А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 21
Текст из файла (страница 21)
оно определяет значения й„, соответствующие дискретным состояниям отрицательной четности. Итак, дискретные уровни энергии частицы в симметричной а Ал потенциальной яме выражаются формулой э,', = — ", где й„ 2иа~ ' определяются точками пересечения прямой йа и монотонно убывающими кривыми (25,7). Значения л = 1, 3, 5, ... Соответствуют состояниям положительной четности; значения н = 2, 4, 6, ... соответствуют состояниям отрицательной четности. Поскольку йа монотонно возрастает, а !,„(й) монотонно убывает, то условие их пересечения можно записать в виде йа — 4„(й) > 0 при й=— 3~2Йол 1!2 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ !ГЛ.!Ч В частном случае бесконечно больших значений Ул из (25,6) для состояний Отрицательной четности следует, что йа = аж, где а = 2, 4, 6, ...
Значение п = О исключается, так как оно приводит к йч = О для всех значений х. Итак, энергия часгицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в состояниях отрицах тельной четности е!-1= — г л', где а = 2, 4, 6, .... а волнол 2ва вая функция лр!->= ~/ — зш ~ х. -Г2 . Пл (25,13) Соответствующая волновая функция имеет вид чр„~ = ф„(х) ф (р) ф (г), (25, !5) Волновые функции (25,9) и (25,13) обращаются в нуль при х = ~а/2. Таким образом, мы видим, что граничные условия на поверхностях, где потенциальная энергия обращается в бесконечность (идеальные твердые стенки), сводятся к требованию, чтобы на этих поверхностях волновая функция обращалась в нуль (частица не может проникать в область 0 = оо), производная же по нормали к поверхности может имегь, вообще говоря, скачок.
В случае конечных значений (/л частица может проникать и в область 1х~ ) а/2. Волновые функции в этих областях будут совпадать с функцией (25,4), где А определяется для состояний положительной и отрицательной четностей соответственно через В н С с помощью уравнений (25,5) и (25,!О) для каждого значения корня уравнения (25,6) и (25,1!). Согласно (25,12), в случае малых значений а Р'Е4 (мелкая яма достаточно малой ширины или глубокая яма очень малой ширины) частица массы р имеет только один дискретный уровень энергии, соответствующий значению й, *-"'Р'2~~Уо/й. При этом энергия частицы е = (/„значение у = (2П/Ь) ) газ — е - "О и волновая функция (25,4) частицы вне ямы будет отлична от нуля на сравнительно больших расстояниях вне ямы.
В случае трехмерной потенциальной ямы со значением (/(х, у, г), равным нулю внутри параллелепипеда со сторонами а, Ь, с и равным бесконечности вне этого параллелепипеда, уравнение (25,!) распадается на три независимых одномерных уравнения типа (25,3). Следовательно, энергия будет определяться тремя квантовыми числами э вч ЧАстицА в пРямОуГОльнОЙ потенцнлльнон яме из где — соз — , если а, = 1, 3, 5, ..., 2 пз1х ~Г.
— зщ —, если п,=2, 4, 6, ...; 2 . пах $ (х) = аналогичный вид имеют функции ф„(у), ф„(г). Когда а чь в чь е, каждому значению энергии соответствует одна волновая функция (25,15). Другими словами, в системе отсутствукп вырожденные состояния. Этот результат непосредственно следует из свойств симметрии потенциальной энергии. Потенциальная энергия остается ннвариантной при вращениях на 180' вокруг каждой нз осей координат и при преобразовании инверсии (худ- — х, — р, — х).
Следовательно, симметрия поля относится к абелевой группе А)АА. В этой группе результат применения двух преобразований симметрии не зависит от того, в какой последовательности они выполняются. Все неприводимые представления этой группы одномерны, и вырождение отсутствует (см. $ !9). Когда а = 5 = с, энергия частицы выражается формулой (25,16) В этом случае симметрия поля совпадает с симметрией куба. Соответствующая группа симметрии ОА содержит одномерные, двумерные и трехмерные неприводнмые представления, поэтому она может иметь двукратно и трехкратно вырожденные энергетические уровни. Например, трем волновым функциям, с квантовыми числами а~ = 5, пэ — — 1, аз — — 1; а~ — — 1, аэ — — 5, аз = 1; а, = 1, аз = 1, пз = 5 соответствует одинаковая энергия 27 Май — —,, Легко, однако, убедиться, что этой же энергии будет соответствовать и волновая функция с квантовыцн числами и, = 3, пэ — — 3, а, = 3.
Это дополнительное вырождение обусловлено особым характером зависимости потенциальной энергии от координат, а не симметрией поля. Такое дополнительное вырождение называют случайным вырождением. При исследовании движения электрона в кулоновском поле (22 38, 39) мы встретимся с аналогичным дополнительным вырождением по квантовому числу 1. отличающим кулоновское поле от всех других центрально-симметричных полей (см. гакже 2 37).
Рассмотрим теперь одномерное движение частицы с энергией, превышающей высоту потенциальной ямы,т.е.при з ) Ц,. В этом слУчае Уэ=-~;((7з — е) (9 н У ЯвлЯетсЯ мнимым. Поэ 2Р этому конечные решения вне ямы будут содержать не одну (как, 114 НРостеишие НРименения кВАнтоеои мехАники [гл. ш в случае е(Ц~), а две постоянных. Следовательяо, два од- нородных уравнения, получаемые из условия непрерывности ф и —, на границе будут содержать три неизвестиых.
Такие Ыф дх ' уравнения разрешимы для любых значений Й (или е) — кван- тование энергии движения отсутствует. Уровни энергии будут двукратно вырожденными. Каждому значению е) Уз соответствует два решеиия, которые вдали от ямы изображаются функциями хипа Чь ехр~ -~- $ "21А (е — Ур) ~, фз ехр~ — — '" $'2р (е — Уо) ~. Ь Решение первого типа соответствует движению частицы вдоль оси х, а решение второго типа — обратному движению частицы.
При исследовании движения частицы в прямоугольной потен- циальной яме мы условились огсчитывать энергию системы от диа потенциальной ямы, поэтому все значения энергии были по- ложительными. В физике часто в качестве нуля отсчета энергии и ииимают потенциальную энергию бесконечно удаленных точек. тобы перейти к этой нормировке, надо вычесть Уз из найден- иых выше значений энергии, тогда ~ ( О для дискретного спектра, Е'= Š— Уо = ( > О для непрерывного спектра. Исследуем более подробно решения одномерного уравнения (25,3) для состояний непрерывного спектра при движении в поле с потенциальной энергией — Ум если (х)~(Ь; При такой нормировке потенциальной энергии состояниям непрерывного спектра соответствует энергия е ) О.
В этих состояниях частица свободно движется вяе потенциальной ямы и может удаляться от нее как угодно далеко. Если частица движется вдоль оси х, то, достигая потеициальяой ямы, она испытывает действие сил. При этом частица либо отравится, либо «пройдет» потенциальную яму. Вычислим вероятности этих процессов. Напомним, что в 5 24 такая задача решалась методом ВКБ для потенциального барьера и потенциальиой ямы. В области 1 (когда х ( — Ь) решение уравнения (25,3) имеет вид ф =Аз'А" +ВЕ '" ", рде Щ= ф'ив, Функции Ае'"* и Ве-'»* относятся соответственно к падающим н отраженным частицам.
В области Ш (когда х-) Ь1 решение берется в виде уходящих от ямы воли фи, = Сэ'" ". В области П (когда — Ь ~~х Ь) решение (25,3) имеет вид а М = ~2р ~ + й~. (Ы.|В> С 1» Чтобы вычислить коэффициенты прохождения В ~ — ~ и отра- А! Ви жения Й=~ — „~, надо выразить амплитуды С и В через А. Для этого приравняем' функции фщ и фп и их производные по л на границе х Ь. В результате получаем два уравнения Се'" » = аеа»+ рв-'~; — » Сем» = ае'~ — ре-'»» »» л Решение этих уравнений имеет вид а= — (1+ — „) ехр(1(Ье — -л) Ь1, ~ [1 — (1 — — ") ехр(1(Ь»+ Ь[ 5|. ~ (25,19) Приравнивая далее фт и ф»1 и их производные при х = — Ь, находим Ае-'»»'+ Ве'~ = ае-'»»+ ра'»», Ае"'ь» — Ве'»Л = (~ — ) [ае" 1»» — ра»»»[.
' Ъ»о) Решая эти уравнения относительно А и В, а затем используя (25,19), получаем А -= ' а~» ~(1+ — 'И1+~).- »~+ 11 — — ')(1 — — ') а~-3, В = — ~(1 — — ) (1 + — ») а-~»» + (1 + — ) (1 — — ) ам») где а = 2Ь вЂ” ширина потенциальной ямы. Следовательно, коэф- фициент прохождения В=~1+ —,' ф- —,')' 1 (Ь >), (25,291 Таким же образом можно вычислить коэффициент отражения Й и показать,. что Й = 1 — В. э»и ч»стиц» н пэямоугольнои потзнци»льиои яме 115 1!6 ПРОстеишиВ пРименения кВАнтОВОЙ мехзники !гл. гт Если з(п(йа) чь О, то коэффициент прохождения отличается от 1, т.
е. имеется определенная вероятность отражения частицы от потенциальной ямы. Однако при В1п (йа) = О, или яа = ня, (25,21) где и — целое число, коэффициент прохождения .0 = 1 и 1г = О. Подставляя в (25,21) значение й из (25,18), находим энергии е, при которых коэффициент отражения равен нулю: л2ао е„= — ао — 1!о ) О, 2аао где н — целое число. Итак, при положительных энергиях е„, удовлетворяющих равенству (25,22), коэффициент прохождения 21= 1.
Эти значения энергии называются резонансными энергиями. Из условия положительности е„следует, что квантовые числа резонансных энергий удовлетворяют неравенству 2аонио и ~ — ГВ2 —. Прн этом, согласно (25,21), а=а —, т. е. в яме укладывается х 2 ' целое число полуволн. Расстояние между ближайшими резонансными энергиями определяется уравнением В262 е„+, — е„= 2 аа (2н+ 1). Формула (25,22) совпадает (при учете нормировки начала отсчета энергии) с выражениями (25,8) и (25,12), определяющими энергию дискретных состояний частицы в глубокой яме. Уровни энергии (25,22) иногда называют виртуальными уровнями энергии (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
