые переменные интегрирования, можно изменить порядок интегрирований. Учитывая также, что г,г = гг, и сП,. 612 = 61, 61,, заключаем, что 1.1г = 1 гс (47.16б) т. с. взаимная индуктивность первого контура со вторым равна взаим- ной иидуктивности второго контура с первым.
С учетом этого можно написать 1 1211 612 + 1 2112 611 = 6 ( /2 1 1211 12 + ггг 1.211211) и, следовательно, представить (47 !2) в виде 11А = 11( /211111 + гга 121112 + 121 211211 + 721 2212) (47.17а) Учитывая, что затрачиваемая на увеличение силы тока работа равна энергии образовавшегося при этом магнитного поля, после интегрирования обеих частей равенства (47,17а) от пулевых значений силы тока в контурах 1, = О, 12 = О до их значений 1, и 12 получаем г 2 2 Иг = (Ь1111 + 1 121112 + 1 111211 + 1 2212) = 1221111. 1= 1 (47.176) где 1., и 1.2 — контуры с током.
Переход к интегрированию по кон- турам произведен в соответствии с формулой Стокса. Формула (37.116), выражающая векторный потенциал через ток, в данном случае прини- мает вид 4 47. Энергия магнппзо~о поля 325 Эта формула определяет энергию магнитного паля„создаваемого токами 1, и 1,. Она легко обобщается на случай д( контуров; (47.18) где Ья при ~ = й называется яндуктивностью ~'-го контура, а при 1 М й— взаимной индуктивностью з-го,и (с-го контуров. Выражения для этих коэффициентов даются формулами (47,16а), принимающими вид Ьп = — (1 т- "), (47.19) цы где д)п сйк — элементы длины 1-го и )с-го контуров Ь; и Ь,к, гп — расстояние между ними. Из (47Л9) следует равенство Ья =1м, (4720) являющееся обобщением (47.1бб) на случай многих контуров с током. энергия магнитного поля при наличии магнегнков.
Если все пространство заполнено однородным магнетиком, то создаваемая заданными токами индУкциа полЯ изменЯетсЯ в Ирс Раз по сРавнению с индукцией в вакууме (см. (38.29)3. Следовательно, во столько же раз изменяются потоки Ф и дФ в формуле (47.1). Все последующие вычисления аналогичны, но везде Ф изменяется в )з1ро раз. Из формул (47.7) и (47.8) заключаем, что индуктивность контура и взаимные индуктивности увеличиваются в И(рв раз.
Это означает, что формулы (47.1ба) для взаимной индукз ивности при наличии магнетика имеют тот же вид, но с заменой ро на р. Такая же замена происходит и в формулах (47.15а) и (47.15б). Выражения (47.5) и (47.17) для энергии магнитного поля осзаются без изменения, но в них индуктивности н взаимные индуктивности увеличиваются в (з!ро раз. Следовательно, и энергия леагнитпого поля токов, протекаюиэих в неограниченном однородном .магнетике, изменяется в ргцо раз по сравнению с энергией поля тех ясе гпоков в викууме.
Плотность энергии магнитнгпо поля. Магнитное поле заданных токов распределено по всему пространству. Выразим энергию поля (47.5) изолированного контура с током через векторы поля. Формула (47,5) с помощью (47.3) может быть предс~авлена в виде Иг = '!з1Ф. (4721) Здесь Ф=)В.Ж=)го!А Ж=)А.сй, (47.22) где Ь и 8 — соответственно контур тока и поверхностзн натянутая па этот контур.
В (47.22) потенциал А создается током 1. Таким образокк зза я эггекгромаг нитная иннукиия и квазисгаггионарние оеременные токи замкнутый ток взаимодействует со своим собственным магнитным полем. Физическая сущность этого взаимодействия состоит в том, что каждый из элементов тока 161 создает в пространстве магнитное поле, с которым взаимодействуют другие элементы тока. Подставляя (47.22) в (47.21), находим И' = — ~ А 61 = — ~ А ) 6)г, 2~ 2~ (47.23) и где с помощью соотношения (9.2б) произведен переход к объемным токам.
Теперь преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы в него входили только векторы поля и векторный потенг1иал. Для этого воспользуемся формулами В = го1 А, ) = гог Н, а также известным из векторного потенциала соотношением 6)к(А х Н) = Н-гог А — А гог Н.
В результате получаем А 1= Н В вЂ” 6)к(А х Н) и, следовательно, фор- мула (47.23) принимает вид Вг= — ~ Н В61г — 6)к(А х Н) И. (47.24) Второй интеграл по теореме Гаусса — Остроградского преобразуется в интеграл по поверхности, ограничивающей объем интегрирования; ) )тА х Н6и=(А х Н 6Я. (47.25) 5 Если все токи расположены в конечной области пространства, то на больших расстояниях г от эюй области А - 1/г, Н -1/гт, т.е.
нодынтегральное выражение убывает как 1/гз. Поверхность интегрир- ованияя при этом растет как гя и, следовательно, интеграл умень- шается как 1/г. Поэтому для всего пространства, когда г го, второй интеграл в (47.24) обращается в нуль и полная энергия поля представ- ляется формулой И = —,~Н В6Н (47.26) п ! ж= — Н В, 2 (47.27) т, е. объемная плотность энергии магнитного поля в каждой точке определяется значением векторов поля в этой точке, при этом, конечно, несущественно, какигни источниками созданы эти поля.
Индуктивность. В равенсгвс (47.23) представим потенциал А с помощью (37.11а) в виде А= — ~ — 6и, Н "1 4к ~ (47.28) Можно сказать, что энергия поля распределена по всему пространству с объемной плотностью й 47. Энергия лнн но~но~о поля 327 где плотность тока и элемент объема отмечены штрихами, чтобы нс путать их с теми же величинами в подынтегральном выражении (47.23): это разные элементы объема одного и того же така, расстояние между которыми обозначено в (4728) г (см, рис. !83). Подставляя (47.28) в (47.23)„находим (47.29) где в последнем равенстве числитель и знаменатель формулы умно- жены на 1з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
