И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков

и. и. ольховский, В. Г. пявленко, л. с. Кузыенков ЗАДАЧИ ПО ~~О~~ИЧГСКОй МЕХАНИКЕ ДЛЯ ФИЗИКОВ Допущено Министерством высшего и среднего специаяьного образования СССР в качестве учебного пособия дпя студентов университетов, обучающихся по специальности «Физика» ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ХИИВЕРСИТЕТА 197Т г'ЛК 531.0 Рецензенты: кафедра теоретической физнин Томского государственного университета, проф, Б Г Багров Ольховский И. И., Павленко Ю. Г., Кузьменков Д.

С. Задачи по теоретической механике для физиков, М., Издлво Моск. уи-та, 1977 Г. 395 с., 42 ил. Бнблиогр. 27 назв. Книга содержит свыше четырехсот задач па классяческой механвкеперзому нз разделов теоретнчесаой фнзнкк. В кинге собраны задачи, ннтересвые для Фнзяков, в частности задачи, в которых рассматрпваются дзн. жение зарядой в электромагнитных полях.

рассеянно частлц, колебания молекул, нелхнейные колебания. Кинга содержит также задачи, в которых рассматриваются поглощенпе энергии вала асцплляторамн (мазерные зфФекты1, колебании систем с медленно мекнющкмнся параметрами, дваженне систем как суперпозпцпя медленно меняющегося двнженкя я быстрых осцклляцлй, злектромеханяческке аналогия.

Решекпе задач способствует более глубокому понпманню Фпзпческпх идей мехзнпкп, ее общетеоретяческвх положенпй, помогает студентам развивать необходимые нрактпческпе навыки, в частностя помогает освоить методы решенпя уравнений Ньютона, Лагранжа, Гамильтона — Якоби, метод Крылова — Воголюбова в теорян нелпнейных колебаний н методы усреднения уравпевнй движения. Построение Задач» соответствует учебнику И. И.

Ольховского «Курс теоретн ~еской механякн дла Фкзкков . 20402 †0 О 66 — 77 077(02) — 77 101 Издательство Московского университета, 1977 г. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава! 7 7 9 67 67 73 й 1. $2. Глава 2 13 13 16 94 116 17 120 136 !45 145 145 151 20 23 23 23 24 Глава 3 $!. й 2. Глава 4 26 й ! 160 26 29 163 173 Глава 5 $1. !73 193 32 35 39 39 42 45 207 222 222 233 253 Глава 6 $1. $2.

з 3. Линейные колебания Собственные одномерные колебания Собственные и главные колебания системы Вынужденные колебания Кинематика и уравнення движеник материальной точки Кинематика материальной точки Уравнения движения материальной точки Законы изменения н сохранения иыпульса, кинетиче- ского момента и энергии Законы изменения и сохранения импульса, момента импульса н энергии материальной точки Движение в центрально-симметричном поле Движение под действвсм силы, обратно пропорцио- нальвой квадрату расстояния до центра силы Законы изменения и сохранения импульса, кинети- ческого момента и энергии системы Задача двух тел и рассеяние частиц Движение двух взаимодействующих материальных то. чек Сечения рассеяния и захвата частиц Движение относительно неинерциальных систем от- счета Положение, скорость н ускорение материальной точки относительно разных систем отсчета Урзвнения движения и законы сохранения относитель- но нсинерциальных систем отсчета Уравнения Лагранжа Уравнения Лзгранжа с реакциями связей и законы сохранения энергии и момента импульса при наличии связей Уравнения Лагранжа в независимых координатах и законы сохранения обобщенного импульса и энергии Движение под действием обобщенна-потенциальных сил Глава 7 й 1.

48 243 48 273 65 377 $3. Глава 8 $1. 4 2. $3. Глава 9 $1. 5 2. $ 3. Нелинейные колебания Собственные колебания и метод Крылова — Боголю- бова Колебания системы с медленно меняющимися пара- метрами. Адиабатические инварианты Методы усреднения Линамн«а твердого тела Тензор инерции Пласкопараллельнос движение Общий случай движения Уравнения Гамильтона Канонические уравнения. Скобки Пуассона Уравнения Гамильтона — Якоби Канонические нреобрааования. Интегральные варна. ционные принцевы 48 281 49 288 53 313 53 313 55 323 58 339 62 359 62 359 64 368 Литература 391 пРедислОВие В основу настоящего учебного пособия положены задачи, которые в течение 1960 — 1975 гг.

предлагались студентам физического факультета Московского университета на лекциях и семинарских занятиях по теоретической механике. «Задачи» написаны в полном соответствии с программой курса «Теоретическая механика» для университетов но физическим специальностям (часть 1, Изд-во МГУ, 1973 г.). Содержание книги и построение в основном соответствует учебнику 111 И. И.

Ольховского «Курс теоретической механики для физиков» (издание 11, 1974 г., часть 1). Авторы стремились создать пособие, которое должно помочь студентам физических специальностей глубоко овладеть современными методами исследования движений механических систем на основе уравнений Ньютона, Лагранжа, Гамильтона, Гамильтона— Якоби, а также законов изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии. В первых четырех главах решения динамических задач основаны на применении уравнений движения Ньютона. Остальные пять глав посвящены уравнениям Лагранжа, Гамильтона, Гамильтона — Якоби.

Помимо традиционных задач по теоретической механике в книге предложены и другие задачи, связанные с современными физическими проблемами, в частности задачи, в которых исследуются движение заряженных частиц в электромагнитных полях, поглощение электромагнитных волн осцилляторами (мазерный эффект), рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания. В пособии рассмотрены системы с медленно меняющимися параметрами, а также системы, движение которых можно представить в виде суперпозиции медленно меняющегося и быстро осциллирующего движений.

В предлагаемых решениях задач авторы широко использовали теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, аппарат векторного и тензорного анализа, специальные функции и также современные математические методы, применяемые и в других разделах теоретической физики, как например метод Крылова — Боголюбова в теории нелинейных колебаний и методы усреднений. Обратим внимание на методические особенности предлагаемой книги. В начале каждого параграфа, как правило, излагаются наиболее простые задачи, а затем — все более трудные задачи, близкие по содержанию к небольшим научным исследованиям (некоторые нз зтих задач могут быть использованы в качестве курсовых работ).

С целью научить студентов самостоятельно формулировать физические задачи на языке математики авторы сочли полезным предлагать условия ряда задач в достаточно обшей форме, Так, в условиях задач иногда не приводятся очевидные данные. Например, если в условии есть указание на наличие вертикали или горизонтали, то не оговаривается, что движение материальной точки происходит в однородном поле тяжести с известной напряженностью. В заключение авторы приносят благодарность А.

А. Соколову, В. Г. Багрову, А. С. Галиуллину с сотрудниками, Н. В. Кудрявцевой за многие ценные советы, а Р. А. Бунатян за полезные замечания н Н. М. Садыкову за участие в чтении корректуры. Авторы также благодарны всем аспирантам и студентам физического факультета МГУ, которые оказали помощь при проверке рукописи. И, И.

Ольховский, Ю. Г. Павленко, Л. С. Кузьменков ГЛАВА 1 Нинематика и уравнения движения материальной точки $4. Кинематика материальной точки 1.1. Точка движется по эллипсу 11 — ) + ~ — ) = 1 с ускоре- 1а) 1Ь) пнем, параллельным оси у. Найти ускорение как функцию у, если г (О) = (О, Ь), т (О) = (ое О), 1.2. Точка движется по эллипсу с полуосями а и Ь с постоянной по величине скоростью оо. Определить ускорение и скорость точки как функции координат.

1.3. Точка движется в плоскости с постоянной по величине скоростью н, и постоянной угловой скоростью оо. Определить т(1), 1А. Точка движется по эллипсу ( †) + ( †) = 1 так, что ~.) ~ь) угловая скорость радиуса-вектора, проведенного из центра эллипса к точке, постоянна и равна со. Определить скорость точки, если в начальный момент времени х(0) =а. 1.5. 1очка движется в плоскости с постоянной по величине скоростью оо и постоянной секторной скоростью оо. Найти т(1), если р (0) = 2 ос/ос 1.6.

Точка движется по окружности радиуса )с с постоянной секторной скоростью о, относительно точки О', лежащей в плоскости окружности на расстоянии а<Я от центра окруж. ности (рнс. 1.6). Найти величину ско рости о точки как функцию расстоя ния Р от точки О' до движущейся точки. 1.7. Точка движется по окружности радиуса )с с постоянной секторной скоростью оо относительно точки А, лежащей на окружности.

Найти Рис 16 зависимость от времени угла оо между Радиусом-вектором точки, проведенным из А, и прямой, соеднняюшей точку А и центр окружности (ср(0) =О). 1.8. Точка движется по траектории р=аеьо с постоянной сек~~рной скоростью оо. Найти скорость т(1) точки, если в начальный момент времени ср(0) =0. Кинематика и уравнения движения точки (гл.

1 1.9. Точка движется по плоской траектория с постоянной секторной скоростью, причем величина линейной скорости точки обратно пропорциональна ее расстоянию р от начала координат. Найти уравнение траектории, закон движения г(!) и ускорение точки как функцию р, если г(0) =г;, ч(0) =на. 1.10. Точка движется по плоской траектории так, что произведение ее расстояний до неподвигкных точек Р, и Ра есть величина, постоянная и равная аа — квадрату половины расстояния между Р~ и Ра. Проекция секторной скорости точки на направление, перпендикулярное плоскости траектории, сохраняется.

Найти уравнение траектории точки и ее ускорение как функцию расстояния от середины отрезка Р,Ра. 1.11. Точка движется в плоскости так, что ее секторная скорость о,=йрагг2, а угол между ускорением и радиусом-вектором точки постоянен и равен 45 . Найти закон движения и уравнение траектории точки, если р(0) =0; тр(0) =0; р(0) =ра. 1.12. Точка движется в плоскости с постоянной по величине скоростью па, при этом угол между радиусом-вектором точки и ее скоростью равен — аг1. Найти уравнение траектории точки, если 6 в начальный момент времени г(0) =О. 1.13. По неподвижной окружности радиуса а катится без проскальзывания лежащая с ней в одной плоскости другая окружность того же радиуса.

На подвижной окружности закреплена материальная точка, совпадающая в начальный момент времени с точкой А неподвижной окружности. Найти ускорение материальной точки как функцию ее расстояния до точки А, если подвижная окружность вращается вокруг неподвижной с постоянной угловой скоростью ог. 1.14.

Окружность радиуса а катится без проскальзывания по неподвижной окружности радиуса й)а с ее внутренней стороны. Найти траекторию материальной точки, закрепленной на подвижной окружности. При каком условии этой траекторией будет служить отрезок прямой линии? 1.15. Точка движется по сфере, причем в любой момент времени скорость точки образует постоянный угол а с меридианом.

Найти уравнение траектории точки. 1.16. Точка движется по окружности радиуса )т, причем чг=ог! (~р — угол между радиусом-вектором точки, проведенным из некоторой точки А окружности, и прямой, соединяющей точку А и центр окружности). Найти тангенциальную и нормальную составляющие скорости и ускорения точки. 1.17. Точка движется по параболе у=Йха так, что ее ускорение параллельно осн у и равно а. Определить компоненты щ,, тии ускорения точки как функции времени. !.1о. Точка движется в плоскости.