Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики

Б. А. СЕВАСТЬЯНОВ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Долущеко Министерством еысшеео и соеднеео слвциавьново обравоеания СССР е качестве учебника для студентов вузов. обучающихся ло слециааьностям ° А!атематика» и «Механика» МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО. МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1982 22ду С 28 УДК 5!9.2 Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и мзтематн веской статистики. — Мл Наука.

Главная редакция физика-математической литературы, 1982, — 256 с. © Илллтельотяо «Нлуиа>, Главная рехилцня Вялило-иатоиатичесиоз литературы, !ВВ2 С 1702060000 — 143 053(02)-82 В основу хнитн положен годовой курс лекций, читавш!шея автором в течение ряда лет па отделении математики механико-мзтемзтического факультета МГУ. Основные понятия и факты теорни веро. ятцостей вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у читателя пе предполагается знание никаких пред. варителькых сведений об интегрировании по Лебегу.

В книге содержатся следующие разделы: независимые сспытанпя н цепи Маркова, предельные теоремы Муавра — Лапласа и Пуассона, случайные величины, характеристические и производящие функция, закон больших чисел, центральная предельная теореме, основные по. пятия математической статистики, проверка статистических гипотез, статистические оценки, доверительные интервалы. Для студентов младших курсов университетов и втузов, пзу. Чающих теорию вероятностей. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Классическое 41 65 66 70 Гл а в а 1. Вероятностное пространство $ 1. Предмет теории вероятностей $2. События 9 3. Вероятностное пространство 9 4. Конечное вероятностное пространстоо. определение вероятности . $ 5 Гсометрическве вероятности Зада ~и Г л а в а 2.

Условные вероятности. Независимость 9 6. Условные вероятности . $ гь Формула полной вероятности . 9 3. Формулы Байеса . 9 9. Независимость событий 9 1О. Независимость разбиений, злгебр и а-алгебр . 9 11. Независимые испыгапия . Зада;и Гла за 3 Случайные величавы (конечная схеьгз) й 12. Случайные величины. Индикаторы 9 !3. Математическое ожидание .

% 14. Многомерные законы распределения й 15. Независимость случайных величин 6 16. Бвклндово пространство случайных вели юп . й 17. Условные математические ожидания $18, Неравенство Чебышева. Закон больших чисел . Зада и, Г л а в а 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли й 19. Биномиальное распределение 3 20. Теорема Пуассона $21.

Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа 9 9 !2 16 !9 23 24 26 26 28 29 ЗО 33 35 39 41 45 59 53 56 59 61 64 Оглдвленив 71 73 76 100 100 108 115 117 и их производя. 146 146 $ 22, Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа $23. Применения предельных теорем Задачи Глава 5 !!епи Маркова $24. Марковская зависимость испытаний $25. Переходные вероятности . $26. Теорсма о предельных вероятностях Задачи . Глава 6, Случайные величины (общий случай) $27.

Случайные величины и их распределения $28. Миогоисриые распределения $29. Независимость случайных величин Задачи . Гл а в а 7. Математическое ожидаиие $30. Определение математического очкидаипя $31. Формулы для вычисления математического ожидания Задачи . Гл а в а 8. Производящие функции $32. Целочисленные случайные величины щие функции $33, Факториальиые моменты . $ 34. Мультипликативпое свойства . $ 35. Теорема непрерывности $ 36.

Ветвящиеся процессы Задачи Г л а в а 9. Характеристические функции $37. Определение и простейшие свойства характеристических функций $38. Формулы обращения для характеристических функций $39. Теорема о непрерывном соответствии между множествои характеристических функций и множеством функций распределения Задачи . Гл аз а 1О. хьеитральная предельная теорема $40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых 77 77 78 80 83 84 84 92 96 98 !17 118 120 123 125 127 129 129 136 140 145 ОГЛАВЛЕНИЕ 147 Гбо Гбз .

!54 174 !74 177 181 188 !89 189 190 194 195 4 4!. Теорема Ляпунова й 42. Применения центральной предельной теоремы . Задачи Г па в а 11. Многомерные характерпстичесине функции й 43. Определение и простейшие свойства . й 44. Формулй обращения 6 45. Предельные теоремы для характеристических функций й 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения . Задачи . Г л а в а 12.

Усиленный закон больших чисел $47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон «О нлп 1» Колмогорова . 6 48 Различные виды сходимости случайных величин . й 49. Усиленный закон больших чисел Задачи . Г л а в а 13, Статистнчеснне данные 4 50. Основные задачи математической статистики . 4 51. Выборочный метод . Задачи Г л а в а 14. Статистические иритерни $52. Статистические гипотезы . й 53. Уровень значимости и мощность критерия .

й 54. Оптимальный критерий Е1еймаиа — Пирсона й 55, Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального н бнномиальиога распределений й 56. Критерии для проверки сложных гипотез . й 57. Непараметрнческяе критерии Задачи . Глава 15. Оценки параметров й 58. Статистические оценки и их свойства й 59. Условные законы распределения . й 60. Достаточные статистики , й 61. Эффективность оценок . й 62. Методы нахождения оценок Задачи, 154 158 159 164 !73 195 Г97 199 201 234 206 211 213 213 216 220 223 228 232 оглавлении Гл а в а 16. Доверительиые интервалы % 63.

Определеиие доверительиых иитервалов . $64. Ловерительпые интервалы для перел~серов пого распрехелеиия . $65. Доверктсльиые интервалы для вероятиости схеме Бернулли Задачи . Ответи к задачам Таблицы иормвльиого распределеиия Литература Предметный указатель . 234 , 234 иормзль- . 236 успеха а . 240 244 245 25! 253 254 ПРЕДИСДОВИВ Первоначальный курс теории вероятностей и математической статистики должен удовлетворять двум условиям. С одной стороны, он должен помогать развитию теоретико-вероятностной интуиция, т. е. умения строить математические модели, правильно отражающие те или нные стороны реальных случайных явлений. Прн этом надо иметь в виду, что теория вероятностей и математическая статистика тесно связаны с различными приложениями, с некоторымн из которых выпускникам ма. тематических отделеннй университетов с большой вероятностью придется столкнуться в своей работе.

С другой стороны, теория вероятностей должна развиваться как математическая наука, построенная на точных определениях и аксиомах. Однако многие существующие руководства по теории вероятностей придерживаются одной из двух крайностей. В одних курсах, нацеленных па приложения, нет четкого разделения реальных случайных явлений н их математических моделей. В частности, вюкное в теории вероятностей понятие независимости молчаливо смешивается с причинной независимостью реальных явлений. Другие курсы посвящены, главным образом, строгому изложению математических основ теории вероятностей, поэтому онн либо очень велики по объему, либо в значительной степени опираются на такие понятия функционального анализа, как мера н интеграл Лебега, и поэтому не могут быть использованы при обучении студентов младших курсов.

Содержание данного учебника соответствует годовому курсу теории вероятностей и математической статистики, который автор читал в течение ряда лет нз механико-математическом факультете Московского государственного университета студентам-математикам 4-го и б.го семестров. Для преодоления указанны'" выше трудностей автор придерживается некоторого компромиссного направления. Первоначально многие пгадисловив теоретико-вероятностные понятия введены в простом случае конечного вероятностного пространства.

Приведен ряд примеров, в которых указана связь вводимых математических понятий с теми или иными свойствами реальных явлений. Общий случай основан на способеизложения, который связан с введением интеграла Лебега без теории меры. На 4-м семестре, когда студенты еще не знакомы с соответствующими понятиями функционального анализа, аксиоматически вводится понятие вероятностной меры и на ее основе определяется математнческое ожидание как интеграл Лебега. Теорема Каратеодори о продолжении меры формулируется без доказательства. Понятия условного распределения верояг.

пастей и условного математического ожидания даны не в полном обьеме, а лишь в простых случаях дискретных и абсолютно непрерывных распределений. В основном автор старался опираться лишь на знание студентамп классического математического анализа. Главы 1 — 6 связаны в основном с конечными ве. роятностными пространствами. В этих главах введены основные понятия вероятности, математического ожиданья, независимости, случайной величины.

Распространение этих понятий на общий случай дано в главах 6 — 12. Главы 13 — 16 посвящены некоторым задачам математической статистики. Каждая глава сопровождается небольшим количеством задач. Однако автор предполагает, что читатель использует какой-нибудь задачник (напрнмер, Севастьянов Б. А., Чистяков В.П., 3 у б к о в А. М. Сборник задач по теории вероятностей. — Мл Наука, 1980), Б.

А, Севастьянов Москва, маа 1981 г. Г л а в а 1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО 5 1. Предмет теории вероятностей Сочетание слов «теория вероятностей» на неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически.