А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 79

Надо доказать, что сфера А не является ретрактом поверхности Х. Так как 7.~0, то это очевидно. Интересно выяснить, какие другие нестабильные гомотопические ситуации в задаче Плато сводятся к гомологическим. В [35] была выдвинута гипотеза, которая в случае ее справедливости обобщала бы теорему существования в классе К', приведенную выше. Более точно: рассмотрим в качестве компакта-границы А с- Р' произвольное компактное замкнутое гладкое подмногообразие У"-', и пусть К'(У'-') — класс всех компактов Х, У ~ с Х с: 1«., таких, что каждый из них не ретрагируется на какое- либо свое замкнутое подмножество У, У с= У с= Х, имеющее размерность й — 1.

Ретракция при этом не предполагается деформационной. Гипотеза, сформулированная в [33], заключалась в следующем равенстве: К' (У) = [ ] Н, (У, Ь, О) (мы используем здесь наши обозначения из предыдущих параграфов), где (.чь0 и 0=5'=1«»(шо61). В случае У=5"-' мы получим класс К", описанный выше.

Однако гипотеза эта неверна, и мы укажем простой контрпример. Предварительно отметим, что включение К»(У» ') =в ЦН,(У, 1„0), конечно, справедливо, но, оказывается, обратное включение уже не имеет места (в общем случае). Положим А=У»-'=5'х5»-», где й)3; тогда п»»(А)* ~ь», и пусть ви 5"-'- А есть представитель элемента ! ~ л,». Рассмотрим подкомплекс Х А ] ')Р (приклейка диска по отображешпо Ф ая егндамантальныя ~ко~циклы поввяхносткн 335 гран а). Так как образ сферы Я"-' в А при отображении и можно ~омотопически выдавить в сферу Я"-', то вложение й А-~Х Йидуцнрует мономорфизм в (й — !)-мерных группах гомологнй, т.

е. Х 4 ~ Н (У"-', Ь, О), ЬчьО, С другой стороны, Х ~ К'(У). В самом деле, допустим, что существует компакт У ~ Х такой, что существует непрерывное отображение ~: Х-~. постоянное на . Р. Поскольку У вЂ компа и б(т У й— — 1 ~3= бпп ()', то отображение ( гомотопно отображению ('. Х- А (так как У выдавливается в А У), причем можно считать, что г' тождественно иа А. Это означает, что отображение вк 3"-'-~А можно продолжить до отображения диска 0" в А, т. е.

и =О, что противоречит выбору и. Тем самым, мы предьявняи контрпример к гипотезе, сформулированной в (35]. ' ЛИТЕРАТУРА 1. Книги учебного типа 1. Минно р Дж. Теория Морса,— Мл Мир, 1965. 2. Д у б р о в и н Б. А., Н о в н к о в С. П., Ф о и е н к а А. Т. Современная геометрия. — Ми Наука, 1979. 3. Рашевский П. К. Романова геометрия и теизориый анализ.— Мл Наука, 1967. 4.

Понтрягин Л. С, Непрерывные группы.— Мл Наука, 1973. 5, Зейферт Т., Трельфалль В. Вариациоиное исчисление в целом.— Мл ЙЛ, 1947. 6. К у райт Р. Принцип Дирихле, коиформные отображения и минимальные поверхности.-М.: ИЛ, 1953. 7. Чжэн ь Шеи-шеи ь. Комплексные многообразия.— М.: ИЛ, 1961. 8. В ишоп Р., К ритте иден Р. Геометрия многообразий.— Мл Мнр, 1967. 9. Хелга сои С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — М.: Мир, 1964. 1О.

Сти ирод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической тополо. гни. — Мл Физматгнз, 1958. 11. Пото р ел о в А. В. Днффереяциальная геометрия.— Мл Наука, 1974. 12. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— Ми Наука, 1974. 13. Фукс Д. Б., Фо ме н ко А. Т., Г у те им а хе р В. Л. Гомотопическая топология,— М.: Изд-во МГУ, 1969. 14. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии.

Геометрические главы.-М.: Наука, 1977. 15. Е фи мое Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1971. 1!. Сленшиьпил литература 16. Моггеу СЬ. В. Мп1Нр1е 1п1ейга!в 1п 1йе са1си!пво! чаг!а1!опз.— ВегВп: Зрг1пйег, 1966. 17. Ребе ге г Н. Оенпе1ггс шеавиге 1Ьсогу.— Вег11п: Зрппйег, !969. 18. Я а бо Т. Оп !!ге ргоЫеш о1 Р!а1еаш — ВегБп: Зрг!пйег, 1933. 19. Е !ее п !ге г1 1,, Р. Ап 1п1гобнс11оп 1о 6111егеп11а! йеоще1гу. — Рг1псе1оп Пп1чегв11у Ргевв, 1949. 20. 3!шопа Л.

М1пппа! чаг!еНев !п К1ещапп1ап пшпВо1бв.— Апп. МаВь 1968, 88, № 1, р. 62 — 105. 21. Фоменко А. Т. Существование и почти всюду регулярность минимальных компактов с заданными гомологическими свойствами.— ДАН СССР, 1969, 187, № 4, с. 747 †7, 22. Ф о м е н к о А. Т. Некоторйе случаи реализации элементов гомотопических групп однородных пространств вполне геодезическими сферами.— ДАН СССР, 1970„ !90, № 4, с.

792 †7. 23. Фо ме н ко А. Т, Многомерная задача Плато н особые точки минимальных компактов.— ДАН СССР, 1970, 192, № 2, с. 293 — 296. 24. Ф о м е н к о А. Т. Гомологическке свойства минимальных компактов в многомерной задаче Плато.— ДАН СССР, 1970, 192, № 1, с. 38-41. ЛИТЕРАТУРА 25. Фг(менко А.

Т. Реализация циклов в компактных симметрических пространствах вполне геодезическими подмногообразиями.— ДАЙ СССР, 1970) 195, № 4,'с. 789 †7. 2о6. Ф о мге н к о А. Т. Вполне геодезические модели циклов.-Тр, сем. вект. тень. анализу.— Мл Изд.во МГУ, 1972, выи. 16, с. 14 — 98. 27. Ф он си к о А. Т. Многомерная задача Плато в экстраординарных теойпиях гомологий н когомологий.— ПАН СССР, !971, Мй, № 4, с. 797— 28. Фоменко А.

Т. Периодичность Вотта с точки зрения многомерного функционала Дирихле.-ИАН СССР, 1971, 35, № 3. с. 667 — 681. 29. Ф о мен ко А. Т. Минимальные компакты в римаиовых многообрззиях и гипотеза Рвйфенберга. — ИАН СССР, 1972, 36, № 5, с. 1049 — 1080. 30. Фоменко А. Т. Многомеряая задача Плато в римановых многообразиях.— Матем. сб., 1972, 89 (131), вып.

3, с. 475 — 520. 31. Фане н ко А. Т. Многомерные задачи Плато на римаиовых многообразиях и экстраординарные теории гомологнй и когомологий. Часть 1.— Тр. сем, вект. тенз. анализу. — Мл Ивд-во МГУ, 1974, вып. 17, с, 3 — 176. 32. Фоменко А.

Т, Многомерные задачи Плато на римановых многообразнях и экстраординарные теории гомологий и когомологий. Часть 2.— Тр. сем. вект. теиз. анализу.— Мл Иэд-во МГУ, 1978, вып. 18. с. 4 — 93. 33. Фоменко А. Т. Геометрические вариационные задачи.— Современные проблемы математики, т. 1 (Итоги науки и технини), 1973, с. 39 — 59. 34. Альбер С. И. Топология функциоиальнмх многообразий и варнаци. онное нсчисвение в целом.— УМН, 1970, 26, № 4, с. 57 — !23. 35.

Ее!(еп Ь е г 8 Е, Е. 5о1цйаи о! 1Ье Р!а1еац ргоЫет !ог эг-д)гиена!опа( вцг!всеь о! чагу1пй 1оро!ой!са( (уре. — Ас1а Ма(Ь., !960, 104, № 1, р. 1 — 92. 36. Ее11еп Ье гй Е. Е. А ар!рег!гие(г)с (перцай(у ге!а1ед 1о 1Ье апа!уйсйу о1 ш(и(гиа! ьцг!всеь.— Апи. Мв(Ь., 1964, 80, № 1, р, 1 — 14.

37. Ее!!епЬегй Е. Е. Оп 1Ье апа!уйсйу о! пг!п!пга( ьпг!всеь.— Апи. Ма(Ь., 1964, 80, № 1, рр. 15 — 21. 38. Редегег Н., Е!еиг гид %. Н. Хоппа! апд !п1ейта! сцггеп1з.— Апп. Ма1Ь., 1960, 72, р. 458 — 520. 39. Редегег Н, Нацвдогй гиеазцге впд Ьебезрце агеа. Ргос. На1, Асад. Зс!. ()5А, !951, 37, № 2, р. 90 — 94. 40.

Ребе гег Н, Меазцге аид агеа.— Вцй. Агиег, Майи Зос., 1952, 58, № 3, р. 306 — 378. 41. А (ш й г е п р. д. Ехййепсе апд гейм1агйу а!гиов1 ечегутгЬеге о! зо1цйопв 1о ей1р1!с чаг!айопа! ргоЫепг вгпопд впг!всеь о! гагу!пй 1оро!ой(са1 1уре аид з)ийи!вгйу'ь(гос(цге,— Апп. Мв!Ь., 1968, 87, № 2, р. 321 — 391. 42. А!шй ген Р. Л. Р!а1еац'з ргоЫеш. Ап (пчйвИои (о чагйо1д деогие1- гу.— Хевг Уогй, !966, 43. А!гид ге и Р. 1.

5опге !п(ег!ог гейц!агйу Гиеогегпз !ог гп!и(гиа( ьцг(всеь аиг( ап ех1епйоп о1 Вегпз1е(и'ь 1Ьеогет.— Апп. Ма(Ь., 1966, 84, № 3, р, 277 — 293. 44. Р1епг ! п!! %. Н, Оп 1Ье оПеп1ед Р1а1еап ргоЫеш.-йепд, С1гс. ига!. Ра!еппо, 1962, 11, № 1, р. 69 — 90. 45. Фоме и ко А. Т. Универсальная оценка снизу на скорость роста гло. бальио минимальных решений.— ДАН СССР, 1980, 251, №2, с. 295 — 299. 46. В о ги Ы е г ! Е., О е С е о г й ! Е., С ! ц ь1 ! Е. М!и!шз1 сопев апд Иге Вегпме)и ргоЫет. — !ичеи1. МвгЬ., 1969, 7, № 3, р. 243 — 268. 47. К он пер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения.— Мл Мир, 1969.

48. % Ы1еЬе ад С. %. СеиегаИхед Ьошо!ойу (Ьеогу.— Тгаиь. Агиег. Майи бос., !962, 102, р. 227 — 283. 49. Еддвг Н., В гогчп Н. Сойогио(оиру 1Ьеог!ез.-Апп. Ма(Ь., 19ов, 76, № 1, р. 467 — 484, лнтнидтнид 50. Гряффатс Ф., Кинг Дж. Теория Неванлннны и юломорфные ото. бражения алгебраических многообразий. — М.: Мнр, 1976. 61. К а ц пель сон В. Э., Р он к н и Л. И, О минимальном объеме анели.

тического множества.— Снб. матем. ж., 1974, 15, № 3, с. 516 — 528. 62. Ро н к и и Л. И. О дискретных множествах единственности, для целых В,, уакций зкспоненцнальиого типа многих переменных.— Сиб. метем. ж., 978, 19, № 1, с. 142 — 162. 53. Мн ли о р Дж. Теорема об Я-кобордизме.— М.: Мнр, 1969.

54. Зулаике Р., Винтгеи П. Дифференциальная геометрия и расслоения. — Мл Мир, 1976. 55, Сг! 11еп 6 ел К. М!п)пппп апб соп)нба)е ро!п1 !п зупипезг1с зрасез.— Сапад. Л Ма1Ь., 1962, НЬ № 2, р. 320-328.. 56. Б о р е л ь А. О когомологиях главных расслоениых пространств.— В кил Расслоениые пространства н их пряложеиия.— Мл ИЛ, 1958.

57. Да а Ч он г Т х и. Мкоюмериая аариацноняая задача в симметрических пространствах.— Функциональный анализ и его приложения, !978, 12, вып. 1, с. 72 — 73. 58. Дао Чоиг Тхи, О минимальных погонах и поверхностях в римаиовых многообразиях.— ДАН СССР, 1977, 233, № 1, с. 21 — 22. 59. Дао Чоиг Тхи. Алгебраические вопросы реализации циклов в снм. метрических пространствах.— 'Вести. МГУ, 1976, № 2, с. 62 — 66, 60. Дао Чонг Т хи. Вешестзенные микнмальиые потоки в компактных группах Ли.— Тр.