Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков

И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков, страница 34

DJVU-файл И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков, страница 34 Теоретическая механика (2672): Книга - 4 семестрИ.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков: Теоретическая механика - DJVU, страница 34 (2672) - С2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 34 - страница

Запишем интеграл энергии в виде теа Т + — =Т,. 2 Подставляя сюда Тх пз (4), получим ге = — ~Та — — Н(г)~ 2 Г т~.а т Не частица отразится — составляющая скорости г изменит знак, По- верхность г=гь непроницаемая для частнц, называется магнит- ным зеркалом. где Тда, Но — значения энергии поперечного движения и поля в некоторой точке хо. Если Н(г) возрастает, то в точке гь опреде- ляемой условием Т вЂ” — Н(г,) = О, т~а а и, Колебания с мелленно менянинимися параметрами Пусть теперь частица сталкивается с двумя магнитными зеркалами, движущимися навстречу друг другу со скоростью и. Тогда после каждого отражения компонента скорости г частицы возрастает иа 2и. Эта идея была высказана Э.

Ферми в качестве возможиого механизма ускорения частиц. 7.13 Поскольку сяа(1) медленно меияюгцаяся (в масштабе т) функция времени, то при )~я~я>1 будем искать решение в виде х =. А(1!е'ио Из уравнения х+еаах=О имеем А + 2(Ая -Р ЙА — зЯА; сяа А = — О. А — зЯА -~-снЯА = О; 2Аз+зА =- О. (1) (2) Из (2) находим, что А== и )/а Из (1) след1ет зй ыя+ А А Если (5) то в первом приближении можно считать зя мя Следовательно, решение задачи имеет вид х =- = соз (~ к' сяе й + са) при саа О ив (6) а~ ~ таят, а, — рпа,П х==я) +=я ' при еаа= — не<О.

(7) т% )Я Решения (6), (7) в окрестности точек 1е, где сеа(1я) =О, становятся бесконечными Это обстоятельство связано с тем, что в области Г-(а приближенные решения (6), (7) становятся иепри- Отделяя здесь миимую и вещественную части, получим два урав- иеиия; (Гл 7 Мелииеаиыа колебания 288 из сравнения (5), (7) с (1), (3) находим с=А/2, а=гс/4. Из сравнения (6), (8) с (2), (4) найдем 0=В; ()=М/4.

Таким образом, получим две пары «сшитыхл линейно независимых решений ехр ! — '! '!7 — оРЫ, с)) 7о; 2 )с'К с, х, (!) =- сэ =з(п ! ( (ГоРШ+ — "1, 7(( га; с ! = ехр ~ ~ ')с — оР сс! ~, ! )> Еа; ха (!) = с, Ц(с' ' й+ — '~, 7((7,.

с й 3. Методы усреднения х = кос ге"'ос — (ос г"е — с"ос, о а (2) где * и г' — комплексно сопряженные функции времени. Тогда исходное уравнение приведем к виду г = аг(со,т,х, х), где г = — — 'е — с"ас/(х, х, сос!). 2оса (3) Представим далее г как суперпозицию плавно менякяцегося члена $ (с характерным временем изменения параметров 7„'в2н/осо) и суммы малых вибрационных членов, т.

е. представим г в виде г = $ + е ссс (й, Г) +..., (4) где функция $ удовлетворяет уравнению $=еа,($, !)+еаааЯ,7)+..., при атом функции ио а, в (4) и (5) подлежат определению. (5) 7,15. Используем замену переменных, которые определяются формулами х = ге'""' + г'е — '"'. (!) Методы усреднения Так как Р(х, х, в11) периодична (с периодом Т=2пlво), то Р( '., 1) 1;л е-тлииР (х хл в 1) (6) Далее из (4) и (5) следует, что г =$+е — $+е — +... е (а, + — ) +е — а,+...

(7) дит ° дит ( ди, т я ди, д$ д~ (, дт ) д$ В свою очередь, правую часть (3) согласно (6) и (4) можно пред- ставить в виде ряда л=+лл Р(х х в 1) = Х е-'~л! 1Р а, Г, в11)+ л л (8) Подставляя (7) и (8) в (3), в первом приближении найдем О) а, + — ' = ~~ е " 'Р„("а, 5', вт(). (9) где т+тл +се Р(нл ф* 1) ~ т~~~ е — ~лип Р ф Ц' в1)т(1' (11) Учитывая (10), из (9) после интегрирования найдем и, 5, 1) = д)л [~~1' е-'~и Р„(й, Ц', вт1) — Р1 й. (12) Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Если в,((в„то Ра, Г,е) =Р.(~,Г,в,т). 1ат/л злл 4 Теперь усредпим (9) по периоду Т=2тт)во, имея в виду, что $— медленная функция времени. В результате получим а, ($, 1) = Р($, $', Е), (10) Нелннейные колебания 1гл. 7 б) Предположим, что 1(х, х, а~1) пернодична с периодом 2п/вь Тогда Р.®, ~, ~,1) = ~Р... (~, ~) Л1 Следовательно, при точном резонансе Р(В, В', 1) = ~ Р-,(В, Ь'). пв +а~в~ 0 Для нахождения решения вблизи резонанса положим п1а~+аме= =6«мо.

Тогда Р($,Г,1) = ~' Р, ($,$')е 'е'. ле,+л,е,=е в) Если в1~оо, то Р=О, т. е. 4=0 при Ц=сопз1. Итак, в первом приближении рассмотренного метода я=$, ьа=еР($, яе, 1), где Р($, яе, 1) определяется формулой (11). 7.16. В рассматриваемом случае мо еР(х х ы 1) (хеЯел+ х е ахеи)ае мвс зев 3! Следовательно, из формулы (11) предыдущей задачи получим еРЯ,В)= — '~ !В! В. 4 При этом ~функция $ удовлетворяет уравнению $= — ~ !Г$. 4 Решение этого уравнения ищем в виде $=Ае'е. Тогда А =О; ф= — — "' А'. 4 Таким образом, А= —; ф= — ~ ао. не 2 16 Учитывая, что г = $ = Ае"~; х = ге'еи + г'е — ее ~, получим ~ .

(1 — — 16)1+ф.~. еея Методы усреднения 291 7.17. В этой задаче е7 = — волсозат( х; вР1х. х ат() = — —.созвтг(зе' "-т з е '"')е ""1 2О о+г зР Я, $', 1) =11гп — ~ Р(г, г, атД) ~о ос(1. т Т.> 1) В случае а~~во при вычислении функции (11) задачи 7.15 соз в11 можно вынести за знак интеграла. Тогда ~Р(й, $, 1) = — — 9~Я. 2О Следовательно, = — — соз аЯ; аоа 2О $ = — ехр ~ — ~~созвттс(г+ тр ~; н Г отдав Г 2 ~ 2 х = асов тр; тр = ) ао (1+ — соз ат1) Й+ тро.

Ь 2 а Это решение можно получить, используя результаты задачи 7.13, Ь поскольку 1тво=в, (! + — сова,1), 2) В случае ао 2 во введем обозначение а1 †2 во. Тогда РЯ, Г,()= — '" а,Г"'; 5= — '" .Г ". 4 4 Е С о Решение последнего уравнения ищем в виде$-= Че . Следовательно, функция Ч удовлетворяет уравнению то Иное ° Ч+ — Ч вЂ” — Ч'= О.

2 4 Полагая Ч=и+Ь и отделяя мнимую и действительные части, получим систему уравнений: б оыо 2 4 ово о+ — и — — и= О. 9 4 10Чо* Методы усредненнн 293 3) Если то~~сон, то Ё($, $", 1)=0; $=0; В=- —; а=Аз'", 2 а решение имеет вид х = Асов(тое(+ а). 718. Запишем напряженность магнитного поля в виде Н, = Н~; ~ =- 1 -)- Ь сов ог,й (1) Здесь Н вЂ” «ведущеее поле, Ь = — — «коэффнциент модуляции:> Нт Н (6<<1). Если магнитное поле создается соленоидом, то напряженность возникающего вихревого электрического поля Е = — — 1Нг)1.

2 (2) Потенциал Ф электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа ЛФ=О и может быть реализован соответствующей конфигурацией металлических поверхностей. Включение переменной составляющей магнитного ноля приводит к существенному изменению траектории и энергии частицы. Оценивая среднюю мощность, передаваемую частице вихревым электрическим полем, можно убедиться, что главный резонанс возникает на частоте ег1 =11: т/ г г еН г 2не 11 = у ого й~ь~ тое = ~ тог = нтс нт (3) Теперь найдем решение уравнений движения (е =х+(у): $ + Овей + — ((тон~ — те,) $ =- 0; (4) 2 а+ «т,г = О.

г (б) в+ — — ' ш= О. (7) 1О зек е Из уравнения (5) следует, что частица совершает аксиальные колебания только в том случае, когда г«е>0. В дальнейшем будем считать это условие выполненным Заменой переменных $ =- шехр ~ — ~ — "— )т(1~ уравнение (4) сводится к уравнению Хилла Нелинейные коаооания (Га 7 В том случае, когда Па»азой, уравнение (7) может быть решено с помощью метода усреднения. Это условие можно реализовать, выбирая значения н и И таким образом, что 2в,'(( гиоа. При этом Я порядка циклотронпой частоты гоо. Запишем уравнение (7) в эквивалентной форме: / а, ~а ге -г- ( — ') ге = е (ш) 2 (8) р (ш) = — (аза1 — Яа — 2йао соз го,( — йаыо соз" <оА Ж'.

Переходя к новым переменным иак ~ы1а 3 2 ш=-аге -а е (9) юо>к ы ге= — а,е" 2 ае,1 !ич 2 — аае 2 (10) (11) аа — гоогг+ — ( озг ~~ ~/ аа'+ гоо)г+ —. (14) 2 4 получаем уравнения для амплитуд а, и иа. аы1а ан а, = — — 'гт(ш)е; а, = ' гт(ге) е ' . Оа„ ач Операция усреднения приводит к сглаживанию быстрых пульсаций амплитуд а1 и аа н позволяет учесть эффект воздействия перемен- ного магнитного поля па нх систематические изменения Очевид- но, время усреднения Т=2л!аь После усреднения система (11) приобретает вид а, = — 1(АЛа, -- Лаа,), аг = 1(бЛаа — Лап,); Л, = —; бЛ = — ~~', — 11' — —, (12) 4ы1 4сог Л 2 Характер решения системы зависиг от корнси характеристического уравнения ~ Л (Л =.

1'' Ло — йЛ'). Общее решение системы (12) имеет внд а, = аеы + бе-", ар = аем-'т + Ье — и+от. (13) здесь Ло сов у=ЛЛ, Лишпу=Л. Условие ЛЯ>0 определяет область неустойчивости 295 Методы с едненнн Учитывая (6) н (9), получаем выражение для комплексной коор- динаты: 9 = ае-'о'-1- Ье — 'о*', (16) 1 1 где й, = — (аге — егг); Ян —— — (ого+ атг). Коэффициенты а и /г в выражении (15) определяются из начальных условий ~(0) = со и 5 (О) = ео соотношениями ((йо(1+ е») — 11."эое ); 2тег 5!н т (()гчое "— йо (1 — е — т)), вегт 5!н т Из выражений (13) и (16) следует, что траектория представляет спиралеобразную крив)го. Радиус кривизны спирали и расстояние от оси з до центра кривизны спирали экспоненциальпо возрастают со временем.

Центр спирали вращается с угловои скоростью Яь а вокруг этого центра обращается частица с угловой скоростью 11г. При точном резонансе от~ — — г1, сон у= — й/2=0. В установившемся режиме Тг»! частица движется по разворачнвающенся спирали, многократно проходящей вблизи осн з Действительно, представляя а~ и аг в виде а, = г,е'"; а, = гее'"', находим из выражения (16) расстояние р от оси з до частицы в момент времени 1 р = 1' г1 -т- гг — 2ггге соа (оггг 6 Я~ — ог). 1,' г г Таким образом, начиная с момента Г»1/Хо-— -4/мотг расстояние р изменяется за период Т=2я/то~ от значения ! а*Ь + Ь*а ( реп 1 г1 ге! !а! (17) до значения Р гн = !г, +ге! — 2(а(еоа.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее