Ф. Крауфорд - Волны, страница 7

DJVU-файл Ф. Крауфорд - Волны, страница 7 Физика (2681): Книга - 4 семестрФ. Крауфорд - Волны: Физика - DJVU, страница 7 (2681) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ф. Крауфорд - Волны", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 7 - страница

(14) спх х а«1 дгз « Уравнение (14) верно при сделанных предположениях (включая предположение о «линейности» пружины или о справедливости для нее закона Гука (13)). Заметим, что длина пружины 1, которая появляется в правой части уравнения (14), является функцией х. Из-за этого возвращающая сила, действующая на массу М, не будет в точности пропорциональна смещению и (14) не будет точным уравнением для гармонических колебаний.

Приближение <пружины». Существуют два интересных способа, которыми можно получить приближенное уравнение с линейной возвращающей силой. Первый способ — это приближение <пружины»* ), когда мы пренебрегаем членом а,/а по сравнению с единицей. Поскольку 1 всегда больше, чем а, то тем более можно пренебречь и членом а,/1 в уравнении (14). В этом приближении уравнение *) Значительное число опытов по механическим колебаниям и мысленных примеров в этом томе связано с применением ««1!о)гу».

Под этим жаргонным названием (оно происходит от глагола «1о »1!п1о — красться, идти крадучись) подразумевается спиральная пружина, состоящая из 100 — 150 витков плоской проволоки. В не- растянутом состоянии длина такой пружины 7 — 10 см. Ее можно без остаточных деформаций растянуть до 3 — 5 м. Ы1п1«у — распространенная детская игрушка, имеющая множество применений.

Бнпйу можно «переливать» нз руки в руку, подобно струе жидкости, <1!пйу можно заставить спуститься .со ступеньки на ступеньку по лестнице и т. д. Такая игрушка является удачным объектом для демонстрации волновых явлений, и автор широко этим пользуется. В книге при раз. личных расчетах часто используется «зппйу арргохппацоп». Зто — приближение, при котором начальная длина пружины, подчиняющейся закону Гукв, равна нулю.

В дальнейшем вместо снова <11п1«у мы будем писать «пружина» (пружина в кавычхах). Фотографию «пружины» см. на стр. 87. ()урим. ред.) 24 (14) принимает вид «»х — = — в'х ш» где в' = — = — ' (для а, = 0). 2К 2Т» М Ма (16) (16) Решение уравнения (15) — это гармоническое колебание х= =Асоз(в/+«2). Заметим, что на амплитуду А не наложено никаких ограничений. Она может быть очень большой, но возвращающая сила будет оставаться линейной.

Заметим также, что частота поперечных колебаний, определяемая уравнением (16), совпадает с частотой продольных колебаний, определяемых уравнением (11). В общем случае зто не так. Частоты совпадают лишь для приближения «пружиньо, где предполагается а,=О. Приближение малых колебаний. Если нельзя пренебречь а, (например, в обычных лекционных опытах с резиновым жгутом), то приближение «пружины» неприменимо. Тогда сила г"„в уравнении (14) — нелинейная функция х. Однако мы покажем, что если х мало по сравнению с длиной а, то 1 отличается от а только на величину порядка а(х/а)'.

В приближении л«алых колебаний мы пренебрегаем теми членами в формуле для г„, которые нелинейны по х/а. Займемся теперь алгеброй. Мы хотим выразить 1 в уравнении (14) как 1=а+ «что-то», исчезающее при х= — О. Так как 1)а независимо от знака х, зто «что-то» должно быть четной функцией х. Из рис. 1.4 следует: Р = а' -1- х' = — а' (1 -'; — е), где з =— х'/а'. Тогда / а (1+з) Ч вЂ” — (1 — (2 е)+(В е ) где мы использовали разложение в ряд Тейлора (см. приложение 1, уравнение (20)1 для (1+х)» при и= — '/, и х=з. Приближение малых колебаний означает, что з(<1. В атом случае — ж — ~1 — ( — з)~ = — ~1 — ( — —,)~ .

(18) Подставив (17) в (14), получим а») х+ м а» 1 / + ° ° ° (10) Пренебрегая членами третьего и более высокого порядка малости (малые колебания), получим «»«2К т, — ж — — (а — а )х=.— 2 —. »2» Ма» ' Ма.' (20) !Мы написали Т» из выражения (12).) Уравнение (20) можно переписать в виде п»х — = — оп»х ф~о о где о 2то ы Ма (21) Для малых колебаний резинового жгута (когда нельзя пренебречь членом ао/а) частота продольных колебаний больше, чем поперечных: о»п ро» 1 1 ч Мпопер ! по а~ П р и м е р 4. ЕС-цепь. (В томе П, гл. 8, колебания в цепи, состоящей из емкости и самоиндукции, изучены более подробно.) Рассмотрим цепь из последовательно соединенных самоиндукцин /.

и двух емкостей С (рис. 1.5). Пусть заряды на верхних пластинах левого и правого конденсаторов равны 11, и Я, соответственно. Электродвнжущая сила (э. д. с.), приложенная к иидуктивности, равна «обратной э. д. сл /. «!//Ж. Заряд Я, создает э. д. с. С '!~„так что положительный заряд Я„заставляет ток течь в направлении, указанном стрелкой на рис. 1.5.

Таким образом, положительный заряд 1~, обеспечивает положительное значение Е Н/Ж. Точно так же нз Таким образом, х(/) является гармоническим колебанием: х(/) = А соз(а/+<у). Заметим, что квадрат частоты о»» (формула (21)! и в этом случае равен возвращающей силе, приходящейся на единицу смещения и единицу массы. Действительно, для малых колебаний возвращающая сила равна удвоенному натяжению Т, (две пружины), помноженному на з!и Ожх/а.

Таким образом, имеем ВозвРашаюЩаЯ сила на еДиниЦУ ! Зто(х/а) Зто смещения и на единицу массы / »М Л4а ' Заметим, что частота поперечных колебаний для обоих приближений, как следует из сравнения уравнений (16) и (21), равна 'г 2Т,/Ма. В приближении «пружины» продольные колебания имеют ту же частоту, что видно из уравнений (11) и (16).

Если приближение «пружины» не выполняется (т. е. если нельзя пренебречь а,/а), то продольные колебания и (малые) поперечные колебания будут происходить с разной частотой, что видно из уравнений (! Ц, (12) и (21). В этом случае (-') -='м-. (22) (23) рис. 1.5 следует, что положительный заряд Яз создает отрицатель- ное значение Е ЫЫ«. Таким образом, (24) В положении равновесия на емкостях нет заряда. Ток 7 увеличивает заряд Я, за счет заряда Цт.

Используя закон сохранения заряда и условие знаков (см. рис. 1.5), имеем 'с 1 'си (26) Из уравнений (25) и (26) следует, что в нашей задаче есть только одна степень свободы: мгновенное состояние системы можно описать, задавая илн с,тт, или 1'>„или 7. В дальнейшем (когда мы перейдем к системам с ббльшим числом степеней свободы) будет удобнее работать с током 7, поэтому воспользу- С емся им и сейчас: где 2С вЂ” 1 ы'= (27) решением которого являются гармонические колебания 7 (Г) = =А соз(ет|+<р). Уравнение (27) показывает, что и для электрических колебаний справедливо равенство аз=возвращающая сила на единицу «смещения» и на единицу «массы». Действительно, в данном случае роль силы играет з.

д. с., равная 2С-асз, а роль «смещення» принадлежит заряду Я. Индуктивность Ь играет роль «массы». Поэтому выражение для ыз имеет вид 2С" тО 2 тц =ьс' Легко заметить, что в примерах 2, 3 и 4 математика одинакова. Мы достигли этого тем, что специально подобрали примеры систем, обладающих пространственной симметрией («инерционная» Š— =С тЯт — С тДа =- — 2С тЯ„ И нт Так 1 (г) подчиняется уравнению лзг —, = — йза7 ша Рнс 1 й. Паследааательиое соединение саноиндукпин ь н емкостей С. Показано условие знаков для 9 и Ь Заряд Ш ~или 4а) положителен, если нераняя обкладн заряжеаа положительна по отношению к нижней; ток у по. ложителен, если положительамй заряд течет н напраалеиии стрелок.

масса в центре, «вынуждающие» силы приложены симметрично с каждой стороны). Такой параллелизм часто полезен как мнемоническая схема. 1.3. Линейность и принцип суперпозиции Примеры, рассмотренные в п. 1.2, соответствуют случаю, когда возвращающая сила пропорциональна — ф и не зависит (например) от зрз, фз и т. д. дифференциальное уравнение, содержащее не более чем первую степень ф и первые степени производных з(~/Ж, е(за' и т.

д., называется линейным относительно переменной ф и ее производных по времени. При этом уравнение называется однородныи, если оно не содержит членов, не зависящих от ф. Если в уравнении появляются степени функции ф или ее производных, то уравнение называется нелинейным, например, уравнение (5) нелинейно, что очевидно, если подставить в него выражение (6) для э)пф. Только пренебрегая в разложении э(пф высокими степенями ф, мы получим линейное уравнение. Обычно нелинейные уравнения решать трудно.

(Нелинейное уравнение для маятника было решено в т. 1, стр. 251.)К счастью, существует много интересных физических ситуаций, для которых линейные уравнения дают очень хорошее приближение. Мы почти всегда будем иметь дело с линейными уравнениями. Линейные однородные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения имеют следующее интересное и важное свойство: сумма двух любых решений уравнения также является его решением. Нелинейное уравнение таким свойством не обладает: сумма двух решений нелинейного уравнения не будет его решением. Мы докажем эти положения сразу для обоих случаев (линейного и нелинейного).

Предположим, что дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы имеет вид = — Сф+сзф'+Дф'+уф'+..., (28) как это было, например, в случае маятника (см. уравнения (5) и (6)) и в случае поперечных колебаний массы, подвешенной на пружинах !уравнение (19)). Если константы а, р и у и т.

д. все равны нулю или с достаточно хорошим приближением могут быть положены равными нулю, то уравнение (28) однородно и линейно. В противном случае оно нелинейно. Теперь предположим, что згз (1)— одно решение уравнения (28), соответствующее определенным начальным условиям (начальное смещение и начальная скорость гири маятника), а фз (1) — другое его решение, отвечающее другим начальным условиям.

По сделанному выше предположению имеем ~'1«з Сф ( фз 1 ()фз 1 Тфз+ (29) и (30) 28 Возникает вопрос: будет ли суперпозиция ф, и фм определенная как ф(г)=ф, (г)+ф, (Г), удовлетворять уравнению (28), т. е. справедливо ли равенство ~~~~~~' '- — сн,;.М,. Н„.~>.~РН,+Фр.~...1 В1> На вопрос (31) можно ответить утвердительно, если коэффициенты а, р и т. д. равны нулю. Это легко показать. Сложим уравнения (29) и (3«)). Эта сумма совпадает с уравнением (31) только в том случае, если удовлетворены следующие условия: ~~'~~1 1 ~~'~2 и'И1+4ч) + д~в лм 1 — Сф,— Сф, = — С(ф,+ф,), аф, '+аф', = а(ф1+Фь) Яф1 1 ()ф~ = 8(ф, «-ф,)' и т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее